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当数学年纪还小的时候

2020-01-20 13:32  来源:澎湃新闻·澎湃号·湃客

原创 Helen 罗博深数学
作者 | Helen
文 2112 字 阅读时间约 5分钟
导语
可是当我们回到数学年纪还小的时候,回到我们对世界还懵懵懂懂的时候,站在那里看我们的来时路,方知不易,进一寸有一寸的欢喜。
早在语言和符号以前,我们就认识了数。当疯狂的小原始人还穿着棕榈叶的时候,我们就会数数了。像1,2,3这样的简单的数,是“上帝的礼物”。史前300年,我们创造了0这个代表虚无的符号,发现了负数,完善了整数。春秋时代《左传》中早就有了关于分数的记载,古希腊人也有他们对分数的见解。在人类认识世界的漫长历史中, 我们遇见了形形色色的数;我们也在知晓数的过程中探索世界。
毕达哥拉斯:“万物皆可数”
很长的一段时间里,我们相信“万物皆可数”:这个世界上所有的量都可以用分数(1/2),或者说比例(1:2)来表示。
公元前五世纪,毕达哥拉斯学派的希伯索斯(Hippasus)发现了边长为1的正方形的对角线(孤独的根号二本人)无法用分数来表示,并且给出了巧妙的证明。同一时期,地球的另一端,公元前三世纪,赵爽在《九章算术》中也提到“勾股各自乘,并而开方除之,即弦”。这是我们第一次发现不能用分数表示的数,“不可数的数”。这是数学史上的一次大震动,引起了数学史上第一次“疑似流血事件”(传言希伯索斯被毕达哥拉斯派学者丢进海里淹死),也否定了“万物皆可数”的信仰。我们称之为“无理数”(irrational numbers),“ratio”是比例的意思,“irrational” 就是不成比例的数。而“有理数”和“无理数”构成了实数大家族。
一直到十九世纪,我们对实数的认识都还是模糊的,片面的。我们将自然数从一个个实实在在的物体抽象成了数,将分数和小数从物体的实际形象中提取出来。而无理数却停留在了现实世界中, pi停留在了圆,孤独的根号二被困在正方形里。直到戴德金(Dedekind)将它们从实体世界中解救出来,供在数学宫殿里,抽象成永恒。
风流倜傥的小戴
我仍然记得初中某一个百无聊赖的下午,老师在黑板上苦口婆心地一遍遍强调着“实数是包含有理数和无理数的集合”,而无理数是“非有理数的实数”。当时年少无知,没觉得有什么不对,现在想想,这就是传说中的“循环论证(circular reasoning)”吧。我们知道自然数的规则(从零开始依次加一),整数的规则(从零开始依次增减)还有有理数的规则(整数之间的比例关系)。实数的规则又是什么?换句话说,实数,作为包含无理数和有理数的整体,具有怎样的性质?
其实不仅我们想不明白,这个问题也困扰了数学家很多年。可能在今天的我们看来,这并不是什么了不起的大事。提到数学难题,我们想到的“哥德巴赫猜想皇冠上的明珠”这样高山流水,阳春白雪的数学。可是数学的一砖一瓦都不是从虚无中来,我们难以想象在数学这么古老的学科里,这样下里巴人的数学基础竟然在几百年前才堪堪被解决。就在短短的几百年内,数学家发明了譬如微积分这样的工具,物理学也从经典的牛顿力学过渡到现在的量子力学。我们需要吸收的知识越来越多,数学看起来离我们也越来越远。可是当我们回到数学还小的时候,回到我们对世界还懵懵懂懂的时候,站在那里看我们的来时路,方知不易,进一寸有一寸的欢喜。我们正是这样一步一个脚印,建立了数学的殿堂。
几个世纪的上下求索,前赴后继。前前后后经历了高斯,狄利克雷这些响当当的名字,而戴德金博采众家之长,攻克了这个难题。
高斯
在那个时候,我们对实数的认识,是一个个点的集合,是不连续的。而戴德金第一次从几何学得到灵感,提出了实数轴的概念。当然现在我们对实数轴是司空见惯了,但是对于脑子里只有实数集合的数学家来说,这无疑是个天才的想法。戴德金建立了实数和直线上的点之间一一对应的关系。为什么这样想是成立的?毋庸置疑,我们能够根据自然数,整数和有理数的定义,轻松地找到它们在一条直线中的位置。但这并不能说明直线上就只有这样的数。世界上,如果我们把直径为一的圆的周长展开,也能在直线上找到相应的点。而戴德金正是作出了这样大胆的假设。小戴飞刀戴德金,使得一手好飞刀,拿手好戏就是“戴德金切割”(Dedekind Cut)。
小戴说,我一刀切下去,直线只能从一个地方断开,所以只能代表一个数。因此,我们将每个实数,定义成直线上的“一刀”,分成上下两个集合,分别包含所有小于等于这个数的有理数,和大于等于这个数的有理数。
"万物皆数"
就像这样,小戴从有理数成功建立了无理数的定义。戴德金的一小刀,人类数学史上的一大步。我们也就此终于能够将目光所及世间万物可测的量标记在这一条抽象的直线上。
也正是这样,我们建立了从“万物皆可数”到“万物皆数”的最终信仰。从那以后,山高水长都有了度量。天地依然壮阔,但我们不再“侧身西望长咨嗟”地畏惧慨叹。是实数定义的“危楼高百尺”,让我们有了“手可摘星辰”的气魄。以后的日子里,愿你也能带着戴德金的这一刀,一路披荆斩棘,所向披靡。
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原标题:《当数学年纪还小的时候》
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