数学进步的新黎明——译自《Noema杂志》
人工智能已经成为数学发展历程中具有变革意义的一章，但它不会是最后一章。
图源：Sophie Douala | Noema Magazine
本文作者：阿托萨?卡西尔扎德（Atoosa Kasirzadeh）
哲学家、数学家，任职于深度思维研究院（DeepMind Institute），同时担任卡内基梅隆大学助理教授，研究方向为人工智能带来的社会与科学影响。
来源：Noema Magazine
日期：2026-10-29
过去数月里，尚未对外发布的前沿人工智能系统，极大冲击了人们对数学的传统认知。它们成功对安德鲁?怀尔斯的费马大定理证明做了形式化梳理，给出纳维–斯托克斯方程问题的解答；就在几天前，AI 又产出多篇结果，据称各自证明了一道重要数学难题。就在最近，10 月 26 日，克莱数学研究所千禧年大奖难题中的另一道，也被一套人工智能系统攻克。
数学家们的反应五味杂陈，交织着乐观、焦虑与强烈的迷茫。例如，数学博士生柯文?汉普希尔（Kirwin Hampshire）在 7 月于 Substack 发布一篇题为《数学的至暗之夜》的文章，表达了他的担忧：在运算速度、记忆能力远超人类的 AI 面前，人类数学家或许很快就会变得无用。他写道：“这些进展让我陷入深刻的精神危机，连日来内心煎熬，仿佛置身一场噩梦。” 在汉普希尔看来，做数学这件事本身 —— 人类的苦苦求索、人的审美判断、在发现、理解、分享新证明时的感受与价值 —— 可能会沦为一种怀旧的手工技艺，不再需要人类数学家去开拓数学的边界。
也有一些数学家意识到，面对这项新技术现实，他们必须彻底重新思考自己的职业定位与身份。我近期参加一场人工智能会议，一位菲尔兹奖得主做了关于 AI 前沿数学能力的报告，结尾时他说道：“我们需要建立全新的关怀与爱的理论。” 这句呼吁很耐人寻味：一位顶尖数学理论家，却在寻求一套截然不同的理论。照这个趋势，数学家或许会变成研究关怀与爱的哲学家。数学哲学家洛根?格雷夫斯（Logan Graves）在一篇短文中提出：“人类数学家的时代就算尚未终结，也已走向尾声”；人类数学家应当寻找新的人生意义，“人类数学界，乃至未来所有科学界的归宿，先是祭司，而后是修士，不再是研究者。”
知名菲尔兹奖得主、数学家陶哲轩承认，这一历史节点的复杂性超乎想象。他持审慎乐观的态度，认为数学 “共同体将变得比以往更强大、更坚韧”。多伦多大学数学教授丹尼尔?利特（Daniel Litt）撰写了一篇题为《数学的终结》的博文，提出想要构筑数学的未来，有若干核心问题亟待解决。利特写道：“总体上我乐观地相信数学会存续、蓬勃发展”，但这要求数学界去处理一系列复杂问题（不只是形式推导层面）：改革激励高质量科研的学术制度、重新调配人力方向。
这些反应都完全可以理解，每一种都代表着一种值得尊重的努力：直面、消化这场剧变 —— 它改变了人们早已习惯的研究方式、身份定位，改变了何为做数学、何为一名数学家。
由于这些担忧指向复杂问题的不同维度，我们不妨厘清四个亟待回答的核心问题：
第一，何为数学进步？数学究竟是如何向前推进的？
第二，一线数学家的认知主体性与创造性，正受到怎样的冲击？
第三，我们应当如何培养下一代人类数学家，维系人类的数学能力？
第四，科研激励、成果评价、署名与荣誉分配机制，应当如何重构？
我将先区分两种理解数学进步的模型，分别称之为清单模型与生成式相遇模型。在清单模型下，数学进步主要是一步步完成一份 “重大数学难题清单” 上的项目，这份清单是人类在近代自行划定的。而生成式相遇模型则认为：数学进步本质上是开放、永无止境的；数学的发展，始终需要和人类的目标、欲望、体验共同协商。
“数学是人类最伟大的创造之一。和人类所有造物一样，它会随着我们自身的变化而持续演变，我们对它的理解也随之不断更新。”
清单模型
清单模型里，数学进步就是解决预先定义好的复杂难题。这类问题包括：用来衡量人类数学上限的竞赛题（如国际数学奥林匹克试题）、著名猜想（如费马大定理）、形式化基准任务（如弗里克?维迪克Freek Wiedijk的百项形式化挑战清单）、悬赏难题（克莱Clay千禧年难题）。它们都如同清单上的待办条目。数学进步的速度，就是一个个条目被打勾完成的速度；荣誉与归属，归于最先完成打勾的人。这套模型简洁清晰，进步易于量化，因此很有吸引力。它支撑着数学界的声望体系（奥赛奖牌、菲尔兹奖、千禧年大奖），也支撑着 AI 领域的基准测试文化。
人工智能正快速攻克这份重大数学难题清单。包括陶哲轩在内的部分数学家，提出我们进入了一个 “证明后稀缺时代”：无论现有清单还是未来新增的数学猜想，都能被越来越强大的 AI 接连证明或证伪。
长期以来，一部分数学研究者就是以这套模型、以及配套简单直接的荣誉分配体系来理解进步的。谁拿下清单上一道经典难题，谁就收获声誉，被奉为天才（往往是孤身一人的天才，这一点很关键）。整套科研与学术机构都围绕这套激励机制建立；一代又一代学生被教导：人生最高理想之一，至少要解决其中一道难题。如今 AI 也能完成这类工作，“这类成就专属人类、由人类独享荣誉” 的旧规范，已经不再拥有往日的分量。正如康奈尔大学数学教授史蒂文?斯特罗加茨（Steven Strogatz）在一段访谈中所说：孤胆人类数学英雄的时代落幕了。
但孤胆英雄时代的终结，不等于人类数学家的终结。
AI 向我们表明，清单模型对应的激励体系已经难以为继。失落与伤感是面对新现实的正常情绪，但如果一直停留在这种情绪里，整个学界就无法应对这场颠覆性变革。我们应当把这个历史节点视作契机，尽快重新设计激励、评价数学研究的制度。
“AI 把我们带回一个古老的哲学问题：数学从何而来？”
清单模型对数学探索的理解相当狭隘。早在 AI 开始解题之前，这套模型就很难适配现实世界问题。许多数学家长期处在 “探索模式”，并不关心自己的研究方向有没有实际用处。1947 年离世的英国数学家哈代（G.H. Hardy）有一句名言：“我从未做过任何‘有用’的工作。我的任何发现，无论好坏，都不曾、也不太可能直接或间接给世间带来一丝便利。”
如果数学进步根植于人类数学家的价值判断 —— 由人决定哪些内容值得形式化、哪些问题真正重要、人与软件和智能体协同创造、开拓全新研究方向 —— 那么 AI 并不意味着这个学科的终点，反而打开了一片前所未有的广阔空间。
放在数学史的视角看，清单模型并不代表数学真实的发展全貌。在这种狭隘视角下，部分数学家的悲观论调（我们会被淘汰；未来不再需要人类做数学；人类再也拿不到有价值的数学成果奖励），无法告诉数学家接下来该去往何方。
而在另一种框架 —— 也就是我所说的生成式相遇模型里，证明重大难题只是 “做数学”、“成为数学家” 的一部分。在这套框架下，AI 对数学共同体、代际教育、学术制度的影响，拥有巨大的调整、创造空间。
生成式相遇模型
1939 年，乔治?丹齐格（George Dantzig）在伯克利攻读博士时，一节统计课迟到，看到黑板上写着两道题目。他以为是导师耶日?内曼（Jerzy Neyman）布置的作业，于是做完上交。丹齐格后来回忆：“大约六周后，我和妻子被敲门声吵醒，是内曼，他拿着文稿，激动地冲进屋里。” 原来那两道不是作业，而是著名的未解难题，内曼迫不及待想把丹齐格的成果发表。
离开伯克利之后，丹齐格担任美国空军审计长顾问。他接到任务：找到一套方法，把军方规模庞大的后勤调度、预算规划工作自动化。他面对的现实充满世俗层面的复杂性：成千上万文员完全依靠手工、试错经验，编制供应链与人员排班表。
这里并没有预先写好、等着丹齐格去解决的数学题。他直面混乱的现实，需要把现实问题转化为有用的数学抽象。这正是生成式相遇模型里所说的一次 “相遇”：一个社会性、实践性难题，和单纯 “证明定理” 相去甚远。
丹齐格后来在采访里提到，军方当时用 “program” 一词 —— 它不是计算机代码，而是计划、调度方案。丹齐格的目标，就是更快制定分阶段部署、训练、后勤调度的方案。他不是要证明定理或猜想，也不是为拿奖项而做这件事，他的任务是打通行政流程瓶颈。
为此，他创造出一类需要求解的新问题：把现实场景梳理、诠释成一套简洁的数学表达，分为两部分：一个线性目标函数（例如最大化效率、最小化成本），加上一组由线性不等式构成的约束条件（飞机数量、飞行员人数、燃油总量等）。他把这套数学框架称为线性规划问题，“规划” （programming）这个词直接取自军方行政用语。
通过把物理约束和最终目标做数学分离，并用线性关系近似描述二者，丹齐格把一团杂乱的现实调度问题，映射成一个简洁的高维几何对象 —— 凸多面体。这次抽象，把人员、物资调度问题转化成几何问题，纳入了一种开放的数学观。
丹齐格拥有出色的数学直觉：他意识到一个关键结论：线性规划的最优解，一定落在凸多面体的某个顶点上。寻找最优方案、最优调度，就变成了寻找这个几何体上 “最优顶点” 的问题。丹齐格随后提出著名的单纯形法：沿着多面体的棱高效搜索，直到找到最优顶点。
图源：Victor Treushchenko, Wikimedia
在丹齐格之前，不存在一个 “线性规划研究者” 圈子，列出领域内的问题逐一攻克。是他开创了这个研究方向，后来又衍生出运筹学、数理经济学、工业工程等分支。这个群体的共同研究对象，在十年前根本不存在。
线性规划适用于燃油这类连续资源，但如果问题要求整数单位怎么办？飞机不能飞半架，也不能分配三分之一的飞行员去执行任务。这个现实约束，也就是一次新的 “相遇”，催生了运筹学分支 —— 整数规划。它又开辟出广阔的数学新边界，诞生全新数学分支、理论模型与算法，继而碰撞出新问题，持续产出新的运筹学研究成果。
“单凭自动定理证明的这场革命，无法决定数学的未来；数学永远是开放的探索领域。”
麻省理工数学家诺伯特?维纳（Norbert Wiener）创立了控制论，而控制论正是现代人工智能的思想根基。维纳当年遇到的战时难题，和丹齐格的处境有相似之处：地面高炮如何击落不断机动规避的敌机？瞄准飞机本身一定会落空，那该瞄准哪里？维纳后来写道：“至关重要的一点，不是瞄准当下的目标，而是让炮弹和飞机在未来某个时刻于空间交汇。因此我们必须预测飞机未来的位置。” 这道题不在任何数学难题清单上，它来自一次现实相遇。
维纳的解法是重构问题：不再把飞行员看作需要预判的对手，而是将其视作系统里的一个组成部分。飞行员的规避动作不是完全随机的，而是对炮手操作、飞行器物理滞后的反馈。在这套视角下，炮手、高炮、炮弹、飞行员、飞机共同构成一个系统，内部存在多重反馈回路。维纳在这个回路里加入了他所说的预测器。
在 1948 年著作《控制论》中，维纳描述这项任务：设计预测器，其特性 “建立在长期研究我们想要预测的各类时间序列统计规律之上”。这句话清晰体现了现实相遇对数学进步的意义：火炮射击这个物理问题，被转化成时间序列统计问题。这次转化催生一大批新数学问题：如何设计最优滤波器分离信号与噪声？如何根据历史数据预测随机过程的走向？从形式上看，一个 “有目标导向” 的系统到底意味着什么？
这些问题的答案，奠定了统计滤波、预测理论，最终形成反馈形式化体系，支撑起控制论这门新数学与新科学。维纳创造了一套新数学工具，用来描述、解释、理解、预测机器与生命体内部的控制和通信过程。它催生了新研究共同体、新学科，汇集不同认知视角去理解世界。上世纪 40 年代末至 50 年代初著名的梅西会议，召集生物学家、精神科医生、人类学家、工程师，共同讨论此前没有固定学科归属的问题；控制论作为数学新分支，为这类探索提供了归属。
最耐人寻味的是，催生这项工作的原始目标很快被搁置。维纳这套防空预测系统并没有大规模列装，贝尔实验室一套更简单的方案拿下军方合同。如果这是清单上的一道题，维纳的项目或许会被视作失败，因为它的方案不如竞品。但它诞生的数学留存下来，重塑了我们对无数系统的理解，从工厂自动化，到生物神经网络、人工神经网络。
纯粹数学与应用数学本无界限，只有数学
我当年攻读运筹学方向数学博士时，参加过加拿大一场全国数学研究生会议。会场里有一种微妙的学术等级划分：“纯粹（正统）数学” 和 “应用数学”。
有些同学研究解析数论、黎曼猜想相关问题，当他们得知我们另一部分人在研究面向大规模决策问题的数学与计算方法时，立刻带着轻视表态：你们做的不是真正的数学。在他们眼里，真正的数学探索，只能是在自洽公理体系里独自证明核心定理。开发算法求解大规模决策问题、优化资源分配、把现实摩擦与决策难题转化为数学结构、在现实相遇中建立全新决策理论，都不算正统数学。
长久以来，数学界内部一直存在这种隐性层级：产出抽象证明，才是 “真正的数学”；处理杂乱的经验世界，则被视作低一等的手艺。历史上，这种划分有它的实用功能：形成认知分工，组织数学研究活动，催生不同期刊、机构、评价体系，适配不同类型的数学探索。
这套纯–应用二分法，把复杂难题的证明放在等级顶端，无意间强化了 “纯数学才是真正的数学” 这一观念，巩固了清单模型，让很多人误以为：衡量这一类认知活动，就等同于衡量全部数学进步。把 “数学家” 等同于只做纯数学的研究者，是一种普遍、未经反思的文化偏见，它让那些直面现实系统问题的研究者处于次等地位。我认为 AI 迫使我们纠正这种偏见，我们无法继续回避它。
丹齐格也曾遭遇纯数学家的门槛排斥 —— 他们坚持只有自己的工作才算 “真正数学”，给这个学科贴上高度排他的标签。有人问丹齐格认为自己是运筹学家还是数学家，他回答：“我认为自己是数学家。我不区分纯数学和应用数学。别人会告诉你二者有差别，但其实没有。”
采访者提到，纯数学家常常把运筹学者说成 “二流数学家，玩些玩具问题”。丹齐格直白地回应：“数学家当中不乏势利之人。”
采访者连忙补一句：“在座各位除外。纯数学的问题干净漂亮，现实问题一团乱麻。”
丹齐格答道：“现实问题确实都很杂乱。任何模型都只是对现实的近似，不等于现实本身。”
线性规划的研究经历，让丹齐格坚定主张：来自现实相遇的问题，恰恰是精彩、有挑战性的数学研究的源头。1984 年接受运筹学史口述采访时，他说：
“我的数学起源于现实问题，但这一点不会降低它对我的吸引力，恰恰相反，它让我钻研的谜题更激动人心。知道自己研究的问题有现实意义，我很有成就感。新兴方向里的难题，需要的数学巧思，一点不比所谓传统纯数学问题少。”
丹齐格认为，运筹学是 “决策科学”，是 “把问题抽象、转化为数学形式的技艺”。对他而言，数学实践是一条连续光谱：从追求形式解的抽象理论家，到需要为现实危机给出可行方案的实践者。把这条光谱一刀切开，抬高一端、贬低另一端，就丢掉了数学探索最核心的动态本质。
AI 快速解题带来的这场 “危机”，以及数学家未来要为数学探索搭建支撑体系的责任，都可以换一个视角看待。毕竟，和现实世界的杂乱相遇，恰恰可以诞生最纯粹的数学；而纯粹数学，也终将回馈现实世界。
强大的系统，开放的未来
面对这个历史节点，我们必须慎之又慎。首要任务不是沉湎于失落，而是建设更好的未来。AI 的研发与落地，迫使我们重新绘制数学领域里人类动机、荣誉、学术声望的版图。重新绘制，不等于抹除人的主体性；但如果方式粗糙，就会走向这个结果。
如果我们重构成果署名、研究优先级、评价奖励规则，不再只以定理证明为唯一标尺，我们就能培养出一批 “丹齐格式” 的数学思考者：他们借助 AI 解放创造力，奔赴更深、更有趣、更紧迫的研究方向。
当下开启了巨大的可能性空间。我们可以围绕真正关乎人类福祉、个体与公共健康、地球可持续发展的问题，设计新激励机制 —— 这类问题并不稀缺。
或许数学界和后代，可以把关注点从 “谁证明了它”，转向：是谁判断这个问题值得证明？理由是什么？我们如何保证结论可靠？数学领域已经存在大型协作项目：Polymath 计划、Lean 社区的 Mathlib 库、费马大定理长期形式化工作。数学家可以围绕对共同体、对世界都有价值的共同目标协作。
现在他们需要扩大协作规模。但该怎么做？
我认为数学界应当拥抱生成式相遇模型。这意味着，要把 AI 融入数学这件事本身，当成一个独立、基础的重大研究方向去剖析。AI 远不是数学的终点，反而让我们得以去研究一大批紧迫、来自现实相遇的数学难题，往往还需要跨学科合作。下面是四类亟需投入研究的核心数学方向：
可证明安全的网络基础设施
全球数字系统依然十分脆弱。人类数学家可以把 AI 当作高通量协作伙伴，寻找系统漏洞，从底层原理重构网络基础，搭建具备数学证明、可验证安全性的计算环境。
深度学习的认知机制
我们对神经网络如何学习、泛化、表征高维数据的数学理解仍有很大空白。很多关于先进 AI 可能造成灾难性风险的担忧，根源都在这里。尽管已有不少进展，但建立一套严谨的 “深度学习数学理论” 仍是基础难题，也是打造真正可信 AI 系统的前提。
多智能体控制数学
多个具备自主能力的 AI 相互作用时，目标对齐或错位的规律，目前仍有待深入研究。我们需要结合数理安全、安全工程、鲁棒机制设计、博弈论等数学工具，分析独立优化的智能体在协作、竞争、合谋时的行为。
机器生成证明的认识论
面对 AI 产出的证明 —— 篇幅极长、逻辑高度复杂、人类难以读懂，我们该怎么办？我们不该因为无法理解就直接否定它，而要发展新的数学工具：解释方法、逻辑转译、交互式验证，让这类证明变得可理解。我们不应急于采信这类证明，但这些工具可以帮我们把自动化输出，转化为人类真正把握的知识。
以上这些问题，都不在传统数学难题清单上。它们很难由单个数学家独立 “解决”，都需要团队借助工具，自主判断哪些问题值得形式化、如何解读，并且搭建配套制度落地成果。
我们周遭的世界由人塑造：建筑、网络、制度、AI 模型本身。数学是人类最伟大的创造之一。和人类所有造物一样，它会随着我们自身的变化而持续演变，我们对它的理解也随之不断更新。
这又回到那个古老哲学问题：数学从何而来？认知科学家乔治?莱考夫（George Lakoff）与拉斐尔?努涅斯（Rafael Núñez）在《数学从何而来》里给出一个答案：源于人类具身认知。
数学柏拉图主义者的答案是：数学是被发现的，而非人造的；数学对象独立于人存在，数学家只是探索一片本就存在的疆域，就算人类消失，它依旧存在。形式主义者则认为：数学是一套符号与规则游戏，它的 “真”，只相当于国际象棋里一步合法走子。
我无意在这里终结这场争论。但每一种答案，都至少把数学的一部分源头归于某种 “相遇”：心灵与世界相遇、人与柏拉图理念世界相遇、人类共同体和他们选择去追问的问题相遇。如今，AI 已经成为这场相遇里一个重要参与者。
单凭自动定理证明的这场革命，无法决定数学的未来；数学永远是开放的探索领域。它的走向不只由 AI 决定，更取决于那些让数学研究得以成立（或无法成立）的前提：我们围绕值得探究的问题，建立的目标、基础设施与制度。这包括：成果核验方式、荣誉分配规则、人才培养模式、如何珍视人的认知与主体性、如何安置转型中受冲击的研究者并建立新的认可体系、如何推动人类与地球共同繁荣、如何普惠地开放工具与平台，以及谁有资格参与制定这些规则。
回答这些问题，离不开科学与数学，它们是通往更好未来的社会–技术基础。而这套基础，我们目前还没有建好。
“我们可以围绕真正关乎人类福祉、个体与公共健康、地球可持续发展的问题，设计新激励机制 —— 这类问题并不稀缺。”
站在生成式相遇模型的视角看，一个扎根于人类目标、拥有全新教育理念与集体评价方式的数学黄金时代，或许才刚刚拉开序幕。
不妨假设当下的困境与疑问只是暂时的。更远的未来呢？如果我们最终造出超级智能：它不只是证明定理，还能提出问题、判断价值、设计课程、分配荣誉，把整套生成式相遇的过程全部自动化？
一部分纯数学家最深层的忧虑，其实不是 AI 能不能自动证明定理，而是：AI 会不会最终把人类的目标本身也自动化。但我们不要忘记，我们是如何走到今天的。
当下的局面，很大程度上源于数学形式化的长久梦想：从催生软件工程的数理逻辑，到 Lean 社区如今推动数学转为机器可读形式，让机器核验、乃至未来求解问题。某种意义上，我们今天所处的局面，正是一部分数学家长久梦想的兑现。但梦想成真之后，我们不仅要审视梦想本身，更要审视它带来的后果。目标与意义，至关重要。
没有人能断言，人类的目标是否有一天会被完全自动化。但清晰的是：未来由我们今天的构想与建造塑造。为了我们自己、后代，我们应当怀着审慎去构想、去搭建。说到底，通往未来的转型过程，本身就是未来的一部分；未来，正是在这场转型之中被体验、被构想、被创造出来的。
作者注：
感谢吉姆·布朗（Jim Brown）、马库斯·赫特（Marcus Hutter）、谢恩·莱格（Shane Legg）对本文提出修改意见。
原文参考资料：
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https://logangraves.com/priest-monk-mathematician
https://teorth.github.io/tao-web/slides/age-of-ai-icm-2026.pdf
https://www.daniellitt.com/blog/2026/8/11/the-end-of-mathematics/
https://mathstodon.xyz/@tao/116477351524980995
https://www.youtube.com/watch?v=LfGenpmOjDQ
https://web.archive.org/web/20180421052355/http://rev-inv-ope.univ-paris1.fr/fileadmin/rev-inv-ope/files/26305//IO-26305-1.pdf
https://www.cs.umd.edu/~gasarch/BLOGPAPERS/Albers-InterviewGeorgeB-1986.pdf
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https://www.informs.org/Explore/History-of-O.R.-Excellence/Oral-Histories/George-Dantzig
https://iiasa.ac.at/blog/mar-2026/our-infrastructure-is-much-more-fragile-than-we-think?__cf_chl_tk=34GxwqBGZcUgfmbqZfNf8MV73IrUwBe1.ZNWwyWq8J4-1792792569-1.0.1.1-n2S6KM.Ag4QMPJ2HCm3lYf4.KZKqQoa3DMm_NhSudws
https://arxiv.org/pdf/2501.16496
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https://www.nature.com/articles/d41586-026-02822-9
https://pages.ucsd.edu/~rnunez/COGS252_Readings/Preface_Intro.PDF
https://plato.stanford.edu/entries/platonism-mathematics/
https://plato.stanford.edu/entries/formalism-mathematics/
参考资料
https://www.noemamag.com/a-new-dawn-for-mathematical-progress/
数学家心声：Daniel Litt丹尼尔·利特《数学的一个新开端》2026-9-14
超越证明：《莱顿宣言》之应用数学补编 by 亚历山大·奥梅尔琴科（Alexander Omelchenko）2026-11-2——SIAM新闻
数学家心声：《应用数学早已邂逅机器》德尼斯·迪蒂赫（Denys Dutykh）2026-9-28
研究人员发现最优化问题的终极优化方法
小乐数学科普：ICM2026国际数学家大会报告人名单介绍（七）【16.控制论和最优化 17.统计和机器学习18.随机和微分建模】
原标题：《数学进步的新黎明——译自《Noema杂志》》