数学视野主题：数学与音乐——IHP巴黎庞加莱研究所圆桌论坛2026-4-10

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来源：FSMP（法国巴黎数学科学基金会）

日期：2026-4-10

导读

奥利维娅・卡拉梅洛（Olivia Caramello）教授是格罗滕迪克研究所所长，同时担任该研究所拓扑斯理论及其应用研究中心的协调人（其2010年标志性论文：《通过拓扑斯理论统一数学》，以及六百页的《景与拓扑斯：导论》）。

阿兰・孔涅（Alain Connes，1982年菲尔兹奖得主）教授为该研究所科学委员会委员。

二人于2026年4月10日，在IHP巴黎庞加莱研究所，参与了专题为数学、计算机科学与音乐中的创造力与协同共创的闭幕圆桌论坛，

同台嘉宾还有热拉尔・阿萨亚格（Gérard Assayag，STMS‑法国音乐与声学研究中心 / 索邦大学）与因德雷・维斯康塔斯（Indre Viskontas，旧金山大学创意大脑实验室）。

本场圆桌论坛由莫雷诺・安德雷塔（Moreno Andreatta，法国国家科学研究中心CNRS、斯特拉斯堡大学）主持，为与会者提供了思考数学、音乐、计算机科学与认知科学之间关联的契机，探讨的主题包括：直觉与严谨、结构与创造、统一与变体。

奥利维娅・卡拉梅洛重点阐述了，无论是在数学还是音乐领域，拓扑斯都可以辅助我们思考同一性（恒等）与变换的关系：同一套结构，何以生成形态各异的事物，同时自身依然可被辨识。

阿兰・孔涅展示了一套源自音乐音阶的数学框架：整数作用于频率，会自然生成一个格罗滕迪克拓扑斯。他证明该拓扑斯的点空间与黎曼 ζ 函数存在深刻联系，由此提出：音乐和声背后的结构，可以延伸至数论的核心地带。

主持人

（莫雷诺・安德雷塔，Moreno Andreatta，法国国家科学研究中心CNRS、斯特拉斯堡大学，数学音乐家）：

太好了，非常荣幸，为这充实精彩的两天活动画上句号。面向普通公众我们安排了圆桌论坛，主题正是我们都很感兴趣的：创造力——数学、音乐与计算机科学中的协同共创。 这场圆桌有点特别：它其实并不“圆”。 首先，它不是圆桌。【笑声】

我们一共有四位嘉宾：两位数学家（一男一女）、一位计算机科学家，还有一位神经科学家。 我们的想法是：从数学出发，借助这些不同视角，一起探讨、追问“创造力”这个概念。 圆桌的特别之处在于，开场会先由阿兰做一段简短引言。我就不多介绍他了，简单一句话：他是热爱音乐即兴的数学家，一直在探寻数学与音乐之间深刻的关联。

阿兰・孔涅（Alain Connes）：

没错，谢谢。这就是我给自己的简单定位。 好，那我试着讲讲我的想法。我一直在思考：当我们说起音乐、说起数学的时候， 数学里最深刻的东西是什么？ 是黎曼ζ函数的零点。【笑声】

那音乐又是什么？ 对我来说，首先是音阶。 音阶是什么？是从0到无穷的所有频率。 我们不需要固定一套刻度，因为音乐本质上只关乎频率之比。 而音阶里最核心的操作是什么？ 八度移位、减三度等等， 本质上就是乘以正整数。

我想用三分钟讲清楚一件事： 音乐音阶这套结构，本身就蕴含着黎曼ζ函数零点，不需要像变魔术一样凭空定义ζ函数。 那这个“魔术”是怎么实现的？ 靠的是格罗滕迪克拓扑斯（topos）的思路。 也就是说，给定这套音乐音阶，我们就能构造出一个拓扑斯。 为什么一定要拓扑斯？普通拓扑空间不够用——我们要构造一个拓扑空间，配上幺半群/半群作用的半直积，普通拓扑框架做不到，必须用到格罗滕迪克的拓扑斯理论。

有了拓扑斯之后，我们可以取它的点。 我们这个拓扑斯，我称之为音乐景（musical site）——严格来说它不只是一个拓扑斯，它是格罗滕迪克景（site，广拓扑、景、站点，中文译法未统一）。 当我们计算这个音乐拓扑斯的点，得到的空间，和我三十年前构造出来的、用来刻画黎曼ζ零点的空间是同一个。 这个空间是拓扑斯的点空间，同时也是非交换空间。

简单解释一下：它是实数轴上所有秩1子群构成的空间。也就是实数集ℝ里面的子群H，满足…… 这样的子群有无穷多个。 当我们把所有这些子群收集起来做成空间，就得到这个非交换空间。在策梅洛-弗兰克尔公理体系下，可以证明它的基数等于连续统，但同时可以证明：不存在可构造的单射，把这个空间嵌入实数轴。

这个空间，我和卡特琳娜·孔萨尼（Caterina Consani）在一篇论文里一起算过。 有了这个空间之后，事情就很简洁：我曾经写过一篇简报，说明黎曼ζ函数零点可以看成一种吸收谱——考察正实数乘法群（尺度变换群）在(0,+∞)上的作用。 正实数乘法群负责尺度缩放。 当我们看这个作用的谱的时候： 如果ζ零点落在临界线上，就会在对偶群（实数加法群）上给出谱里真正的点； 如果存在零点跑到临界线之外，就会出现物理学家所说的共振态。

所以我的结论非常清晰、极其简单： 单单依靠音乐这个“景”本身，就足以抵达数学最深层的地方。 好了，我的引言就说到这里。【笑声】

主持人：

这段数学引言之后，我来介绍剩下几位嘉宾。按顺序： 奥利维娅·卡拉梅洛（Olivia Caramello），数学家、钢琴家，正是拓扑斯理论专家。接下来的过渡会非常自然，一场漂亮的自然变换。 然后是因德雷·维斯康塔斯（Indre Viscontas），神经科学家、抒情女高音，研习音乐学，主持创造力相关实验室，同时是神经科学创造力协会主席（任期至今年8月份，译者注）。我相信神经科学视角，对我们今天讨论创造力，会非常有价值。 还有热拉尔・阿萨亚格（Gérard Assayag），大家刚才已经见过，音乐表征团队负责人。他来自法国音乐与声学研究中心IRCAM，也是REACH项目负责人。

我们这场圆桌，核心就是追问创造力：数学、音乐、计算机科学中的创造力。在计算机这边，就是我们刚才提到的协同共创，以及人机交互，自然会延伸到人工智能。不过我们慢慢来。刚刚我们已经深入体会了数学家的创造活动，听到拓扑斯、拓扑斯实体这些概念，大家肯定想再多了解一点。 奥利维娅，如果你愿意，能不能用比较直观的方式，给我们讲讲什么是拓扑斯？ 需要的话你随时示意，后台会放幻灯片。

奥利维娅・卡拉梅洛（Olivia Caramello）：

拓扑斯是一种非常广义的“空间”概念。 正如阿兰刚才所说，它超越了普通意义上的拓扑空间。 它极大拓展了空间的定义，让我们可以在数学里五花八门的场景下，用几何的方式去思考。 它尤其适合用来搭建桥梁，在一些表面上相距很远的数学分支之间，找到深层联系。 从博士阶段开始，发展这类“搭桥”工具，就是我最核心的研究方向。 拓扑斯理论自带的这种统一化力量，天然适合作为生成性、乃至数学创造力的模型。而且不止数学：这种“统一与多样”之间的联动，在音乐里同样存在。

说到这里，我想放一张幻灯片来说明。

我们聊的是美，美是一切艺术活动、尤其是音乐的核心特质。 思考美的本质，会发现美是统一和多样性之间一种微妙的平衡。 我们想想音乐：如果一首乐曲完全没有规律、没有不变量，那它听起来就是混沌的，没有意义，很难吸引人。 反过来，如果规律太多、只有重复，缺少真正的变化设计，又会单调乏味。 所以关键就是找到二者之间精妙的平衡。

拓扑斯里面也是类似的逻辑：拓扑斯编码数学里抽象的统一结构，当我们用不同方式把它展开、呈现出来，就能生成多种多样的形态。 音乐里一个很好的类比就是主题与变奏：主题是抽象的、统一的内核，然后展开成一个个更具体的变体——可以改变节奏、力度、配器等等。

美，就存在于这种平衡之中：我们需要一个可以抓住、可以理解的统一内核，但同时又要有足够丰富的变化，才能让人觉得有意思。 支撑这套想法的哲学概念，就是“桥梁”：由不变量搭建出来的桥梁。 这个想法源自我基于拓扑斯的数学研究，但它的适用范围更广，尤其适用于音乐。

另外，格罗滕迪克还有一个核心概念：动机（motif）。这个词本身就直接来自音乐，格罗滕迪克自己也承认这一点。 动机这个概念，刚好也和“普遍性与多样性”这个主题紧密相关：一个动机是一个普适对象，通过对这个普适形态做形变，衍生出大量不同形态。 当然，最初是数学内部的技术问题推动格罗滕迪克提出动机；但这个名词本身，灵感来自音乐。格罗滕迪克对术语的选择非常看重。

讲到这里，大家应该对拓扑斯的灵活性、“桥梁”这个概念有一点直观感受了。 阿兰，在继续之前，我提议：我们要不要听一听黎曼ζ零点？不对，不是零点本身。我们来听一段东西。

阿兰：

好，我们来听一段完全由数学生成的乐曲，同时放视频。视频结尾，会展示1到3600之间所有素数。 大家不用担心，视频很短，两分半钟。音乐是纯数学算法生成的。 作曲思路：给每一个素数分配一个音乐特征，我把素数平方根的连分数展开，映射到十二平均律（2^{1/12}，近似3^{1/19}）这个音乐底层音程体系里。 我们现在播放。泰奥，可以开始了。

【音乐】

阿兰：

现在是7的倍数往下消去。

现在是11的倍数往下消去。

这是17。

屏幕下方这些数都不是素数了。

现在是29往下消。

再响一点。节奏稍微加快。

这是……47。

53，剩下不到4个。

59，只剩两个，是最后一批往下消的。

两个数正在消去。

屏幕上方剩下的，就是1到3600里全部素数。

61，没有再消的了，已经消完。

结束了。

屏幕上方剩下的，就是1到3600之间所有素数。 这就是埃拉托斯特尼筛法。 大家刚才看到的：每当出现一个小于60的新素数，就把它所有倍数全部筛掉，不需要超过60。

我想起以前，我把这个视频拿给一位演出策划人看，我说这个可以做成舞蹈作品。 她问我：需要多少舞者？ 其实一开始我们先筛掉2、3、5的倍数，这部分没意思。但就算这样，大概也要400个舞者。 人数太多了。【笑声】

主持人：

我记得你当初创作这个的时候，正好在给《数学与音乐期刊》写文章，主题是节奏。

阿兰：

没错。但那是另一套节奏，当时是用函数域上ζ函数的零点来生成节奏，那是另外一个故事，我们先不提。

主持人：

我有个问题。视频一开始，数字还没开始往下消的时候，音乐就已经响起了，那是基础结构吗？

阿兰：

不是，开场就是7对应的音乐。 乐曲从7的音乐开始，所有音符都是算出来的。每个素数对应五个音。数学算出来的音本身没有调性，我再人为找到合适的调，加上琶音，让它听起来好听一点。仅此而已。 和刚才说的ζ零点节奏项目不是一回事。 那个节奏项目的目标，是看我们能不能靠耳朵，听出数学对象的性质。而这个筛法视频是另一件事。

主持人：

很好，这就是一个创造活动的例子。当然有人会说，这里算不上真正的创造，数学只是工具。 那我们就可以提出问题：由数学流程引导、支撑的这种产出，能不能叫作创造力？创造力到底是什么？什么又是协同共创？ 或许我们可以先请神经科学家给我们讲讲，从神经科学视角怎么看创造力。

因德雷・维斯康塔斯（Indre Viskontas，神经科学家）：

作为神经科学创造力协会（https://www.tsfnc.org ）的主席（任期至今年8月份，译者注），按理我该给一个定义，但这很难。【笑声】

神经科学里，我们一般从三个维度研究创造力：

第一是创造者本人：观察高创造力人群的大脑，看他们的脑活动有什么不一样；

第二是创造产物：我们怎么判断一个东西算不算有创造性？文化背景、评价标准影响极大；

第三是创造过程：这也是大部分神经科学研究聚焦的方向。

放到音乐上，数学或许也类似：音乐即兴，就是当下自发的音乐创造。我们可以用设备观测人实时即兴演奏时的大脑活动，也可以研究作曲、演奏。

难点在于，大家很难达成共识：什么样的产出才算创造性的。 大家如果感兴趣，我可以多讲讲人即兴演奏时大脑里发生了什么，我们已经对相关脑网络有不少了解。

阿兰：

我这里有个疑问。即兴，顾名思义，是没法被指令强行召唤出来的。如果你把人放进扫描仪，要求他“现在即兴”……

因德雷：

当然可以，很多实验对象是爵士音乐家。【笑声】

大部分实验用的就是爵士乐手。我们会猜想他们的脑网络和普通音乐家不一样。

阿兰：

那怎么在扫描的时候测即兴？

因德雷：

可以放进功能性磁共振成像（fMRI）。有专门为核磁室设计的钢琴。也可以用脑电图EEG，实时采集脑电。 我们还可以对比平时不即兴的人，比如古典钢琴家；有些熟悉巴洛克的古典演奏者其实是有即兴传统的，但大多数古典乐手没有这个习惯。我们可以训练他们即兴，观察大脑变化。

主持人：

那是大脑哪个区域被激活？

因德雷：

现在我们不说孤立脑区，而是脑网络。创造力主要涉及三套核心网络：

第一是执行控制网络。

它在前额叶，负责评估、高度专注。很少即兴的古典演奏者，即兴时这个网络激活很强；而爵士即兴者正好相反，前额这个网络激活更低。

第二是默认模式网络。

它就是我们放空、走神的时候活跃的网络，会胡思乱想、产生想象，也会有焦虑。爵士乐手要学会压低前额执行网络，激活感官、情绪相关的通路。

第三是突显网络（salience network）。

它负责识别什么东西对我们是重要的；警报响起时，就是它让我们警觉、做出反应。 突显网络负责在另外两套网络之间切换。

即兴训练，本质上就是强化突显网络主动切换的能力。 普通人很难在两种模式之间自如切换；优秀的即兴者可以轻松做到：从刻意、高度专注的思考，切换到发散、联想、自发的思绪，从而产生新想法。

主持人：

热拉尔，接下来轮到你了。你和即兴音乐家合作过，不只是爵士。 我们刚刚聊到：数学模型可以作为起点，一个想法、一个心象，发展成即兴式的创造。那机器能不能捕捉这个过程，搭建计算模型？这可行吗？

热拉尔・阿萨亚格（Gérard Assayag，IACRM法国声学与音乐研究/协调研究所，音乐计算机科学家）：

我们音乐信息学团队，刚好处在今天三个主题的交叉点。 包括刚才奥利维娅说的拓扑斯：一个拓扑斯内部可以生成大量形态；还有信息论视角——一段音乐序列可以是混沌的、重复的，也就是可压缩或不可压缩的。这些都是我们可以拿来计算、建模的工具。

直白说，我们想做人工即兴者：程序，可以和真人音乐家互动，并且让音乐家觉得有意思，不会一上来就排斥。 不管是爵士、自由爵士，还是当代自由即兴，我们希望乐手在和机器互动的时候，能获得创造性的收获。

和刚才各位讲的对应起来，我们的模型试图模拟你说的这几个特征，当然成功率有限，难度很高。 尤其是突显（salience），对我们来说是巨大挑战，我们在人工智能模型里把它叫作自驱动（self-motivation）：模型自主判断听觉环境里哪一部分值得关注，自主决定要不要演奏、和哪一部分互动、做出选择。 这是我们目前还没攻克的前沿。剩下的部分，我们已经有效果不错的模型。

我早上已经简单提过，再快速复述一遍： 最早我和莫雷诺、卡洛斯还有团队伙伴，主要做作曲程序，更贴近代数结构、几何结构的数学模型。作曲是提前构建好一个空间，之后我们可以按自己的节奏在里面漫游，不需要面对舞台、实时演出的压力。 后来我们开始做算法，算法的生成性有强有弱：生成性越强，行为越难预测，因为里面加入了随机元素，也吸纳了事先未知的环境信息。

大概十几、十五年前，学界开始出现“人工创造力”这个说法。现在这个提法不那么流行了。 当时大家发现：算法有时能产出出人意料、结构丰富、对音乐家有价值的音乐。音乐家会觉得有意思，愿意拿来融入自己的创作。 它处在混沌和秩序之间。 音乐家会说“这挺有创造力”，于是大家开始研究人工创造力、创造性算法。

但我一直对“算法本身具有创造力”这个说法存疑。刚才你说的创造者主体、产物、创造过程这三分法，给了我很大启发： 算法不是一个主体，就算它产出有创造性的东西，它没有反思性自我意识，无法觉知自己的创造。

所以这个说法很微妙。 产物可以是创造性的，过程也可以呈现创造特征。但真正产生创造性价值的，是智能体（agent）之间的交互：程序智能体和真人音乐家、或者多个智能体互相作用。

这就是为什么我们叫它协同共创（cocréativité）：创造来自多方的互动。 这是一个复杂系统：所有参与演奏的智能体，同时是倾听者、学习者，也都是演奏者、产出者。 形成大量交叉反馈回路，状态会快速演化：形态不断生成、消失。有的很平庸，有的很惊艳，有音乐价值。

所以我们的方向变了：不再执着于造出一个“有创造力的算法”，而是搭建协同共创场景，调控不同智能体之间的互动。 我们开发了好几个这类系统。现在我们可以放一小段音频，时长和阿兰刚才那个差不多。这是我们去年12月在IRCAM一场音乐会的剪辑片段。

https://improtech.ircam.fr/ikparis/

https://reach.ircam.fr/index.php/2026/05/25/improtechparis-2025-the-movies/

舞台上是两位真人音乐家：一位钢琴家、一位打击乐手。

其余所有声音，都是程序实时生成的——程序聆听乐手（主要是钢琴家），即时回应。 这叫“音对音”系统：AI接收音乐信号作为环境输入，持续生成对位声部，有各种音色，包括人声、萨克斯，还会驱动一台机械钢琴。现场有一台真钢琴，一台机械钢琴，完全由算法生成。

热拉尔：

是不是很奇妙？ 刚才这段是致敬皮埃尔·布列兹（Pierre Boulez）。算法用来驱动机械钢琴的素材源自布列兹，但不是原样演奏。算法需要素材作为养料。

我们可以回到创造力理论，比如玛格丽特·博登（Margaret Boden）的分类：探索型、组合型、转化型创造力——转化型就是改写游戏规则。

想问问神经科学这边：博登多年前提出的这套分类现在还适用吗？人机交互这类新场景，会不会模糊探索、组合、转化之间的边界？

因德雷：

分类本身依然成立，研究也很多。但我们现在发现：创造者在创造过程里，并不会清晰划分这些类别，整个过程是迭代的。 以前经典模型是：准备、酝酿、顿悟、验证。但真实过程往往更混乱，不是线性有序的。 顺带一提，我们最早做爵士即兴核磁实验的时候，直接让乐手即兴很难。后来我们改成：让乐手和机器、实验者实时对话互动，才成功激发创造性思维。这个现象不只在核磁里能看到。

阿兰：

我补充一下。我想说一个相反的论点。 我认为音乐、尤其是即兴的一个核心特质，是让无意识发声，实现无意识和无意识之间的沟通。 我想放一段我自己的即兴录音，稍后大家也会听到。

这段即兴的背景很沉重：我们有一位挚友，当时在古斯塔夫·鲁西医院（肿瘤专科医院）就诊。探望他之后，情绪冲击很大，回到家我忍不住坐到钢琴上即兴弹奏。 这完全是自发的，我觉得它直接来自无意识。音乐技巧上并不精致，它承载的是情绪力量。 泰奥，放音频。

主持人：

我忍不住想问：在这段无意识里，也存在拓扑斯吗？

阿兰：

不，这段纯粹是情绪。我们需要这种东西。 有些东西在传递，很难定义。这位朋友本身是优秀钢琴家，常弹肖邦第四叙事曲。 我记得看过一位加拿大音乐学者的访谈，采访者一直想让他说肖邦的灵感来自某位波兰诗人。学者说：完全不是。灵感不是来自诗歌这类文本，而是来自生活本身。

奥利维娅：

当然，无意识和这个话题是相通的。但我想说：拓扑斯也可以从某种意义上为无意识建模。 当我们从一个景（site）构造拓扑斯，本质上就是生成这个景里隐含、还没有显式呈现的全部可能性空间。 这里触及一个很根本的东西：现实与想象、现实与潜在、显在和潜藏的关系。 所以数学确实可以为创造过程的分析提供工具。

回到你说的协同共创：这个方向以后会越来越重要。现在AI生成能力极强，但随之而来的难题是筛选、取舍。我们需要美的标准、价值判断标准。 已经有不少工作，借助数学、物理形式化美的某些侧面。比如巴黎综合理工学院的经济物理方向，就在尝试找到和美感感知相关的技术特征。 我觉得未来的关键，就在于“生成”和“筛选”这两者的动态平衡。

阿兰：

把无意识带回讨论，这个点非常好。这让我想起拉康。精神分析家拉康一直痴迷拓扑学。 大家可能觉得这个话题不太严肃。我和精神分析师帕特里克·戈蒂埃-拉法耶（Patrick Gauthier-Lafaye）合写过一本书。【笑声】

我以前是拉康尖锐的批评者。有一次他给我发邮件，附了一张矩形图，只问我：你怎么看这个矩形？ 两天之后我回复他：我看不出任何东西。 【笑声】

发完邮件当晚，我突然想到：这个矩形如果放在直觉主义逻辑里，就有意义。 他告诉我：这就是拉康的性别公式矩形。 从那之后，我试着给他解释直觉主义逻辑、拓扑斯。 我跟他解释：普通几何是去研究一个空间；拓扑斯做的事情完全不同——它是在这个空间上做参数化集合论。

把空间放到背景里，研究依赖这个参数的集合论，观察它和普通集合论之间细微的差别。 我换了个说法：我们不再盯着空间看，而是去聆听它，把它放在幕后，去聆听。 他说：这正是我作为精神分析师每天在做的事。 于是我们一起写书，提出一个假说：无意识不只是像拉康所说“像语言一样被结构化”，它像拓扑斯一样被结构化。

拉康关心拓扑，他隐约感觉到需要拓扑斯这种工具，但他缺少对应的数学语言，只走到了纽结理论。 我们现在还在写续作，快写完了。我们的想法是：每个人都有一个属于自己的无意识拓扑斯；这些拓扑斯通过几何态射互相沟通；也存在分类拓扑斯，就像神话等等。

巴黎综合理工学院有一位精神分析师主持相关研讨班，已经持续两年，我们一直在给精神分析师讲拓扑斯，并不容易。拓扑斯是高度抽象的数学，我们也不想把他们都变成数学家。【笑声】

主持人：

这个话题非常迷人。我也曾思考：音乐来自何处？我最先想到的不是无意识，而是“主体”。 这个想法让我眩晕，让我想起70年代的主体理论。我重读拉康、德勒兹，有一点启发： 协同共创的创造力，是去中心化的，脱离单一主体，存在于交互的间隙之中。

这和他们的思想是呼应的：拉康说他者，德勒兹说主体不是一个中心原点，而是装置、机器。 这和我们的想法很契合。 机器的好处就是：它自带结构，我们不用操心结构本身，只需要关注结构之外的东西。这一点非常重要，它本身就是一种语言。

阿兰：

但我记得斯坦尼斯拉斯·德阿纳的新书里提到：音乐不是语言。大脑处理音乐，走的不是语言通路，而是几何通路。 这点很关键。音乐不是语言，它是无意识之间的沟通。音乐从语言停下的地方开始。你没法用语言完整传递一首乐曲。

主持人：

我们要不要开放提问，听听观众的想法？我们已经聊到哲学层面了。

观众：

我有个可能有点傻的问题：从数学上看，拓扑斯到底是什么？我们不用上完整数学课，但能不能给一点直观理解？

阿兰：

一句话：拓扑斯是一套很强、但不同于经典集合论的集合论。 差别在哪？

举最简单例子： 普通集合里，命题只有真、假。 如果我们取两个集合的理论，就会出现中间真值：第一个为真、第二个为假，还有其它。 这些就是拓扑斯逻辑里，既不真也不假的中间真值。

另一个例子：带一个自变换的集合。对应的逻辑里，除了真、假，还有“距离真值一步、两步……”这样的层级。 很神奇。也就是说，这些集合论里，大部分集合论性质依然成立，但配套的逻辑不再满足排中律。

另外，任何普通拓扑空间，都自带一个拓扑斯：就是这个空间上的集合层（faisceau，即层Sheaf，理应叫束，小乐数学科普：什么是束sheaf（层）？——译自量子杂志Quanta Magazine）构成的范畴。当然，要懂层的概念需要再学习。 但动机很清晰：拓扑斯给了我们无穷多普通拓扑空间容纳不了的新例子，比如我们这个音乐景，带来一片绝妙的探索天地。

奥利维娅：

从格罗滕迪克的技术定义来说：拓扑斯是一个范畴，可以表示为某个景（site）上所有层构成的范畴。 核心就是：给定一个景——它描述一个情境的几何、一种偶然性——然后生成一整个虚拟世界，自带一套专属逻辑。 是几何决定逻辑。

这一点很反直觉，我们从小被教育只有真和假这种二元逻辑。 其实不存在唯一的逻辑；不同几何对应不同逻辑。 拓扑斯的意义，就是让我们理解几何如何生成逻辑，并且形式化：从一个浓缩、草图式的景，释放出全部潜在可能性空间。

观众提问：

能不能推荐入门拓扑斯的书？

奥利维娅：

有很多，看你的数学基础。拓扑斯建立在范畴论语言上，最好先熟悉范畴基础。代数、拓扑基础会很有帮助，但不是绝对强制。 我和洛朗（Laurent Lafforgue）写了一本六百页的《景与拓扑斯：导论》Site et Topos : une introduction （Sites and Grothendieck toposes: an introduction），开放获取，可以在arXiv下载 https://arxiv.org/abs/2508.21609 ，法语原版，正在翻译增补章节。

我和精神分析师合著那本，对非数学人也友好，重点讲逻辑、真值。 我甚至觉得这个思想值得政治家学习：它有可能彻底改变我们对民主的理解。 大家辩论的时候，本能用排中律：要么对，要么错。【笑声】

但现实很多问题根本不是非黑即白。比如一项政策算不算成功？放到医院体系是灾难，放到行政体系或许可行。 强行二选一非常荒谬。我们需要找到适配这个情境的拓扑斯、直觉主义逻辑。

当然，前提是先把讨论的情境形式化、几何化。不然二元对立只会制造隔阂。 有了拓扑斯这套新基础，我们反而可以走向共识。 等人类都读完这六百页大作，文明就进步了。【笑声】

观众提问：

我自己既是钢琴家，也是数学物理研究者。我和葡萄牙钢琴家玛丽亚合作过，她有一次上台发现自己练错了莫扎特协奏曲，依然临场完成演奏，非常厉害。我也接触过玛莎·阿格里奇，她对创作有很深的体悟，但拒绝解释。 这还和时间有关。我和玛丽亚聊过：音乐靠音阶里声音的次序，制造时间。我说：次序本身生成时间。

我们聊随机矩阵、把乐谱不变量转化为身体动作、乐器撞击的频谱，这里有傅里叶分析。 我也和她聊黎曼ζ函数与音乐：它对应双曲空间里的波动，对数螺旋，和伸缩变换有关。伸缩算子就是频率缩放。 这些是贝里-基廷算子的本征态。

对数螺旋、双曲波动，是逆平方势时空里的普适不变量，对应黑洞。 九月份还有一篇论文，从反德西特时空函数角度研究，把原子内部光辐射、黑洞、音乐、时间串联起来，非常震撼。 玛莎·阿格里奇也说，音乐和时间深度绑定，可以想象一种模块化流，让时间被拉伸、悬置。

爵士乐手比莱万斯说，即兴就像宽幅日本毛笔，一旦停下，墨迹就凝固；演奏不能停。 最后引用保罗·瓦莱里：词语是抛在深渊之上的木板，供思想穿行，而不是驻足停留。一旦驻足，一切沉入深渊。

我想问问：在创造里，这种迟疑、时间拉伸，你们怎么看？

主持人：

巴黎数学科学基金会的负责人提醒我们，六点必须清场。 我们现在收尾，还是再开放两分钟？【笑声】

巴黎数学科学基金会主任贝娅特丽丝·德·蒂利埃（Béatrice de Tilière）：

那我来总结吧。 非常感谢莫雷诺组织这两天的活动，太棒了，节目安排得非常精彩，是一段美好的共享时光。感谢联合组织者盖尔，代表基金会。感谢所有圆桌嘉宾、所有报告人。感谢IHES（高等科学研究所）、全程控台的泰奥、研究所全体工作人员。 【音乐】

祝大家返程顺利，晚安，再次感谢！

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参考资料

https://www.youtube.com/watch?v=8syi4qaXGAo&t=2s

https://igrothendieck.org/en/round-table-at-the-ihp-on-mathematics-and-music/

亚历山大・格罗滕迪克如何重塑20世纪数学——译自量子杂志Quanta Magazine

小乐数学科普：ICM2026国际数学家大会受邀报告人名单及详细介绍（三）【4.代数几何和复几何 5.几何 6.拓扑】

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数学科普不迷路！

原标题：《数学视野主题：数学与音乐——IHP巴黎庞加莱研究所圆桌论坛2026-4-10》

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