王虹导师《数学于我意味着什么》by 拉里·古思（Larry Guth）2026-11
★置顶zzllrr小乐公众号，追踪《小乐数学科普》系列报道，参与数学 vs AI投票！
坚持不炒作的数学与AI报道，投稿信箱zzllrr@gmail.com
数学于我意味着什么
作者：拉里·古思（Larry Guth）
MIT克劳德·香农数学讲席教授，研究方向为度量几何、组合几何、调和分析，他是提出“宇宙暴涨理论”的 MIT教授阿兰·古斯（Alan Guth）的儿子，也是首位女性华人菲尔兹奖得主王虹的博士生导师。
日期：2026-11
研读数学是我人生中很重要的一部分。这篇随笔将聊聊我眼中的数学，我珍视数学的哪些特质，以及数学对我的意义。
我动笔写下此文有几层缘由。其一和人工智能有关。人工智能的发展促使数学界开始思考我们究竟在乎什么，未来又该朝着哪些方向前行。今年夏天的国际数学家大会上，多位发言者呼吁我们所有人反思自身的目标与价值。不过长久以来，我也一直想写下自己研究数学的亲身经历。当下的时代背景，给了我完成这件事额外的动力。
一、万物融会贯通
和非数学专业的人聊天时，他们常常会这样描述自己的数学体验：小学阶段学起来还轻轻松松，可到了某个节点之后，数学就变得晦涩难懂。所谓“轻松的部分”包含数数、加法、减法等等。不同的人会在不同节点，体会到从得心应手到一头雾水的转折，而且大多觉得这个转变来得十分突兀。
但在我看来，数学并不是这样割裂成不同板块的。要说起我对数学的理解，数数就是一个绝佳例子。学会数数这件事本身并不简单——只是我们大多已经记不起当初学习的感受了。
我还记得我儿子学数数的时候。他已经可以顺着背出三十左右的数字。有一回我们拿着卷尺坐着，他想弄明白卷尺上每一条刻度线分别对应哪个数字，这件事对他来说格外艰难。
小孩子能够背诵一到十，却还是搞不清楚餐桌上该摆多少把勺子，保证每人一把，这样的阶段是真实存在的。孩子要想数清楚餐桌上需要的勺子，许许多多认知必须融会贯通：吃饭的这群人、抽屉里的一堆勺子，还有我们口中背诵的数字，这三者是互相关联的，孩子得弄懂这全部的联系。
学会数数，源自童年一段特殊的时期。在那段时光里，随着孩子认知不断增长，眼前的世界也不断向他敞开。只是我们大多数人对这段岁月只剩模糊的记忆。而研究数学的特别之处就在于：终其一生，我们都能不断拥有类似这样豁然贯通的体验。
学习数学的过程，就是各种认知不断融会贯通的过程。
当我们学习直线与圆的方程时，图像、数字、方程式就交织到了一起。我认为这种联结实在奇妙。直线和圆都是最基础的几何图形，数千年来被人们使用，幼儿园的孩童都会画。数字与方程式同样基础，却仿佛来自另一个完全不同的世界。孩子们学习乘法，是为了解答诸如“班里有八个小朋友，每人分四片饼干，一共要拿出多少饼干？”这类问题。
我不知道乘法在历史上最初是如何诞生的，但起源或许与此相似。令人惊叹的是，这个数饼干的问题竟然和直线有关；更出人意料的是，它还和圆息息相关。可圆与直线，恰恰就依靠乘法与加法，被优美的方程式所描述。借助这层联系，我们得以用一种截然不同的视角去审视圆和直线。想要真正理解圆的方程，需要把许许多多知识点融会在一起。
微积分当中，我们建立起函数图像y=f(x)的表达式和图像外观之间的联系。具体来说，我们会学到图像的斜率和函数f的表达式有什么关系。之后又会学到，图像下方的面积，又和斜率的概念紧密相连。学生要弄懂如何用微积分求解抛物线下方的面积，需要打通大量知识点。
很多高等数学分支的名字，本身就体现了两件事物的交融：代数拓扑、微分几何、代数几何……我读博士阶段最先钻研的方向叫作定量拓扑，顾名思义，就是定量估计与拓扑学二者的结合。
之后我研究的分支是傅里叶分析。在傅里叶分析里，我们了解到任意一个函数都有两种截然不同的表达形式，分别叫作物理空间表示与频率空间表示。傅里叶分析的核心就是从这两种完全不一样的视角去看待函数。从一个视角看来错综复杂的事物，换一个视角就会变得清晰。把两种视角结合起来，我们就能够更深刻地理解问题。我和我的博士生们无数次围在白板前，画出函数在频率空间下的图像，试着推想它在物理空间中的形态，努力弄懂这两套视角该如何相互适配。
傅里叶分析有助于研究钟摆、振动琴弦这类振荡现象。它最初被发展出来，是为了解决热传导、波动这类物理系统的问题。可后来人们发现，它还能用来解读许多完全不相干的事物：素数的分布规律、晶体的结构，还有经典计算机与量子计算机上的某些快速算法。数学家要理解振动琴弦怎么会和晶体、素数、快速算法产生关联，需要打通海量知识。数学的许许多多其他领域，也都有着类似的故事。
随着我们不断钻研问题，我们会看到问题之间越来越多的内在关联。这些关联能够帮助我们解答疑问；而好的问题，又会启发我们发现从前未曾留意的联系。数学世界，远比我年少求学时预想的更加互联互通。持续学习下去，零散的知识就会拼接成一个宏大的整体。这种内在联结与整体性，是数学世界极为出众的特质——或许也是大自然本身的特质。当我们研习数学，我们就是在不断体会、打磨这种整体性。
二、困惑、挫败、怀疑与犯错
但在日复一日的实际工作当中，我们很少能体会到这种融会贯通、浑然一体的美妙感受。当下最真切的体验，往往充斥着迷茫、挫败与自我怀疑。
我揉烂过无数草稿，在纸上疯狂涂划，也曾把铅笔狠狠戳进记事本。有时候，我对某个想法满怀期待，之后却发现，这个思路之所以站不住脚，根源竟是三周前自己犯下的一个错误。我还记得读研究生的时候，给父母打电话，说自己感觉就像动画片里的歪心狼。做研究的体验常常让我联想到它：苦心构思一套繁复的计策，付诸行动，眼睁睁看着计划全盘崩盘，接着要么被保龄球当头砸中，要么才发现自己已经踏出悬崖而悬空。
做研究的情绪就像坐过山车。当我对一个构想满怀热忱，有时会幻想世人将会对这项成果何等赞叹——尤其是当我研究的是像挂谷问题这样知名难题的时候。可一旦意识到这个想法根本行不通，我就会开始怀疑自己是不是“能力不够”，怀疑这项研究到底有没有价值。
这些感受，本就是做数学研究的一部分。而在所有这些难熬的体验之中，我认为犯错的经历尤为珍贵。我们拼尽全力想要完成一件事，构想出一个思路，满心希望它成立，之后却意识到它是错的，并且坦然承认这份错误。
这份艰苦的付出与难熬的经历，教会我们分辨什么言之有理，什么毫无逻辑；教会我们认清现实自有其模样，不会迁就我们主观的期许；教会我们诚实面对自我。
各行各业的学习工作都有可能体会到犯错，但在不同领域，这份体验带来的影响不尽相同。在数学当中，人们已经花了巨大的功夫，把“真”与“假”划分得格外清晰明确。我觉得正是这一点，迫使我们必须直面自己的错误。
钻研数学时，我不得不直面错误，这份体验是我学习其他学科时不曾拥有的。举个例子，正是数学研究的经历，让我的写作水平有所提升。高中和大学时期，我很喜欢写作，我会写下一句新奇独到的话，接着再写下另一句妙句。而如今，经过长期数学写作的训练，我写完第一句话，就会反问自己：“我内心真的认同这句话吗？”答案往往是否定的。于是划掉，重新来过。
三、提出问题
提出问题是数学研究至关重要的一环。问题可以暴露我们的困惑，可以找出那些违背直觉的特例，还能启发我们发现全新的内在联系。
当我们被一个问题困住，我们就试着提出一个更基础的问题；如果连这个基础问题也无从下手，那就去追问更加根本的问题。我听过一句形容这个过程的话：“倘若有什么东西我理解不了，通常就意味着还有某个更简单的东西我同样没有弄懂。”我不知道这句话确切的出处，但它时常浮现在我的脑海。于我而言，这一理念是数学的重要内核。
不断追问更基础的问题，有助于我们发现事物之间的关联。我们会留意所有看似主观人为设定的条件。如果问题中某一处条件显得刻意，我们就试着把这个条件做推广，提出一个更基础、更普适的问题。问题A与问题B各自带着许多人为设定的表象，看上去截然不同。但如果我们审慎剥离这些外在设定，直击内核，就会发现两个问题本质上或许是同一回事。
我曾经开设过一门一日制本科生研讨课，主题叫作《走向更简单的问题》，讲授解题思路。课程的核心思想是：当面对极其困难的问题、彻底陷入僵局时，我们可以转而去研究一个更简单的问题，借它照亮原问题。我希望让学生明白，哪怕面对费马大定理这类难题，也不必畏缩、手足无措。完全可以着手展开探究：提出更小的问题，把小问题解决，以此加深对宏大难题的理解，而这又会催生出更多新问题……
问题之所以意义重大，是因为当一个难题庞大到我们完全撼动不了的时候，我们依旧可以通过不断提问，和它产生交锋。
面对难题，有一种思路是寻找一个中间问题，难度介于我们已经弄懂的知识和最终目标之间。但找到这种“中间过渡问题”往往并不容易。生物学里有一个众所周知的困境：最简单的生命体就是单细胞，可细胞本身已经极度复杂，不存在所谓“半个细胞”可以拿来当作预热研究对象。数学当中不少难题也类似，完全不知道该怎么把问题对半拆分。即便如此，数学家总能以富有创造力的方式，找到能够揭示原问题核心的简化问题。
分享一段我个人的经历。限制问题是傅里叶分析与偏微分方程领域的一道难题，研究不同频率的波相互叠加产生的干涉图样。被限制问题困住的数学家，将它和挂谷问题建立了联系——后者是一道几何问题，研究空间当中相互交叠的管状集合。
挂谷问题显然算不上“限制问题的一半”；初看之下，它甚至都不像是同一个研究领域的题目。可经过业内学者的钻研与思考，人们意识到：挂谷问题是一道难度更低的问题，却提炼出了限制问题当中最本质的矛盾。
我认为数学中许多听起来高深复杂的内容，本质上都是我们陷入瓶颈时，为了追问更基础的问题而创造出来的。在外人看来，仿佛数学家总在谈论晦涩的事物，搭建一套比旧理论更加复杂的新理论。这种看法不算错，但身处其中的感受往往恰恰相反：我们其实是想要挖掘出潜藏在那些无法解答的旧问题之下，更加本原的问题。拉乌尔·博特（Raoul Bott）曾说：“数学家，就是喜欢刨根问底的人。”
想出一个好问题本身就十分艰辛，和数学研究其余环节一样，充斥着反复试错与揉成团的草稿。一个人提出好问题的时候，心中会有一种直觉：解答这个问题，就能够引出有意思的想法。此时他或许还没有得到那个精彩的结论，但这个问题就像一个线索，指引着方向；这份线索也可以分享给其他人，让别人沿着它继续开拓。
四、理解世界
数学同样帮助我们理解世界，尤其是世界当中那些匪夷所思的部分。到目前为止，我的研究重心都在纯数学，要来探讨这个宏大议题，我多少有些心虚，但我仍想试着谈一谈。
数学一部分源自人类想要理解世界的渴望，一部分来自对事物关联规律的探寻，一部分来自对思想严谨性的追求，一部分来自不断追问更基础的问题，还有许许多多别的来源。这些不同的动因彼此促进，相辅相成。
当量子力学被发现时，它和我们的日常经验格格不入，充满反直觉的特点。从某个角度来说，它和人类过往见过的一切事物都截然不同。但量子力学可以用数学来描述，而其中用到的数学工具，很多早在过去就因为别的缘由被人们发掘出来：矩阵、内积、特征值与特征向量、偏微分方程。
诚然，量子力学是大获成功的案例，也还有不少没有取得圆满结果的尝试。但我依旧认为，当我们遇到世间新奇陌生的现象，想要弄懂它的时候，数学可以成为有力的工具。
我觉得数学能够发挥作用，其中一个原因和追问基础问题有关。去研究更基础、更普适的问题，能够得到可以迁移到全新场景下的思想。当我们面对陌生奇异的现象，试图去理解它时，这件事会逼迫我们追问底层问题，重新审视固有的假设。而数学恰好可以在此提供助力，因为长久以来，我们本就一直在坚持追问最根本的问题。
这也再次回到万物互联的观点。数学当中存在许多基础结构，反复出现在各个分支。比方矩阵、内积、特征值和特征向量，既大量出现在纯数学不同方向，也遍布科学与工程各个领域。
举一个我作为纯数学家亲身经历的小例子。我长期研究傅里叶分析当中的解耦理论，这套理论原本用来处理偏微分方程、数论当中的纯数学问题。在研究完解耦理论之后，我读了一些傅里叶分析的应用方向文献，发现大量一模一样的底层结构。
比如，纯数学家为了解决某个数论问题做的一些计算，和科学家借助X射线衍射识别螺旋结构（正是这项工作助力发现DNA双螺旋）所用的计算高度相似。另一方面，解耦理论的基础架构，还和快速傅里叶变换息息相关，后者是广大科研、工程人员都在使用的重要算法。
随着不断学习，知识会汇集成一个宏大的整体，数学、科学、工程都囊括其中。诸多基础结构穿梭联结于各个领域。深耕理解这些底层结构，从长远来看，能够帮助我们认识这个世界。
五、教学
长久以来，数学家的传统工作包含研究与教学两部分。听起来仿佛两份工作硬拼凑在一起，但我的体会并非如此。上面我写下的所有思考，既关乎研究，同样也关乎教学；我认为二者紧密相连。
当老师和学生一同探讨数学，知识也是（缓慢地！）融会贯通的。学习的过程同样充斥困惑、挫败、怀疑，也免不了犯错。师生一同努力找出迷茫的根源。为了把问题理清，他们互相提问。久而久之，努力找出触及最根本矛盾的那些问题。当某一处数学内容理解不通，我们就会告诉自己：“如果这一块没弄懂，那大概率还有某个更简单的知识点没有吃透。”
以这样的方式分享思想，是一件充满喜悦的事。
老师把自己学到的内容讲给学生；学生再用自己的语言复述出来。这时老师会发现，自己最初的讲解其实含糊不清，于是换一种表达方式。学生会发现某些地方逻辑无法自洽，重新组织提出疑问。就这样循环往复，一点点厘清思路，一点点看清知识如何彼此勾连，一同惊叹于数学的奇妙。
老师既要分享自己已经弄懂的东西，也要坦诚说出自己尚且不懂的地方。师生一同望向世界那些神秘未知的角落，那些至今无人解开的谜题。或许老师会交给学生一个问题，预感它会催生出有意思的成果。心中会好奇，未来这名学生将会收获怎样的发现。
六、选择研究方向
每一位数学家，都拥有选择自己研究内容的自由。
数学教育的早期阶段，学生往往被安排好要做什么：阅读指定章节，完成既定习题，解答规定的题目。但这并不是学习数学的全部。在一个学生的数学成长之路上，会出现一个关键节点：他开始主动挤出属于自己的时间思考数学。在这段自主学习的时间里，由他自己决定思考什么。正是在这个阶段，他逐步形成个人的兴趣，建立属于自己的看待数学的视角。
有时候，选择研究方向这件事十分轻松。我们很快找到自己感兴趣的领域，并且可以长久沉浸其中，不必过多纠结该做什么。
但另一些时候，选择方向会令人迷茫、倍感挫败。草稿纸会被揉掉一张又一张，内心满是自我怀疑。出现迷茫、不断作废草稿，并不代表你的做法错了。这份困惑与揉皱的草稿，本就是成为一名数学家的必经之路。
博士生和导师一直都会共同面对这类难题。绝大多数博士生，在读博期间的某个阶段，都会遭遇困境：研究工作失去意义感，自己也说不清缘由。学生和导师沟通交流，一起梳理症结所在。导师的一部分职责，就是倾听学生，帮助他找到对自己而言有价值的研究方向。
即便你没有陷入迷茫挫败，也值得时常思考这些问题。
选择研究方向这件事，并不是解决完就可以抛在脑后、继续赶路的。它远比这重要得多。诗人莱纳·玛利亚·里尔克（Rainer Maria Rilke）有一句名言：“生活在问题之中。”这句话总让我联想到做数学的过程。它有时指向数学本身的难题——数学家会耗费漫长岁月，和一道问题相伴。但这句话用来形容选择研究方向这件事，会更加贴切。
“对于你心里一切的疑难要多多忍耐，要去爱这些‘问题的本身’，像是爱一间锁闭了的房屋，或是一本用别种文字写成的书。”
“现在你不要去追求那些你还不能得到的答案，因为你还不能在生活里体验到它们。”
“现在你就在这些问题里‘生活’吧。或者，不大注意，渐渐会有那遥远的一天，你生活到了能解答这些问题的境地。”
——摘自莱纳·玛利亚·里尔克《给青年诗人的信》
因此我给出如下建议：
多考量不同的研究方向，扪心自问：这件事对我而言，是否具备意义？
如果答案是肯定的，那就着手去做。
如果没有意义，就继续探索别的可能性。但千万不要为了等待找到完美方向而彻底停滞不前。试着接触一点这个，再尝试一点那个。
留出时间反思自己想要研究什么，发散构思各种想法。
和你的导师、朋友好好聊聊。
花时间动手尝试，也花时间向内反思。请记住：亲身尝试与复盘思考，二者都是数学家人生的组成部分。
求点赞
求分享
求喜欢
参考资料
https://math.mit.edu/math-community/files/whatmathmeanstome.pdf
记2026菲尔兹奖得主王虹——全身心沉浸数学，方能“穿针”破局——译自量子杂志Quanta Magazine
2026菲尔兹奖热门主题之一：挂谷猜想（Kakeya conjecture） ——MFO奥伯沃尔法赫现代数学简报2026.6.19
小乐数学科普：挂谷猜想专题系列——“百年一遇”的数学证明解决了三维挂谷猜想——译自Quanta Magazine量子杂志
小乐数学科普：挂谷猜想专题系列——针尖上的猜想之塔——译自Quanta Magazine量子杂志
小乐数学科普历年合集
《小乐数学科普》2026年10月精选文章目录
《小乐数学科普》2026年Q3精选文章目录
zzllrr小乐微信公众号栏目《小乐数学科普》2026年6月文章精选
zzllrr小乐微信公众号《小乐数学科普》2026年5月文章精选
《小乐数学科普》2026年4月文章精选
2026Q1《小乐数学科普》精选文章合集目录
近三月《小乐数学科普》精选文章合集目录202512—202602
2026年01月《小乐数学科普》精选文章合集目录索引
2025年《小乐数学科普》精选文章合集目录索引
《小乐数学科普》2024年合集
· 开放 · 友好 · 多元 · 普适 · 守拙 ·
让数学
更加
易学易练
易教易研
易赏易玩
易见易得
易传易及
欢迎评论、点赞、在看、在听
收藏、分享、转载、投稿
点击左下角 阅读原文
查看原始文章出处
点击底部一起捐
助力腾讯公益
点击zzllrr小乐
公众号主页
右上角
置顶★加星
数学科普不迷路！
原标题：《王虹导师《数学于我意味着什么》by 拉里·古思（Larry Guth）2026-11》