再探“椭圆周长代数公式”的“命门”

作者：沾益一中 赵长润

一、牛顿-莱布尼兹公式的‘困境’

图1

早在19世纪，数学家刘维尔就证明了：椭圆积分的原函数，永远无法用初等函数表示出来。既然找不到原函数 F(x)，那该怎么计算椭圆积分呢？

传统的做法是把被积函数ƒ(x)展开成无穷级数，再一项一项分别“积分”，最后得到与项名达公式一样的结论。

赵长润老师的做法是：既然无法逾越‘高山峻岭’，那就修一条‘隧道’绕过去！直达目标函数本身！即使在牛顿-莱布尼兹公式受阻时，‘中值定理’的光芒依然闪烁！

积分‘中值定理’:一个连续函数的定积分等于这个函数在某个中间点的函数值乘以该区间的长度。

图2

第一积分‘中值定理’把全局性的积分量压缩为某点的函数值，其核心是‘转化的思想’，即把‘曲边梯形’转化为‘矩形’的思想→（化曲为直）。

二、‘李代桃僵’的研究思路

沾益一中物理老师赵长润，借助‘中值定理’，把椭圆周长用‘代数公式’精确地表达出来，只是sinφ。的具体形式有待细化！赵长润老师在这里釆用的研究方法是逆向运用积分‘中值定理’，其具体流程分为以下五个步骤:

①真值获取→先用‘椭圆积分’求出与特定a、b对应的椭圆周长值L；

②逆向转录→再用‘中值定理’转录成sinφ。值，其中φ。为椭圆‘回归角’，有几何意义；

③数据采样→保持椭圆长半轴a =1.00不变，让短半轴从b=0.00开始逐渐增加，每增加0·01就算出一组新的sinφ ₀ ，直到b=1.00结束，共有101组数据；

④图像拟合→取椭圆的扁平度x=b/a为横坐标，sinφ ₀值为纵坐标，并用‘描点法’作出sinφ ₀ —x的图象雏形；再用几何画板找寻sinφ ₀ 的拟合函数，并根据‘极值点的唯一性’条件，把诸多数学常数巧妙地缝合在判别式△=0中，使整个公式体系实现逻辑闭环；

⑤公式重构→最后再回到‘中值定理’，得出计算椭圆周长的新公式。

图3

公式中除a、b、x=b/a外，还包含欧拉常数γ、π以及自然对数的底数e和内禀参量λ等数学常数。这么多的‘宝石’集成在L的表达式中，使L的‘长相’不再像普通的‘初等函数’那么单纯，而更像是一个极其精密的‘映射结构’。

图4

三、‘赵长润公式’的本质

赵长润老师得出的椭圆周长的代数公式，其样貌虽像‘初等函数’，但其刻在骨子里的‘基因’却与‘非初等函数’勾连，无法把它展开为有限项多项式的线性组合，若用牛顿二项式定理对其进行野蛮展开，则其系数Ci中就一定包含诸多不可穷尽的‘非初等’数学常数的因子。以众所周知的项名达公式为例，其系数Ci虽然结构简单,但项数已不在是有限项，而变为无限项之和；不论何种表述，椭圆周长公式中都包含有不可穷尽的成分，这是‘非初等’的体现。

图5

把‘赵长润公式’当作简单的‘初等函数’是一种‘误解’，因为公式中包含圆周率π、欧拉常数γ、自然对数的底数e、内禀参量λ四个数学常数，它们都是不可穷尽的‘非初等’数学常数。

①用该公式表示椭圆周长而不作具体计算，则此时无计算误差，也叫‘零误差’；

②一旦进行实际计算，就无可避免地涉及到几个‘非初等’常数的取值量级，此时就产生了计算误差。

如果仅从‘误差’的角度看，以上两条性质与‘项名达公式’是何其的相似！但‘赵长润公式’的整体功能远比‘项名达公式’更强大，结构更稳定、内涵更丰富！可用几何画板更形象地表现出它的美学特性（取a=1.00）:

图6

四、科研启示录

①计算数学发展到今天，我们获取信息的方法和途径已远超古人，借助科技进步的‘赋能’，后人可干成一些前人未干成之事！‘赵长润公式’就是在传统的‘椭圆积分’理论之上长出的一朵新蘑菇，这种‘化腐朽为神奇’的生命力令人惊叹！

②科学家异于常人的禀赋有三：一是眼界，二是胸襟，三是韧性。‘眼界’能洞悉事物的本质，‘胸襟’能萃取‘谬误’中的养分，‘韧性’能抵御挫折的挤压!

③公式达到‘定律级’的充分验证，尚未达到‘定理级’的完全逻辑证明，但瑕不掩瑜，其99.986%的计算精度可以碾压其它所有的椭圆周长公式。

④‘赵长润公式’提供了数值拟合与理论推演相结合的非主流研究范式，是数学爱好者对经典数学难题‘逻辑禁区’的‘平行穿越’。

⑤‘赵长润公式’与‘椭圆积分’（实际是级数求和）的相对误差，在全值域范围内不超过万分之1.4即0.014%，且误差较大的点位出现在x→0的超低端，在这里， ‘级数求和’的收敛性变差，‘标的’本身的累积误差也变大。但‘赵长润公式’不随级数起舞，它的终极目标是充当‘真值’的代言人。

⑥‘赵长润公式’的图象精确刻画了‘积分曲线’的所有特征，从定性到定量两个维度相互啮合，这种‘化积分为代数’的思路，更像是一把锋利无比的‘瑞士军刀’，为人们解决实际问题带来了诸多意外之喜。