赵辉：什么是叶状结构（foliation）？——AMS美国数学会专栏
★置顶zzllrr小乐公众号，追踪《小乐数学科普》系列报道，参与数学 vs AI投票！
坚持不炒作的数学与AI报道，投稿信箱zzllrr@gmail.com
什么是叶状结构？
这不只是艺术：它呈现出由真实叶状结构启发而来、优美、无穷而蜿蜒的图案……
作者：赵辉（计算离散整体几何结构实验室）
可计算离散整体几何结构（CDGGS）实验室的首席科学家和创始人。曾任哈佛大学约翰·保尔森工程与应用科学学院访问学者、清华大学丘成桐数学科学中心访问学者；先后在BIMSA北京雁栖湖应用数学研究院、首都师范大学、北京工业大学软件学院从事科研与教学工作，博士毕业于中国科学院软件研究所。
赵辉博士开创可计算离散整体几何结构原创研究方向，提出了超结构化四边形网格；发起网格方桌学术研讨会、可计算离散整体几何结构全球巡回艺术展公益科普活动、meshDGP线上学习会等。
另请参阅作者之前文章：
赵辉《整体几何结构：从抽象到构造、可视化与应用》——译自美国数学会通告AMS Notices 2026.10
日期：2026-11-1
引言
叶状结构（foliation）是一类数学上的整体几何结构。所谓叶状结构，就是把一个光滑形体（例如三维空间或者曲面）切割成大量纤细、平行、互不相交的“薄片”或“层”，就像一本书的书页、胶合板的夹层或是木材的纹理。这些薄层称为叶（leaf），彼此永不相交，如下图所示。它们平滑地填满整个空间，没有空隙，也不会杂乱重叠。在几何与拓扑中，叶状结构可以帮助我们理解流形这类复杂弯曲空间的内蕴、整体几何性质。叶状结构可以通过计算并可视化，让这个抽象概念变得直观可感。
亏格2曲面上的叶状结构，由编程平台 Geometric 生成。
古器物
世界各地的古人早已观察到叶状结构的形态，并将其绘制在各类器物上，下图这件秘鲁古器物即为一例。
秘鲁古器物，赵辉博士2015年摄于哈佛大学博物馆。
塞浦路斯陶罐，赵辉博士2024年摄于大英博物馆。
瑟斯顿与沙利文的手绘
菲尔兹奖得主威廉·P·瑟斯顿是20世纪最伟大的几何学家之一。1970年代初，他在加州大学伯克利分校期间，与丹尼斯·沙利文一道，直接在埃文斯楼数学系大楼的墙上绘制了一幅巨大的叶状结构图案。这不只是艺术：它呈现出由他正在研究的真实叶状结构启发而来、优美、无穷而蜿蜒的图案。
这些曲线代表了三穿孔平面内一个特殊曲面上叶状结构的叶。这是他的一种方式，把抽象、难以想象的几何化为看得见的美丽图像。这幅壁画十分有名：https://www.ams.org/notices/200303/200303FullIssue.pdf 。它展现出瑟斯顿多么习惯于依靠图形与形状思考，而不只是公式。这幅画也成为几何、直觉与数学之美的一个象征。
瑟斯顿手绘的叶状结构草图在墙上留存四十余年，激励了一代又一代学生。令人惋惜的是，埃文斯楼这一标志性的叶状壁画，在2014–2015年大楼翻新时被覆盖，就此消失。
曲面上的叶状结构
当年瑟斯顿只能徒手在二维平面的简单区域上画出叶状结构。借助计算机算法，我们可以在各种复杂曲面上构造并可视化叶状结构。我们的算法利用嵌入曲面中的带形图（ribbon graph）施加约束。
带形图示例。
圆圈代表叶状结构的叶；连接节点的线条属于带形图。
叶状结构的闭叶是一片构成简单光滑环路的叶，没有端点：起点与终点重合，且不自交。与之相对，普通的叶可以无限延伸，或是在曲面上稠密缠绕。直观来说，闭叶就像一条闭合曲线、一个圆环，嵌入叶状结构的分层之中；它附近的叶或是与它平行延展，或是向它螺旋收敛，或是从它向外螺旋散开。因此闭叶对于理解曲面上叶状结构的整体行为与奇性结构至关重要。
曲面上叶状结构的零点是孤立奇点，在该点处叶状结构局部的正则结构被破坏。在远离零点的地方，叶状结构由光滑、互不相交的曲线（即叶）构成，沿着平行方向平稳延展；而零点处，叶片不再光滑，发生收拢、断裂或是汇聚。这些奇点对叶状结构的整体拓扑至关重要；计入适当的指标后，奇点总数由底曲面的亏格决定。对闭可定向亏格g曲面，一般叶状结构的零点总数由相应公式 4g-4 给出。这个不变量揭示了叶状结构的局部奇性行为与曲面整体外形之间深刻的联系。
指标为2的零点。
两个指标为1的零点。
除闭曲面之外，穿孔曲面上同样可以定义叶状结构。曲面上叶状结构的极点是一类特殊奇点，常被看作叶的“源”或“汇”：附近所有叶片环绕该点螺旋，或是无限向内旋入，或是向外旋出。和一般零点（可以是鞍点或更复杂的局部构型）不同，极点的局部旋转结构更简单，类似水流绕着下水口旋转，或是线条从中心辐射、向中心汇聚。极点属于孤立奇点，计入奇点总数，把极点附近的局部旋转行为和叶状结构、底曲面的整体拓扑不变量联系起来。
亏格2曲面，带有一个次数为2的极点的叶状结构。
亏格2曲面，带有两个次数为1的极点的叶状结构。
叶状结构的怀特黑德等价（Whitehead equivalence），通俗地说，是一种灵活的拓扑等价：两个不同的叶状结构本质上是同一个，也就是说，可以通过光滑形变、拉伸、弯折，把其中一个连续调成另一个，全程不切割、撕裂、粘合叶片。就像一张画了线条的皱纸，你可以把它重新展平而不扯断上面的线条。所有可以通过这类光滑形变互相转化的叶状结构属于同一个怀特黑德等价类。
分类依据不是精确死板的几何外形，而是它核心不变的结构；数学家借此依据拓扑行为来归类、比较叶状结构，而不是纠结细微几何差别。属于不同怀特黑德类的叶状结构，可以在我们这篇微信推文中看到不同视角：https://mp.weixin.qq.com/s/2qN33DJ3QN1a96UMi2m_Sw
分属两个不同怀特黑德等价类的两组叶状结构。
叶状结构也可以定义在带边界、带穿孔的曲面上，见下图。
一个边界、一个穿孔的曲面上的两组叶状结构。
带有三个边界的曲面上的叶状结构。
调和叶状结构
调和叶状结构是曲面上一类性质特别好、处于“平衡态”的叶状结构。构成它的叶片曲线几何光滑、无多余张力，如同曲面上最自然的流线，没有不必要的弯折与畸变。简单来说，这些叶片类似松弛的极小曲线，尽可能降低局部曲率，贴合曲面的内蕴几何；因此调和叶状结构既有干净的分析性质，拓扑行为也很规整。它在连接曲面几何与整体拓扑结构（例如奇点零点数目、曲面亏格）方面起到重要作用。
非调和叶状结构。
部分叶状结构是只覆盖曲面一部分区域的叶状结构。部分叶状结构可以是任意窄的若干闭合环路。
部分叶状结构示例。
通过降低狄利克雷能量，部分叶状结构可以在同一个怀特黑德等价类内逐步形变成为调和叶状结构。每一个怀特黑德等价类中，有且仅有一个调和叶状结构。形变过程可以在我们的微信推文里查看：https://mp.weixin.qq.com/s/9pm9Q1PplZbqFJmUxO00Ag
部分叶状结构向调和叶状结构形变（图一）
部分叶状结构向调和叶状结构形变（图二）
一组互相正交的水平叶状结构与竖直叶状结构合在一起，构成一类新的整体几何结构：全纯二次微分与亚纯二次微分。
（此处原文图片缺失，敬请谅解！）
全纯二次微分，由红色水平叶状结构与绿色竖直叶状结构共同构成。
调和叶状结构以及对应的亚纯二次微分。
应用
一些特殊的亚纯二次微分会把曲面划分成网格，也就是对整个曲面做正方形铺砌。控制调和叶状结构的怀特黑德等价类，就能得到曲面格上不同的正方形铺砌样式。这种可控的正方形网格划分称为超结构化四边网格（Super Structured Quad Mesh），构造、实现这类网格的问题被称为灵山问题（Lingshan Problem）。超结构化四边网格在CAD/CAE工业软件中十分重要。
正方形铺砌示例一。
正方形铺砌示例二。
两组叶状结构以及它们对应的网格。
延伸阅读
Hui Zhao. A Global Touring Art Exhibition of Computational Discrete Global Geometric Structures. Project website. https://www.globalgeometry.cn 2025.
Gabai, David, and Steven P. Kerckhoff. “William P. Thurston, 1946–2012.” Notices of the American Mathematical Society 62, no. 11 (2015): 1318–1332.
Hui Zhao. A Geometry and Topology Code Platform: Geometric. Unpublished manuscript. Personal website. https://meshdgp.github.io 2025.
Hui Zhao, Shaodong Wang, and Wencheng Wang. “Global Conformal Parameterization via an Implementation of Holomorphic Quadratic Differentials.”IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, vol. 28, no. 3, pp. 1529–1544, 2022.
Hui Zhao, Global Geometric Structures: From Abstraction to Construction, Visualization, and Applications, Notices of the American Mathematical Society, Volume 73, Number 9, October 2026, pp. 733–739, Feature Article, DOI: 10.1090/noti3384 .
致谢
本文工作是《美国数学会通告》这篇专题文章赵辉《整体几何结构：从抽象到构造、可视化与应用》——译自美国数学会通告AMS Notices 2026.10的一部分，目标是把抽象的整体几何结构转化为算法构造、代码数值实现、可视化与工程应用；反过来，也把算法思路与工具引入整体几何结构的数学研究。
题献
谨以此文，献给我的女儿赵昱渡（音译）与妻子王晓玲，满怀爱意与感恩。
译者梳理的术语说明
foliation：叶状结构
leaf：叶
genus：亏格
ribbon graph：带形图
Whitehead equivalence：怀特黑德等价
harmonic foliation：调和叶状结构
holomorphic quadratic differential：全纯二次微分
meromorphic quadratic differential：亚纯二次微分
Dirichlet energy：狄利克雷能量
manifold：流形
punctured surface：穿孔曲面
source / sink：源 / 汇
求点赞
求分享
求喜欢
参考资料
https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2026/11/01/what-is-a-foliation/
赵辉《整体几何结构：从抽象到构造、可视化与应用》——译自美国数学会通告AMS Notices 2026.10
https://mp.weixin.qq.com/s/2qN33DJ3QN1a96UMi2m_Sw
https://mp.weixin.qq.com/s/9pm9Q1PplZbqFJmUxO00Ag
https://www.globalgeometry.cn
https://meshdgp.github.io
小乐数学科普历年合集
《小乐数学科普》2026年10月精选文章目录
《小乐数学科普》2026年Q3精选文章目录
zzllrr小乐微信公众号栏目《小乐数学科普》2026年6月文章精选
zzllrr小乐微信公众号《小乐数学科普》2026年5月文章精选
《小乐数学科普》2026年4月文章精选
2026Q1《小乐数学科普》精选文章合集目录
近三月《小乐数学科普》精选文章合集目录202512—202602
2026年01月《小乐数学科普》精选文章合集目录索引
2025年《小乐数学科普》精选文章合集目录索引
《小乐数学科普》2024年合集
· 开放 · 友好 · 多元 · 普适 · 守拙 ·
让数学
更加
易学易练
易教易研
易赏易玩
易见易得
易传易及
欢迎评论、点赞、在看、在听
收藏、分享、转载、投稿
点击左下角 阅读原文
查看原始文章出处
点击底部一起捐
助力腾讯公益
点击zzllrr小乐
公众号主页
右上角
置顶★加星
数学科普不迷路！
原标题：《赵辉：什么是叶状结构（foliation）？——AMS美国数学会专栏》