数学家心声：《数学的接地气灵性》by 塔里克・奥加布（Tarik Aougab）2026-10-13
作者：塔里克・奥加布（Tarik Aougab）
哈弗福德学院数学系副教授，研究方向：几何、拓扑、群论。
另请参阅：
驾驭AI危机：写给学生的一份平实指南 by 塔里克·奥加布（Tarik Aougab）2026-9-7
日期：2026-10-13
摘要
本文提出：人类从事数学研究，很大程度上是为了安顿、同时赞颂我们身-处自然之中的物质性存在。受戴维·艾布拉姆（David Abram）《成为动物》Becoming Animal一书启发，我们主张：与那种将数学归为超脱尘世的柏拉图理念世界的流行看法相反，数学实践里的精神性根植于大地、栖于大地之中。本文以此视角展开探讨，反思AI人工智能在数学研究工作流中被广泛应用这一现象。
1. 分界时刻
我们常常听到一套简洁讨喜的说法，用来解释各类数系的诞生：随着人类文明的组织复杂度不断提升，人们需要越来越复杂的算术体系来完成组织管理。货币流通催生了债务的概念¹，负数也就应运而生。和土地丈量、农业生产相关的现实问题催生了平面几何，继而推动无理数被发现，如此等等。
¹ 若你对这段存疑的历史感兴趣，强烈推荐阅读戴维·格雷伯（David Graeber）的《债务》。书中开篇就质疑经济学家代代相传的一个叙事：货币是从物物交换中自然诞生的——当很多人只有小麦、想要鞋子，而唯一的交易对手只有皮革、想要奶酪，反复碰壁之后，货币便应运而生。这个故事固然包含一点事实内核：货币确实解决了交易双方需求无法匹配的难题；但要说货币就是为了解决这个问题才出现，则完全是另一回事。
后来，部分人群积累起充足的剩余物资，让少数人可以脱离现实应用目标，专心创造数学。于是我们有了多项式代数、解析几何、虚数，还有模形式、霍奇闭链、阿贝尔范畴等等。这套叙事听起来很有吸引力，但在我看来，它经不起仔细推敲，只是一则虚构故事。可它代代相传，不断讲给一代代年轻数学家听。
在我看来，它至少在两个层面没能抓住数百年来数学发展的核心特质：
（1）这套叙事虚构了一个人类历史上的关键节点，宣称数学从此脱离物质现实；但它无法解释，在脱离现实之后，人们为什么还要继续做数学。
（2）它忽略了数学实践本就恒在的精神维度——早在数学不再纯粹服务实用之前，这种精神性就已经存在。后文我将把这个假想节点称作分界时刻。
我们都听过毕达哥拉斯学派的传说：至少传说如此，他们不惜用暴力维护有理数的至高地位²。或许你也听过阿基米德那则真伪难考的轶事：士兵命令他停止在沙上画图，他不予理会，最终被刺死。
想要调和“实用先于理论”这套简化的数学史故事，和大量带有精神色彩的数学传说，一个办法就是宣称：这些故事都发生在分界时刻之后，彼时数学家已经挣脱尘世现实的枯燥束缚。
没人能精准定位这个分界时刻，但它显然早于阿基米德所处的时代。按照这套说法，阿基米德的思绪早已挣脱日常琐事，一心探索柏拉图世界里抽象之美，即便是武力威胁，也无法把他的心神拉回现实。
这些传说是否属实其实并不重要；重要的是它们广为流传，人们相信其中藏着数学家该如何生活的启示。而本文的核心论点是：这个分界时刻，根本不存在。人类的数学实践自始至终都带有精神性；这种精神体验，帮助我们感知一个无可否认的事实——人类扎根于大地。
从这个角度来说，“尘世应用”和“追寻柏拉图式之美”二者对立的二分框架，完全是虚假的。我当然不否认，面对士兵的威胁，阿基米德毫不在意；但我们或许该留意另一件事：在那一刻攫住他想象力的，正是脚下的沙子。沙粒可以顺势流动，承接他画出的线条；每一粒沙互相推挤，既有足够的流动性，承载他脑海里圆形的轮廓，又保有固体的特性，让画出来的图形得以留存。
² 更不用说毕达哥拉斯其他精神执念，例如灵魂轮回说，以及由此衍生出来的禁食豆子的规矩。
需要说明的是，我并不是说阿基米德是在有意识地研究沙子奇妙的物理性质、把几何作图当成研究沙子的手段。我的观点是：数学向来在一定程度上是一种创造性表达，是人类和周遭物质的大地环境产生联结的方式。它是一种冥想式实践，能加深我们对自身和自然之间联结的感知；而这份增强的觉知，又能引导数学家获得全新的逻辑洞见。
这也回应了上面第一条对“实用优先”童话叙事的质疑：哪怕我们心中并没有要解决的现实具体问题，我们依然做数学。或是为了体会扎根大地的归属感，或是抒发失去这份归属感的怅惘，又或是用来安放肉身活在世上必然伴随的惶惑不安。
数学，这门尽力追寻绝对与确定的学问，可以抚慰一切生命因其有限、命运不可预知而生的焦虑。它是一门精神艺术，人类借由它赞颂、同时承受一条关于自身的根本真相：我们属于物质世界，源自物质世界，与物质世界不可分割。
2. 人工智能与《成为动物》
在给出实例阐释我的观点之前，我先说明本文标题，以及主要思想来源。我认为，现代数学家群体普遍缺乏自省能力：我们从来没有在整个学科范围内投入足够精力去培养自省的能力。这个短板催生了一大批和现实严重脱节的数学分支。
我们常常分不清数学实践的表象、衍生结论，和数学得以存续的根本缘由。我们都听过那些差强人意的解释，一端是“实用优先”，另一端是“纯数学优先”：比如“我们做数学，是因为数学不合理的有效性，擅长解决现实问题” https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/wigner.pdf ，或是“我们做数学，只是因为数学很美”。这种认知上的混乱，叠加现代生活种种割裂人自身、割裂人与其他生命的因素，造就了一种精神空洞的数学范式，占据了我们的智识领域。
即便是我们当中最负盛名的前辈，也很少认真梳理自己做数学的内在动因，所以他们偏爱用简单、乏味、带有殖民征服色彩的比喻：做数学就像在幽暗丛林里摸索，挥动镰刀开拓视野；又像是第一个登上顶峰的人，俯瞰大地，随后插上旗帜宣告占领。当然也有例外³，比如格罗滕迪克（Grothendieck）描述自己创造过程的比喻：把栗子泡在水里，等它慢慢变软、自行绽开。
但是两点需要说明：第一，在成长于西方环境的数学家之中，格罗滕迪克本就是异类，无论是他反殖民的立场，还是主动觉知自然的意识；第二，即便这个比喻宁静、充满冥想意味，它也只道出了数学家和数学双向关系的一半。正如我们塑造周遭孕育我们的自然、也被自然塑造，数学同样渗入我们，改变我们的思考方式，重塑我们和理论、和其他数学家之间的关系。
³ 不止是个别特例，还有很多植根于原住民知识传统的数学体系，避开了这类单调的征服式隐喻，感兴趣可以访问这个网站了解。
https://indigenousmathematicians.org
无论如何，人工智能出现之后，学界关于数学这门学科本质的讨论，终于慢慢消解了现代数学家不愿向内审视的抵触心态。但如果我们想要扛住这项新技术带来的冲击，时不我待。我们需要尽快更深刻、更富想象力地思考：数学究竟安抚了我们集体心理中的哪些部分？我相信这才是人们从事数学的核心动因。
这一思路和戴维·贝西斯（David Bessis）的呼吁（Mathematica: a secret world of intuition and curiosity. ）互为补充：他呼吁数学家更坦诚地向公众、也向自己坦白我们思考的方式。他的主张十分合理：我们应当理清证明新定理时脑子里发生了什么；而本文提出的问题更进一步：我们要弄清，我们一开始想要思考这条定理，潜意识里的动机是什么。
如果正如我猜想的那样，这份动机源自想要和自然万物融为一体的渴望，那么拥抱AI进入数学研究，或许会带来一轮数学成果爆发，却同时让我们离做数学的初心越来越远。
很容易预见到一种反驳：如果把数学主要当成精神追求，而非用来解决现实问题、改善世人生活的工具，那只是闭门空想、自我沉溺。
但首先，这种反驳本身就掉进了“分界时刻”的陷阱。我所提出的这种精神取向，并不排斥解决现实问题。那些流传的刻板印象，把数学家描绘成不食人间烟火、凭空造出抽象理论、说不清美在何处的人，而我所说的精神性扎根于大地，扎根于人与人之间的联结。
其次，我并不认为驱动纯数学持续发展的动力，是研究者确信自己的成果终将解决现实问题、造福人类。我想探究的是人们为什么在做数学，而不是人们应当为了什么去做数学。
还有一种极易出现的误解：把我讨论的这种精神性等同于新时代灵性运动。也就是那种零散拼凑、误解东方神秘主义、神秘学、各类原住民传统，偏向个人化的追求。我想要探讨的精神性和它截然不同。
后者是一种误入歧途的西方消费文化（说到底，只是卖书、卖课程的生意）；而我所说的精神性，根植于人与人的联结，以及我们和非人类世界的纽带，我们只是这个世界微小的一部分。
同时我也要明确区分这份扎根大地的精神，和部分早期博物学者的写作：很多白人环保主义者主张，要把原住民迁出他们眼中的荒野，以此保护这片土地。这种想法，和以万物联结为核心的生存理念背道而驰。
本文另一核心灵感来源，是哲学家、生态学者戴维·艾布拉姆（David Abram）的佳作《成为动物》Becoming animal: an earthly cosmology。很难用几句话概括这本书的分量。说实话，它之所以震撼我，一部分原因是在读之前，我只模糊知道一点皮毛，并不了解原住民有如此多样的实践方式，用来维系人、土地、动植物之间的关系。
这本书是一篇优美、诗意、充满洞见的沉思，探讨意识，以及意识或许诞生于所有自然生命本自具足的感知，彼此交织成的关系之网。我了解同行，清楚有些说法会让他们心生排斥，所以在此澄清：艾布拉姆的立场绝非反对技术、反对现代科学。他本人这样写道：
“本书所有文字，无意贬低科学揭示出的精妙规律，也不是否定推导这些洞见所必需的抽离式思维。我只想指出：科学所依赖的这种客观抽离姿态，本身建立在人类有机体与世界之间更本能、直接的交互之上。正是这份原初、持续不断的参与，慢慢塑造了我们明亮的双眼，让我们得以凝望这颗星球上的光影；也塑造了我们善于聆听的耳朵，捕捉那些对生命至关重要的纷繁声响，同时对另一些声音置若罔闻。”
面对当下的处境，我强烈推荐数学家读一读这本书。就算没有AI带来的紧迫问题，我也会极力向同行推荐。很多数学家天然向往自然、喜爱户外，在林间漫步、攀岩、探访峡谷，这绝非巧合。
为了让你感受这本书的文字魅力，下面摘录一段精彩段落，艾布拉姆描绘日出与日落之中的声音景观，全文照录，值得细细品读。你也可以留意，这段文字本身就蕴含浓厚的数学意味：
一颗球体悬浮在无尽深处，轮廓在墨黑的幽暗里朦胧不清，一团黑上叠黑的虚影，淡得仿佛只存在于想象之中……
看：一缕微光缓缓沿着球体边缘铺开，勾勒出球面的弧线，像一张绷紧的金色弯弓。光的边界几乎难以察觉地滑过圆面，身后留下流光；这道明亮的弓慢慢延展，化作一弯泛着蓝光的月牙。随着光亮的前沿继续推进，白光、棕光、绿光陆续在蓝色之中显现，直到半个球面被照亮，继而四分之三，最后整颗圆球在无垠幽暗里，绽放出完整、浑圆的光芒。
可这光亮的球面，却透着失衡、不稳的感觉。为什么？仔细看：又一道边界紧随光之后，黑曜石一般的黑暗，极其缓慢地在球面上蔓延，所过之处，抹去所有色彩。
听：阴影推进的前沿，伴随着一阵若有若无、如同低语的声响。你听见了吗？凑近一点，静心聆听……没错，黑暗的前缘既是一道可见的边界，也是一道可以听见的界线，一阵低语像波浪般缓缓滚过球面，把斑斓色彩吞没在夜色的沉寂之中。
当黑暗抵达球体最远的边缘，另一道有声的波浪从原先光亮一侧涌出，开启新的旅程，一路向前照亮球面，释放出蓝色与翻涌的白光。它流动时发出的轻啸低语，和上一道黑暗浪潮的声响别无二致，是令人沉醉、轻柔的乐曲。我们再凑近聆听……
啊，这道移动的边界，听来是层层叠叠的簌簌声，一张由疾风、流水般音调交织而成的声幕，有的音上扬再回落，有的音起伏婉转，缥缈空灵。当我们贴近这颗球体，半明半暗的球面铺满视野，这奇异声响的蓬勃活力将我们包裹。纷繁声线渐渐可以分辨：有燕雀急促的颤音、歌雀切分起伏的鸣啭、冬鹪鹩急促细碎的啾鸣、草地鹨流畅的啼叫；旋木雀细碎断续的絮语，混着啄木鸟的笃笃敲击；松鸦聒噪的叫嚷，家雀鼻音婉转的鸣唱。所有声音织成一张浓密的声之帷幕，缓缓拂过大地。
这条声音的前沿走过宽阔水域、海湾与海洋时，声响几乎归于沉寂；踏上陆地，音量又重新扬起。浪潮继续向前，海鸥凄切的悲鸣、矶鹬与反嘴鹬的鼻音哨声、鸬鹚低沉的咕哝相继汇入；杓鹬婉转的调子、大雁的鸣叫、蜂鸟穿梭花间的振颤；知更鸟起伏婉转的歌声、唐纳雀沙哑的鸣啼、鹀鸟奔放的节奏。这边是斯氏夜鸫缓缓爬升、幽魅般的琶音，那边是峡谷鹪鹩奔涌而下的连串鸣音；渡鸦喧闹的应答，夹杂着咔哒与灵动的低鸣；最后是潜鸟哀婉的长鸣。每一声啼鸣都有自己的位置，在这滚动的声浪里占据独属于它的音调生态位，在破晓漫开、晨光洒向大地之时，汇成蓬勃涌动的黎明之声。当这道声浪向前远去，各地嘈杂的合唱慢慢平息，鸣禽各自投入白昼里生存的要务。
当然，原野、支离破碎的林地，乃至没有树木的棚户村落、城郊后院，依旧有鸣啼往来。是日常的问候、闲谈，偶尔一声高歌。但远不如黎明时那般热烈奔放。此刻不必耗费这般气力，生命的精力要留给觅食、育雏、躲避天敌。等到暮色渐浓，影子拉长，房屋墙面浸在蜜色金黄之中，歌唱的冲动才再次涌上喉咙，被缓缓下沉的落日唤起。于是篱笆、电线、杨树枝头，无数嘹亮的歌声充盈傍晚的空气，交织成一曲欢欣真挚的颂歌，随着黄昏边界一点点靠近而愈发饱满——仿佛这歌声，就是黄昏本身的声音。事实也正是如此。
直到暮色沉为黑夜，盛大的合唱归于比日间闲谈更深的寂静。蟋蟀细碎的摩擦声，搭配远处大角鸮的鸣啼，一张清凉的寂静吊床，悬在二者之间。
这就是我们栖居的奇妙世界：一颗巨大的球体，两道绵长的鸟鸣声线，沿着球面稳定地向前推进，永远遥遥相对；两股欢鸣的声浪，永不停歇地环绕这颗星球滚动。
3. 实例
接下来我举一些具体例子支撑我的论点。我选取的主题是我个人非常关切的方向：双曲几何与负曲率空间。不需要读者具备该领域的深厚基础，也能理解后文的观点。
自然界中随处可以见到负曲率现象的影子，例如：
在液体刚被搅动之后，在合适条件下，液面产生的气泡会不断新生，填充原有大气泡之间的空隙，形成的图案类似阿波罗尼奥斯圆簇。这个图案本身和双曲三维空间上的离散等距群作用有关。如果你不熟悉这些概念，看图1就足够了。
图1：阿波罗尼奥斯圆簇
树叶表面积越大，能接收的阳光就越多。但巨大叶片会给下方叶片投下浓重阴影，演化于是发展出一种精巧的方案：部分植物叶片采用差异生长模式，叶片边缘生长速度快于中心。叶片面积过大，无法平整铺在一个平面上，边缘就形成波浪、褶皱。关键在于，这部分多出的面积带来的阴影被叶片自身的起伏收纳，不容易落到树干下层的叶片上。
这种面积增长速度超出平面容纳上限的特性，正是双曲几何的核心特征。珊瑚礁上也存在同类形态，背后既有相同、也有其他生物机理。不少喜爱数学的人受到启发，用钩针编织珊瑚模型，依靠双曲几何的基础规律指导编织（见图2）。
图2：钩针编织的双曲珊瑚，可以留意珊瑚褶皱边缘，用深红色标出
https://crochetcoralreef.org
尽管这些自然和数学的关联奇妙优美，但这并不是我想要重点讨论的内容。诚然自然界存在负曲率结构，毕竟我们连同我们的思想都属于自然，但我并不认为，我们在心理上被双曲几何吸引，只是为了弄懂树叶的形状。我认为，在潜意识深处，研究双曲几何回应了我们的渴望：和周遭这个无限、万物相连、充满奇妙的物质世界建立联结。
下文我将围绕纯数学很多分支（甚至全部分支）共通的三个主题展开讨论，以双曲几何作为载体方便阐述。这三个主题是：
（1）对称性
（2）与无穷打交道
（3）唯一性与刚性
原版文稿中，数学功底扎实的读者对应的段落标成蓝色（本公众号文章已按作者原稿格式要求标蓝，译者注）。可惜ArXiv不支持文本高亮，所以这个版本去掉了高亮。但我已经尽力让内容对没有数学背景的读者友好。你也可以打开本段开头的谷歌链接，查看原始版本。
3.1 对称性：由局部而知整体
如果你读过任何数学科普，几乎一定见过专家试图阐释对称性之美与重要意义。可对称性为何如此重要，总有一种难以言说、捉摸不定、稍纵即逝的特质。一方面，人们钻研含对称性的定理，或许是因为这类定理才是我们有办法证明的：对称性一旦存在，就是简化演算的有力工具。另一方面，数学家偏爱对称性，是因为它“很美”。
我并非哲学家，对美学理论几乎一窍不通，因此说不清为什么很多人会觉得对称性富有美感。当然，简单上网检索就能找到不少相关理论：
（1）人类大脑在演化中形成了欣赏视觉对称物体的倾向，因为处理对称图形耗费更少算力（只要理解反射对称图形的一半，就能推知整体）；部分研究表明，神经负荷降低会带来安定感。
（2）演化层面上，不对称往往和危险、病态相关。举例来说，一侧看似成熟、另一侧已经腐烂的果子，应当完全避开。当然，整颗全部腐烂的果子同样不能吃，但在我们眼中，腐烂的生物过程本身就很不对称，而健康果肉往往形态均匀圆润。
（3）千百年来，不少人主张对称性昭示着更高力量的存在，或是某种普适真理。
我并不打算驳斥这些解释；说不定每一种说法都在各自角度成立，都能帮我们理解喜爱对称性的缘由。我只是想补充另一层愉悦感的来源：
会不会是因为，我们喜爱对称性，是因为它代表一小块局部就能够领会整体真理的能力？会不会它呼应着我们的渴望：在彼此迥异的心智、身体之间，以及我们和自然世界其他维度之间，架起看似无法逾越的桥梁？
在我看来，对称之所以令我们感到优美，是因为它直观具象地承载着人类一种深切的向往：一个生命，哪怕只是大千世界里微渺到难以想象的一部分，依然想要理解整个世界。不同生灵感知自然的体验彼此隔阂、无法通约，这件事既让人深深不安（同时也蕴含大美，下一节会谈到）。而想象一类结构，仅凭其中一个组成单元就能复现全体，会抚平这份不安。
我不能代表其他双曲几何学者，但我在读高中时，正是看到埃舍尔（M. C. Escher）那些著名的密铺画之后，才萌生深入学习这门学科的想法（参见图3、图4）。埃舍尔创作这些作品，本意就是探索对称与秩序。虽然他选择双曲平面作为探索的舞台，未必是出于对称性考量（他也绘制普通欧氏平面密铺，还有大量依托球面几何知识的作品），而是出于下一节将要讨论的原因，但双曲几何和对称性之间有着独一无二的特殊关联。
二维空间里，所谓黎曼对称空间仅有三类；这类空间拥有最高的各向同性，空间中任意一点在几何上都和其他点等价。对专业读者而言：几乎所有黎曼曲面都可以由双曲平面单值化。通俗来讲就是：几乎每一个局部看起来和平面无异的二维延展（流形），都可以取一块双曲区域，再设定一套类似吃豆人式的粘合规则——图形从区域一条边界穿出，就会无缝从另一条边界穿入。球面、欧氏平面、双曲平面，这三类对称空间之中，唯有双曲平面，承载了绝大多数二维流形所能拥有的最大对称性。
图3
https://mathoverflow.net/questions/50872/how-might-m-c-escher-have-designed-his-patterns
图4
https://mathandart.com/blog/escher_and_tessellations/
埃舍尔的密铺图案里，铺元是极具艺术性的动物与形象。但当我们把视野拉远、观察整套密铺时，自然而然会留意各个铺元之间的关系。说实话，前面那句“由局部而知整体”其实说得有些夸张：单凭一块铺元，并不能复原整套密铺。只用反射对称的例子就很容易理解：如果只给你半个图形，告诉你沿某条对称轴反射得到完整图形，要是不知道对称轴的位置，你根本没法还原全貌。
每一块铺元完全相同，视线自然会被吸引到铺元在整体构图里彼此排布的关系上。于我而言，这呼应了过去一百年数学里一条反复出现的洞见：理解数学对象之间的关系，其重要性不亚于、甚至高于理解对象本身。我认为，这一点之所以能激起我们强烈的智识兴趣，还因为它契合人类一种本能体悟：世间精神性的真相，不只寄托在每个个体身上，也维系在支撑我们集体存续的联结纽带之中。
3.2 无穷：物质世界的无界
艾布拉姆（David Abram）向读者抛出的一个核心思考方向：不妨设想，世间每一个存在，无论看起来多么微小、多么死寂，都拥有属于自身的体验与感知。从这个视角看，每一片旷野、公寓里的每一个房间、每一片小树林，本质上都是无边的——无数生命，以无穷多种方式感受着它们。下面是艾布拉姆描写林间漫步、体会这份真谛的段落：
一张蛛网糊在了我的脸上……我把蛛丝从鼻尖、棒球帽檐擦掉；正要把帽子戴回头上，忽然看见那只蜘蛛，距离近到我要斗鸡眼才能看清它褐色的躯体：它靠一根蛛丝悬在帽檐。蜘蛛倒挂着，足向内收拢，顺着不断拉长的丝线，离帽子越来越远。
“嗨呀，”我试着轻声打招呼，把帽子举高，让它停留在视线高度，可它依旧顺着丝线往下滑、漂向远方。我走到旁边一棵矮栎旁，把丝线连在帽檐的那头转移到一片高处的叶子上。叶片的脉络在我眼前清晰分明，枝梢小小的结节里，来年的芽苞已经在孕育。蜘蛛短暂抓住了我的目光，把我的感官带入另一重尺度的体验，而这重体验，向无限敞开。
正如艾布拉姆所说，这种思考方式，在通常排斥它的西方思想传统里同样能找到回响。例如斯宾诺莎（Baruch Spinoza）的哲学体系将神等同于自然本身，主张一切物质形体都蕴含灵性；斯宾诺莎把无穷置于物质世界之内。这和三大亚伯拉罕宗教（至少是最主流、正统的版本）形成鲜明对照——后者把神安置在完全脱离物质的彼岸；这也是斯宾诺莎被葡萄牙犹太会堂逐出教门的重要原因。
无论如何，现代数学为我们提供了一套语言与工具，可以合乎逻辑地探讨无穷。我们能够在智识层面和无穷打交道；从这个意义上说，我们与无穷的关系，带有斯宾诺莎思想的色彩。对我而言，这正是做数学一件深邃动人、令人心驰神往之处：把无穷引入我们所在的世界，从而和无界之物相遇。
前面提到，双曲几何的标志性特征是面积呈指数增长。无穷之所以能在有限视野边界处“显现”，正是这种面积快速增长带来的结果。在埃舍尔的那些图里，每一个天使/魔鬼或是鱼形铺元，实际大小全都一样；看起来很小，只是因为它们离视野中心很远。在这个意义上，图形的圆形边界，代表视觉意义上的无穷远。
这正是埃舍尔选择双曲平面作为密铺画布的核心动因之一：他想要直接和无穷对话。而借助这套几何，无穷被收纳在一个有界区域之内，便于人的心智与感官去把握。更进一步，在双曲几何中，无穷本身拥有自己的形状、自己的几何：二维情形下它是圆周；一般情形下，它是比它所包围的双曲空间低一维的球面。我们常常可以通过观察几何过程在无穷远球面上留下的印记，洞悉双曲空间内部演化的深层规律。这进一步印证无穷的物质性。
简而言之，有一种想法格外吸引人：无穷本就寄居于自然世界之中，而不是完全在世界之外、和物质世界互不相交。我认为，那些以各自方式承载这一观念的数学传统，会深深吸引我们。
3.3 刚性：面对无常的安顿
数学里随处可见定义恰当的结构所具有的唯一性。只要你审慎地把握一个数学性质，并且这个性质本身足够“自然”，往往就能证明：满足条件的对象是唯一的（当然，是在等价意义下唯一；方程 x−4=0，我们认为解唯一，尽管4和3+1数值相等）。
为什么数学里的这种唯一性，会让我们心生喜爱？在双曲几何里，唯一性有很多表现形式。比如任意两点之间，有且仅有一条测地线——也就是局部最短路径；在配备双曲结构的流形上，同一同伦类的曲线里，也仅有一条这样的测地线。高维情形下，如果一个闭流形可以赋予双曲结构，那么这种结构是唯一的。
于我而言，这类唯一性自带一种空灵、凝固、刚性的气质。在想象中，我会先设想一块柔软、可形变的拓扑区域；在这块区域所有难以想象的海量形态之中，有唯一一种形态格外特别，或是因为对称，或是因为某种能量、长度、张力达到极小。
我仿佛在邀请这块区域穿上这个特定形态。当心绪不受烦扰、日常琐事、政治危机干扰而清明时，它会慢慢舒展、定格成型。一旦成型，它就凝固下来；想要形变而不破坏造就这一规整形态的约束，十分困难。
这套数学图景之所以动人，是因为它和日常现实的不可预测、混沌无序形成对照。万物恒变，唯一不变的就是变化本身。我们刚以为牢牢把握周遭一切，它转眼就变成陌生、崭新、时常令人惶恐的模样。我想，我们被数学里的刚性现象吸引，根源和古往今来人们猜想彼岸存在永恒不变灵性国度的动因如出一辙。
4. 几点倡议
如果正如我所主张：我们做数学，或是赞颂我们扎根于自然的处境，或是回应这份处境带来的感受（无论哪种情形，数学都围绕这份扎根性展开），那么这对我们开展数学研究、规避什么、优先追求什么，意味着什么？
我想到最简单直白的倡议：到自然里去做数学。效仿阿基米德，在沙上画图。同时也效仿他，去谴责那些摧毁生命、破坏地球赖以存续的脆弱平衡的军队（当然最好不要因此丢掉性命）。在林间、沙丘、草地上思索你的概型与层。把研讨班设在荒野附近，有意识地体会这种选择，会如何改变、重塑你从事数学的潜意识动机。
已经有一个极佳范例：土耳其的内辛数学村（Nesin Mathematics Village）https://nesinkoyleri.org/en/main-page/nesin-maths-village/ 。参与者相聚于此，交流数学热情与想法，互相开课，一同耕作土地。我还未曾到访，没法细说亲身感受，但希望不久之后可以前往。
无论你身在何处——繁华都市的办公室，或是森林之中——试着觉察：你的数学思考如何源自、又依赖周遭物质环境。你肺里的空气、可饮用的清水、动植物、他人，把食物送到你面前的供应链，支撑你购置物资的公共与私人投入。也要珍惜一种重要的“空缺”，它滋养数学创造力：如果你有幸不在战火之中，远离持续的炮火轰鸣，请好好体会这份安宁。
很重要的一点：我们应当认真努力，不去无意间助长那些力量——正是它们，剥夺巴勒斯坦、苏丹、刚果、古巴、委内瑞拉、伊朗以及其他深陷帝国主义无尽戕害之地的数学同行，拥有这份安宁的权利。
参阅
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请愿代表8.28“迈向真正全球化数学共同体”TAGGMC研讨会报告1《将数学活动与政治和社会问题联系起来：抵制ICM国际数学家大会的简史》
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请愿代表6月15日公开信——抵制2026ICM国际数学家大会在美举办的行动倡议 &受邀但签证遭拒者侯赛尼・约书亚（Hussaini Joshua）发声
如果你还没有加入，可以考虑支持“公正数学集体”（USACBI）的相关声明 https://www.justmathematicscollective.net/USACBI_statement.html ，参与每月举办的TAGGMC（迈向真正全球数学共同体）研讨。认清一个事实：数学自带政治性，因为我们做数学，本就是为了和周遭世界、和彼此建立联结。
AI热潮之中，有一种声音还没有得到足够重视：不少数学家表示，不愿终日坐在电脑前，哪怕AI能够大幅助推数学产出。我们对AI保持审慎，理由不只在于它对环境的消耗。
（看好AI的人常会说，所有数据中心耗水量，比起杏仁农场微不足道。但其一，杏仁农场本就是耗水大户，这个对比本身说服力存疑；其二，这恰恰就是我希望摒弃的脱离大地性的思考方式：只统计全球总耗水量，不去追问这些水取自何处、从谁身上索取。费城市中心没有杏仁农场，却有计划在黑人聚居区旁边新建超大规模数据中心，而这片社区100年来一直承受着更高的哮喘、罕见病发病率。）
更深层的担忧是，它会进一步割裂我们和环境的联系——而我们本就是环境不可分割的一部分。哪怕未来技术做到零环境负担，长期让我们更长时间困在屏幕之前，也会切断人与一切创造力、热忱、喜悦的源头。我不知道未来会走向何方，但我不希望数学和这种灵性上的荒芜绑定在一起。
作为数学家，我们是一项古老大地传统的守护者：人类受周遭自然启发，沉思图样与形态，借数学这个载体，安放极致的喜悦、洞见，以及人类的焦虑。但出于种种复杂缘由，我们当中大多数人（包括我自己），都没能好好恪守这份神圣的责任。
我们把数学的灵性维度归到想象中的柏拉图理念世界，本质上和主流亚伯拉罕宗教的思路如出一辙：把灵性从它天然栖居的大地之中驱逐出去。不加批判地拥抱AI，会推着我们更快、更远走上这条险途。让我们重新找回从事数学的初心，刻不容缓。
5. 致谢
作者由衷感谢贾亚德夫·阿特雷亚（Jayadev Athreya）、马克·哈根（Mark Hagen）、萨姆·休斯（Sam Hughes）、赖玉芬（Yvonne Lai）、玛丽莎·勒文（Marissa Loving）、米里亚姆·库兹巴里（Miriam Kuzbary）、约翰娜·马加哈斯（Johanna Mangahas）、莫德·麦金纳尼（Maud McInerney）与阿卜杜勒·扎卢姆（Abdul Zalloum），他们阅读了本文初稿，并给出极具价值的修改意见。
参考资料
https://arxiv.org/html/2610.19216v1
https://drive.google.com/file/d/1BUwVHXNu5-HDdOYKppYS4OR892kYb29P/view
原标题：《数学家心声：《数学的接地气灵性》by 塔里克・奥加布（Tarik Aougab）2026-10-13》