数学的未来（上篇）：理解数学与创造数学 by 费德里科・阿斯基耶里（Federico Aschieri）2026-10-9
★置顶zzllrr小乐公众号，追踪《小乐数学科普》系列报道，参与数学 vs AI投票！
坚持不炒作的数学与AI报道，投稿信箱zzllrr@gmail.com
数学的未来（上篇）：理解数学与创造数学
作者：
费德里科·尼科拉·阿斯基耶里 (Federico Nicola Aschieri)
作者自我介绍：
我是一名来自意大利的作曲家，现居维也纳。年少时我热爱写作与诗歌；大学期间，我攻读数学与计算机科学，最终成为该领域的一名研究者。因工作缘故辗转欧洲各地之后，我定居维也纳。在这座城市，我深深迷上管弦乐，开始学习古典音乐作曲。
于我而言，古典音乐是这样一种语言：它能够将我理性的逻辑思维，与我与生俱来、在科研领域却难以自由抒发的艺术灵性联结在一起。很少有人知道，数学家热爱数学的根源，在于数学对象本身所蕴含的美感与完备性。因此，借由音乐追寻美对我而言是顺理成章的选择 —— 音乐同样是一套具备数学般精密的语言。
发布日期：2026‑10‑9
在 OpenAI 重磅发布一大批重大数学成果之后，数学将何去何从？
20 世纪初，大卫・希尔伯特对欧氏几何进行公理化之时，他清楚自己迈出了激进一步：把空间这一概念本身，简化为纯粹的符号语言。在他看来，公理里出现的词汇仅仅是符号，无需去追寻某种更深邃、难以捕捉的内涵。倘若 “椅子、桌子、啤酒” 恰好满足和 “点、线、面” 完全一样的语言公理，它们就会拥有相同的形式几何性质。任何满足希尔伯特公理体系的对象，无论其本质是什么，都可以被看作点、线、面。
就这样，希尔伯特开启了将数学简化为符号游戏的进程：这套游戏只需要掌握符号推演的语言规则，不需要理解别的东西；这是一套复杂的游戏，机器最终甚至能比人类玩得更好。这些语言规则可以被理解为精确的定义，而非对外部现实的描述；要玩这个游戏，不需要本体论，也不需要直觉。
自希尔伯特、弗雷格与罗素着手重构数学基础以来，这套观点就引发了大量哲学层面的激烈反对。数学家兼哲学家亨利・庞加莱在《数学与逻辑》中有一段著名文字，嘲讽希尔伯特这种认为数学可以被完全机械化的构想：
（希尔伯特）说，我们可以设想一台机器：公理从一端送入，定理从另一端输出，就像芝加哥那些著名的肉类加工机器，猪送进去，火腿与香肠就出来了。
在当时，希尔伯特的观点听上去骇人听闻；但在形式逻辑与集合论发展成熟之后，事实证明：现代数学确实可以完全归约为一场符号游戏。我们如今的新机器，不再是把猪变成香肠，而是把算力（美元投入）变成定理。这类机器，就是大语言模型。
而现在，这些机器已经开始在这场数学游戏里取胜。就在几周前，OpenAI 宣称给出纳维‑斯托克斯千禧难题的解答。两天前我们得知，和即将到来的成果相比，这还只是小事。OpenAI 公布了 377 个问题族的解答，其中包含qRH准黎曼猜想证明这类惊人成果。
我在这里的描述，甚至还低估了这个时刻的分量。这批成果的体量，足以拿下好几个菲尔兹奖。翻阅这份问题清单，人的情绪会从难以置信转向震撼：有理数域上的希尔伯特第十问题、霍奇猜想、BSD（伯奇 - 斯温纳顿‑戴尔）猜想、挂谷（Kakeya）极大问题；如此多难题要么被完全解决，要么取得史诗级进展。这是人类历史上为数不多的历史性时刻，如同人类登月，或是古希腊人创立数学演绎法。这是希尔伯特 “数学是形式游戏” 这一思想的胜利，也是机器实现超人类推理的里程碑。
这也是我个人长期关心的一个问题首次得到解决：纯类型系统中弱规范化与强规范化的等价性。我还记得博士阶段，我原本想研究这个问题。但导师劝我不要做：这个问题难度极大，而且关注者太少，对我的学术职业生涯几乎没有收益。但机器只要收到提示，就会猛攻指定问题，投入全部强悍算力，不需要任何科研动机。于是，我喜爱的一个难题就这样被攻克了。
客观来说：虽然准黎曼猜想的证明已经通过 Lean 核验，因此在合理怀疑之外成立；但这 377 项惊人成果中的绝大多数，还没有经过 Lean 形式化验证。对于这些尚未形式化的成果，OpenAI 声称问题已被解决，这种说法并不严谨。因此我建议读者，对尚未在 Lean 中完成形式化的 “解答” 保持怀疑。
不过，如果这批成果最终能够站住脚，那么毫无疑问：大语言模型正在颠覆我们两千年来所理解的数学。就算成果被证伪，这场变革也只是被稍稍推迟而已。
现实是，未来的走向已经注定，数学共同体处境严峻。既然 AI 模型能够解决这种规模、这种难度的数学问题，我们再也无法可靠判定人类发表的数学成果的归属。我们再也无法判断，一位数学家的发现究竟是独立思考所得，还仅仅是对 AI 生成证明做了编辑润色。
不出意外，陶哲轩已经宣告：数学 1.0 时代已经终结，我们正式进入数学 2.0 时代。能够促进理解的阐释性写作，应当比蛮力证明更受重视。我们需要新的方式来评价人类数学家：减少对解题能力的看重，转而重视提出问题。这个词现在听起来有些陌生，但我相信，它终将成为主流。
这场海啸迫使我们重新审视 “数学究竟是什么”。一部分数学家选择退守，采取否认现实、或是不断转移评判标准的策略：声称证明定理从来就不是数学的目的，我们真正追寻的不是证明，而是理解，并且断言 AI 永远无法获得这种理解。
但，理解数学究竟意味着什么？数学为什么如此难以理解？我们真的理解数学吗？我们凭什么独占 “理解与否” 的最终裁判权？如果数学共同体坚持这样做，会不会只是把自己推向淘汰的命运？AI 为什么不能同样写出优美、具备概念深度的阐释文本？最后，数学除了这场解题游戏之外，是否还有更多内涵？
所幸，科学哲学与数学哲学已经对 “科学理解” 这一概念做过充分研究。想要认真思考数学与科学的未来，我们必须先去理解 “理解” 本身。
理解数学
我们对 “理解” 的直观认知，植根于物理世界。理解，就是揭示宇宙的因果结构，既通过事物的成因给出因果解释，也通过事物带来的结果给出目的论 / 功能性解释。理解不仅要知晓事实，还要能够解释它。
正如范・弗拉森所说，解释需要回答 “为什么” 类问题。花园为什么湿了？因为下过雨。人体为什么有心脏？为了向全身输送血液。
这是理解的理想形态，理想情况下，这套标准也应当适用于数学。
但我们真的能在这种强意义上理解数学吗？伟大数学家、科学家冯・诺依曼有一句名言广为人知：
在数学里，你不是理解事物，你只是习惯它们。
——冯·诺依曼
从这种实用主义视角来看，数学理解并不在于找到终极的直觉化 “解释”，而是把数学概念熟悉到如同本能一般。
这套观点有着漫长的思想史，最终建立在一个简单事实之上：逻辑推理可以确立一条定理为真，却未必告诉我们它为什么为真。亚里士多德早已区分两类证明：“证明事实” 与 “证明事实背后的理由”。二者都可以确立命题为真；但只有后者旨在揭示真理背后的原因，也就是对事实做出解释。
普罗克洛斯在评注欧几里得著作时，进一步阐释了亚里士多德的这一区分。以欧几里得定理 —— 三角形内角和等于两个直角（180°）为例。经典证明是过一个顶点作对边的平行线，利用内错角相等完成推导。我们可以直观看到这些角拼在一起，刚好形成一个平角。
但普罗克洛斯实质上提出这样一个疑问：这条辅助线，真的是内角和定理成立的原因吗？
显然不是。就算我们永远不画出这条辅助线，三角形内角和依旧是 180 度。因此普罗克洛斯认为，这种辅助构造只是一种发现工具，而不是亚里士多德意义上的因果解释。
普罗克洛斯也批评了反证法。把命题的否定推导出矛盾，这算是对原命题本身的因果解释吗？时至今日，很多人依然认为不算。但反证法在数学中无处不在。
这在文艺复兴与 17 世纪引发了认识论层面的争论。皮科洛米尼、佩雷拉、伽桑狄都否认数学证明具有因果属性，他们举出大量来自数学实践、尤其是《几何原本》中的例子作为依据。与之相对，克拉维乌斯与巴罗试图恢复数学中的 “因果性”，论证那些所谓反例依然可以纳入因果证明的框架。
后来，数学家、科学家兼哲学家波尔扎诺（小乐数学科普：贝尔纳・波尔扎诺（Bernard Bolzano）生不逢时的超前天才——CAS捷克科学院2026-10-5）区分了两个概念：Grund（根据 / 根基）与Folge（推论 / 后承）
证明是一串逻辑推演，迫使我们接受命题作为已知知识的推论。而根据，是更深层的基础，用来解释这个命题。由此可见：证明不等于理解。
证明与理解
大量经验证据也支撑这一区分。数学家很容易陷入冯・诺依曼所说的 “习惯效应”，常常把 “核验成立” 误认为 “理解”。来自自然科学的例子可以帮助我们看清这点。
红移现象证明星系正在远离我们。我们接收到来自星系的光波长比正常值更长，由此推断星系向远离我们的方向运动。但这套论证并没有解释星系为什么会远离。而大爆炸理论，不仅把星系运动作为理论的逻辑推论，还完整解释了背后缘由。
问题在于：逻辑并不总能揭示现象背后的因果结构 —— 无论是物理世界还是数学世界，逻辑往往只能完成核验，无法提供解释。举个例子，阳光之下旗杆投射出影子，借助光学定律与欧氏几何，我们可以从影子推导出旗杆高度；但没有人会认为：旗杆的高度是由它的影子解释的。A 可以从 B 推导出，B 也可以从 A 推导出，但只有其中一个方向构成解释关系。
这类概念难题在数学中更为棘手。因为逻辑本就是数学最核心的解释工具。而且和自然科学不同：自然科学假定宇宙由基础规律支配；而数学中，同一个结构可以由不同公理体系描述，我们并不总能从中推断出因果结构。
事实上，能够证实定理成立的证明，常常远远早于能够解释这条定理的证明（前提是解释性证明存在）。在我的研究领域，我见过不少完全无法提供任何解释的重要证明。例如某些证明的存在性等价于形式系统的相容性，这类情况在程序语言理论中十分常见。有一点很明确：如果数学界决定禁止所有无法带来充分理解的证明，那么相当多的数学成果都要被舍弃。因此，把人类塑造成 “数学理解的唯一守护者”，很可能会适得其反。
理解证明
有些人意识到围绕数学理解的这类哲学困境，于是将 “理解数学” 缩减为理解证明。
好在，对于何为 “理解一个证明”，学界已有非常精确的定义。依据Hamami和Morris的《数学中的理解：以数学证明为例》https://philpapers.org/rec/HAMUIM 一文，理解一份证明需要完成两项认知活动：
能够说出证明整体的概念思路，并在被要求时展开细节；
能够理性重构这套思路，包括证明核心概念是如何被推导出来的。
所以，理解证明，不仅要把握结构，还要能从零出发，重构这套结构最初是如何被构思出来的。某个定义从何而来？某项技巧是怎么被发现的？它为什么有效？3Blue1Brown 的创作者格兰特・桑德森，最近将其称为动机性阐释 https://terrytao.wordpress.com/2026/09/18/if-math-is-more-than-proof-we-need-to-better-celebrate-the-rest-of-it/ 。
这种理解标准要求极高，但我非常认同。大多数学生并没有接受过理性重构证明的训练，绝大多数教材也不会引导学生做到这一点。
线性代数就是典型例子。绝大多数教材用一条晦涩难懂的公式定义 3 阶矩阵的行列式。
如果我告诉你：3 阶矩阵也可以理解为三维平行六面体，而行列式就是它的带符号体积公式。这显然更便于理解，对不对？
公式只能用来计算行列式、核验它的性质；几何解释则能让你明白行列式到底意味着什么，还提供一套理性重构思路，让你明白当初人们为什么会创造出行列式这个概念。
现实情况是，数学界长期并不重视这类理解，常常拿晦涩的证明为难学生。颇具讽刺意味的是：学界过于看重形式逻辑，却轻视理解本身。教材给出公式与证明，却不总是提供材料，帮助读者去理性重构它们。
公平来讲，要做到这一点，有时需要重写整套数学理论，难度极大。我目前最重要的项目之一，就是写一本《线性代数与几何》，全书就建立在这套关于理解的哲学观念之上。每一个概念都从基础几何原理自然引入、完成理性重构。这本书写作过程非常艰难，但回报巨大。就连身为职业数学家的我，对线性代数的理解也因此远超从前。
可惜直到现在，这类工作并没有得到足够重视。但它或许比找到一个漂亮的新证明，更有益于数学共同体。幸运的是，AI 正在带来正面影响，促使我们更加重视这类概念层面的工作。
但如果我们采纳这套理解的定义，那么没有理由认为 AI 无法学会写出让人能够理解的证明。可以按下面思路训练 AI：从 arXiv 选取一篇近期论文，只保留主定理，其余全部删掉。然后要求 AI 不仅证明该定理，还要构建一套有说服力的逻辑框架，让读者既能把握整体证明思路，也可以理性重构它。再由大模型作为裁判，对比 AI 生成文稿与原始论文，依据这套理解标准，评判哪一份证明更易懂。这类训练循环，完全可以教会 AI 产出更有说服力的阐释文本。
因此，把全部希望寄托于 “人类独占理解能力”，是一个哲学误区。一方面，如果我们把理解定义为不仅核验真值，还需要提供解释，那么这个标准，就连人类自己也无法完全达到。另一方面，如果理解指的是把握证明的概念结构、并能对其做理性重构，那么 AI 同样有能力做到。
所幸，数学和科学一样，远远不止解题或者理解。
数学同样关乎创造概念
个人观点：智力最核心的能力，是吸收概念并创造概念；解题只是这项能力带来的结果，而不是智力最根本的特征。https://substack.com/@federicoaschieri/p-195231243
数学的本质亦是如此。我们习惯于赞颂现代数学，却遗忘了最终催生这些成果的曲折概念建构过程。数学并非天然存在。最早创造出 “所有”、“并且”、“数” 这类词汇的人早已湮没在历史之中；但他们的创造，是逻辑与数学最初诞生的时刻，远早于亚里士多德与古希腊时代。这些瞬间，理应获得与弗雷格、罗素后期成就同等的认可 —— 正是弗雷格与罗素，第一次构建出表达能力足够支撑数学游戏的形式系统。数学的建构，是跨越数千年的高度创造性事业。
更进一步：问题本身就是用概念语言写成的命题。举例而言，在我们能用线性代数表述问题之前，必须先有矩阵乘法这个概念。没有这个概念，大量线性代数内容将不复存在。但有多少教材会赞颂矩阵乘法背后这项概念创造？定义很难被浪漫化，创造新概念这件事，看起来不像攻克著名难题那样充满史诗感。然而，定义，才是数学的实体本身。
数学的工作，是发现概念，并提出关于这些概念的有趣命题。这些命题继而催生更多新问题。在康托尔建立集合论版本的无穷概念之前，关于实数集大小的连续统问题根本无法被表述。如果没有黎曼前期的概念工作，黎曼猜想也不会存在。正如庞加莱所言：
若无直觉孕育，逻辑将贫瘠无果。
——亨利·庞加莱
新概念的直觉，不能被简单归约为解题。事实上，你该如何写提示词，让 AI 去创造一个全新概念？作为机器，AI 在目标明确的任务上表现最好；而全新概念框架，极少是通过目标导向的过程被发现的。即便未来 AI 能够发现概念、从事概念层面的数学研究，人类也不会就此停下这项工作。创造概念，依靠的不是蛮力算力，更多依靠想象力与理解力。
所以，即便 OpenAI 横扫 370 多个问题的成果令人震撼，如果就此认为数学已经 “被解决”，那将是极大的简化。AI 可以处理那些已有丰富研究传统、文献积累充足的问题。但它能否处理完全陌生的问题，提出全新猜想、建立新理论？OpenAI 发布的成果里，除了超乎人类的解题能力，没有证据表明它具备这项能力。
事实上，像 P 对 NP 这类千禧难题，似乎就需要全新的概念框架。虽然 OpenAI 承认在所有千禧难题上投入大量算力，但我们没有看到这个问题取得任何进展。我们为什么不去关注那些没有被解决的问题？为什么 AI 在开辟全新研究方向这件事上，仍然有所欠缺？
在确立这套概念框架之后，本文下篇，我们将探讨紧迫的社会议题：未来数学家的角色是什么？我们该如何重构成果归属评价体系？大学还会继续存在吗？简言之，数学 2.0 该如何运转？
求点赞
求分享
求喜欢
参考资料
https://federicoaschieri.substack.com/p/the-future-of-mathematics-part-i
MIT麻省理工学院数学系《未来的数学》by Pavel Etingof、Slava Gerovitch 2026-10-6
数学家心声：《一种可能的未来》菲利普·伊索（Philip Easo）2026-10-3
《AI与数学莱顿宣言》前史（一）：《在AI时代塑造数学的未来》by 约翰・科姆兰（Johan Commelin）等人
【未来数学畅想系列】很多年轻数学家猜测2026是最后一届人类菲尔兹奖年？你怎么看
2027年IDM国际数学日官方主题出炉：数学、AI和我们的未来
2026.5数学未来研讨会系列——菲尔兹圆桌讨论主题：价值体系——斯坦福FMS
“宛如外星来客降临”：斯坦福FMS研讨会探讨人工智能对数学未来的深远影响
小乐数学科普历年合集
《小乐数学科普》2026年Q3精选文章目录
zzllrr小乐微信公众号栏目《小乐数学科普》2026年6月文章精选
zzllrr小乐微信公众号《小乐数学科普》2026年5月文章精选
《小乐数学科普》2026年4月文章精选
2026Q1《小乐数学科普》精选文章合集目录
近三月《小乐数学科普》精选文章合集目录202512—202602
2026年01月《小乐数学科普》精选文章合集目录索引
2025年《小乐数学科普》精选文章合集目录索引
《小乐数学科普》2024年合集
· 开放 · 友好 · 多元 · 普适 · 守拙 ·
让数学
更加
易学易练
易教易研
易赏易玩
易见易得
易传易及
欢迎评论、点赞、在看、在听
收藏、分享、转载、投稿
点击左下角 阅读原文
查看原始文章出处
点击底部一起捐
助力腾讯公益
点击zzllrr小乐
公众号主页
右上角
置顶★加星
数学科普不迷路！
原标题：《数学的未来（上篇）：理解数学与创造数学 by 费德里科・阿斯基耶里（Federico Aschieri）2026-10-9》