VisualPDE：在任意设备上通过网页浏览器实现交互式时空建模——PDE偏微分方程数学可视化
VisualPDE：在任意设备上通过网页浏览器
实现交互式时空建模
来源：SIAM新闻博客｜软件与编程
日期：2026‑9‑28
作者：亚当·汤森、安德鲁·克劳斯、本杰明·沃克
1 亚当・汤森（Adam Townsend）
英国杜伦大学应用数学副教授
2 安德鲁・克劳斯（Andrew Krause）
英国杜伦大学应用数学副教授
3 本杰明・沃克（Benjamin Walker）
伦敦大学学院应用数学副教授
偏微分方程（PDE）是理论与应用科学众多研究方向的基础，小到量子力学，大到飞行器设计均离不开它。偏微分方程可以描述热传导、流体动力学、种群入侵，以及大量物理、生物乃至社会学过程；同时它也是几何、拓扑等学科的核心工具。然而尽管本科教学着重讲解解析闭式解，但绝大多数偏微分方程并不存在闭式解析解。在大量科学与工程实际应用中，人们依靠计算手段求解这类方程，而这往往需要复杂的编程能力，同时要深入掌握数值方法。这就形成了一道很高的入门门槛，导致我们最初写下偏微分方程所要研究的解，很难获得直观理解。
不过，独立于人工智能之外，浏览器技术与图形硬件的近期进步正在改变这一局面。2023年，我们推出了VisualPDE——一款浏览器端即时求解与可视化工具 https://visualpde.com ，用户可以自行输入各类偏微分方程系统，尽可能降低使用门槛。该工具最初用于教学，很快也被用于科研以及学术界之外的科学传播工作。迄今为止，该网站在教学、科研与科普领域取得巨大成功：来自172个国家，累计超过8万名独立用户，完成25万次仿真¹。已有来自十余个国家、横跨多个学科的35篇已发表研究论文引用该网站链接，或是直接使用其导出的可视化结果。
下方是一个循环竞争系统的交互示例 https://visualpde.com/mathematical-biology/cyclic-competition ，图中绘制了三种相互作用物种的其中一种，系统会自发形成螺旋波混沌。你可以点击画面，在空间局部施加扰动。暂停仿真后，还可以手动“绘制”初始条件。点击仿真界面左下角的“VisualPDE”，可以在新的全屏页面打开该仿真。
动画1：循环竞争系统交互示例。动画由作者提供，可在VisualPDE平台查看。
可求解哪些问题？
VisualPDE最初面向含时（抛物型）反应‑扩散问题，空间导数最高为二阶，支持一维、二维空间上的偏微分方程组。借助代数变量与小时间尺度技巧，还可以实时近似求解范围更广的模型，包括椭圆型、双曲型方程，极大拓展了可仿真模型的范围。关于VisualPDE可求解系统的完整说明，请查阅用户手册 https://visualpde.com/user-guide/what-can-visualpde-solve/ 。
∂𝐮/∂t = ∇·(D ∇𝐮) + F(𝐮)
举个例子，下面是涡量形式二维纳维‑斯托克斯仿真中的被动标量场 https://visualpde.com/fluids/vorticity_equation 。左侧按钮可以暂停/重启仿真，切换待绘制物理场（三层图层）。用户由此可以观察涡量、动能等物理量，以及它们在该设置下如何发生剪切变形。你还可以点击仿真画面任意位置，通过扰动引入局部涡量。
动画2：涡量形式二维纳维‑斯托克斯仿真中被动标量场交互示例。使用左侧按钮暂停、重启仿真，切换绘制场；点击画面任意位置即可施加扰动，产生局部涡量。动画由作者提供，可在VisualPDE平台查看。
默认仿真计算域就是你的设备屏幕（电脑、手机、电视皆可）；你也可以通过指示函数，或是上传图片更换计算域形状。界面设计追求简洁，但同时支持修改空间离散格式、时间步长，以及仿真与可视化的众多参数。你甚至可以制作允许用户直接修改计算域的仿真。
下面是波传播示例 https://visualpde.com/basic-pdes/inhomogeneous-wave-equation ：点击画面就会生成障碍物，用户可以实时观察波碰到障碍物后的反射现象。平台的案例画廊 https://visualpde.com/explore/ 内置大量预制案例可供直接使用，但工具真正的强大之处，在于支持用户手动输入自定义方程组。
动画3：波传播交互示例，点击画面生成障碍物。动画由作者提供，可在VisualPDE平台查看。
GPU上求解偏微分方程
近年科学计算领域一大进展，就是充分发挥显卡的计算能力。VisualPDE正是利用这一点：把设备屏幕视作像素网格，直接在上面执行有限差分法。整套实现基于JavaScript、WebGL库以及底层着色器语言OpenGL着色语言。用户在浏览器输入方程，工具会即时解析，直接在本机硬件完成求解。
这套网页方案和传统做法相比，大幅降低偏微分方程求解的入门门槛。传统工作流需要先用Python或者MATLAB搭建计算域，编写数值积分、时间步进算法，再编写可视化输出代码生成视频；之后还需要反复运行程序，调试不同参数。而VisualPDE可以实时观察系统随参数、初值、边界条件变化的响应。
当然该方案也存在取舍。受实现约束，同时为保证流畅实时可视化，VisualPDE仅使用固定时间步长的显式时间推进格式。GPU的高性能在一定程度上弥补了该算法的短板，但WebGL仅支持单精度浮点数运算，这是另一项局限。即便存在以上限制，VisualPDE依旧能够帮助我们对相当复杂的偏微分方程系统建立深刻认知。
在动手把玩中学习偏微分方程
开发VisualPDE的想法，源于给数学生物方向本科生讲授反应‑扩散模型的经历。课堂上我们经常讲授分离变量、本征函数等解析方法，但学生很难对模型的实际预测效果建立直观感受。即便学生可以熟练掌握这些解析技巧，在中学阶段他们就已经习惯借助Desmos、GeoGebra这类工具交互式研究函数与几何图形；比如工具可以直观展示二次方程何时不再拥有实根。
借助VisualPDE，学生可以直接动手调试偏微分方程模型：实时修改参数、边界条件，观察模式生成或者消失。直接扰动系统，就可以直观理解分岔现象。学生可以快速扫描一大片参数空间，定位有趣的动力学行为；也可以彻底更换计算域，由此发现贝塞尔函数并没有想象那么令人望而生畏。
下面给出一个有代表性的仿真案例：Swift‑Hohenberg方程的局域斑图，该斑图线性稳定，同时系统还存在稳定均匀态¹。在斑图区域之外点击屏幕会施加扰动，但扰动会指数衰减回到均匀态；只有长按点击，给系统足够强的局部扰动，才可以在局部生成稳定斑图。
动画4：Swift‑Hohenberg方程局域斑图交互仿真。在斑图以外点击屏幕会施加扰动，扰动将指数衰减回归均匀态；长按点击施加足够强扰动，能够在局部生成稳定斑图。动画由作者提供，可在VisualPDE平台查看。
一起参与进来
VisualPDE是开源项目，代码托管于GitHub。欢迎大家制作专属仿真，嵌入网页用来动态展示偏微分方程模型。非常适合科研人员，把交互式可视化嵌入网站、报告演示文稿；如果不需要交互，仿真画面可以直接导出截图或视频。
上手方式：从案例画廊60个预制模型里选择一个，或是从零编写自己的模型。首次进入网站，会有简短向导带你熟悉工具；任意仿真界面右侧问号按钮，随时可调出帮助文档。网站提供创建自定义模型的短视频教程，以及完整功能文档。
欢迎给我们反馈，提出问题、分享你的使用体验。欢迎把玩探索，需要帮助可以发邮件至hello@visualpde.com，或是使用网页表单联系我们。
¹ 数据来自VisualPDE网站的GA谷歌分析统计。
原文参考文献
[1] Hill, D.J., Bramburger, J.J., &Lloyd, D.J. (2023). Approximate localised dihedral patterns near a Turing instability.Nonlinearity, 36(5), 2567‑2630.
[2] Walker, B.J., Townsend, A.K., Chudasama, A.K., &Krause, A.L. (2023). VisualPDE: Rapid interactive simulations of partial differential equations.Bull. Math. Biol., 85(11), 113.
参考资料
https://www.siam.org/publications/siam-news/articles/visualpde-interactive-spatiotemporal-modeling-via-web-browsers-on-any-device/
https://visualpde.com/explore/
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原标题：《VisualPDE：在任意设备上通过网页浏览器实现交互式时空建模——PDE偏微分方程数学可视化》