从0到1的突破———“椭圆周长初等公式”的发现之旅

作者：沾益一中  赵长润

在浩瀚的宇宙中，椭圆以其独特的形态和性质吸引着无数数学爱好者的目光。自欧拉开始，许多数学家一直致力于寻找椭圆周长的精确公式，300多年来始终未果。问题之所以‘卡壳’是因为：求一段椭圆的弧长，最终都指向椭圆函数，这是一个‘不定积分’，而且这个不定积分是非初等函数！

但是大家都忽视了‘求椭圆周长’与‘求椭圆弧长’的本质区别，求椭圆周长是一个‘定积分’，‘定积分’只是代表一个‘数值’而非‘函数’，而且这个‘数值’可以用‘中值定理’来表达，这是人们能够触碰‘椭圆周长初等公式’的唯一机会，如果没有‘中值定理’的辅助，任何想找寻‘椭圆周长初等公式’的努力都将付诸东流！

一个椭圆只有一个周长，但同一椭圆根据不同的需要可以形成无数段形态各异的弧长！求椭圆周长时还隐含很多对称性在里面从而使问题得以简化，但求椭圆弧长时则没有这样的便捷条件，这也间接造成了求弧长比求周长更困难的原因。

下面就沿着笔者探寻椭圆周长初等公式的路径来领略公式的产生过程：

科研工作的第一步是建立数据库，并对数据库进行‘转录’，为了确定与‘中值定理’相关联的回归角 φ ₀的具体数值，保持椭圆长半轴a =1.00不变，让短半轴从b=0.00开始逐渐增加，每增加0·01就算出一组新的sinφ ₀ ，直到b=1.00结束，共有101组数据：

图1

建模过程既要尾随‘椭圆积分’的结果，又要与之保持适当距离，因为‘椭圆积分’归根到底是由‘项明达公式’通过计算机编程得出，本质上是级数求和，结果存在余项误差！

图2

笔者秉持‘自古华山一条道’的‘决绝’与‘执拗’，历经20多年的艰苦探寻，在不断的‘纠偏’和‘试错’中，假借时代进步的赋能，并将归纳法和演绎法无缝对接，最终完成《椭圆周长的初等公式》一文的定稿，该文已于2023年11月在国际期刊《Mathematical Computation》上发表。其建模过程如下：

图3

为答谢广大读者的关心与厚爱，我对《椭圆周长的初等公式》一文中提到的回归角φ。的定义作一个补充说明(为突出主题，图中只画了半径为a的外接圆,半径为b的内切圆则被省略，图中φ’。与回归角φ。互为余角):

把一个椭圆等周长地变成半径为r。的圆(见图4)，且让两个图形的对称中心重合，则两曲线交点P(x。，y。)与圆心O之间的距离r。即为该椭圆的‘等效半径’，这样L=2πr。即为所求的椭圆周长，由此我们就找到了‘椭圆周长的初等公式’的几何解释(在这里，椭圆的参数方程可表达为:x=acosφ’，y=bsinφ’ ，其中参数φ带撇只是为了与回归角有所区别。)，用一个形象化的比喻就是一个椭圆可以和它的等效圆共用一根‘腰带’，因为它们的‘腰围’相等。

图4

科研工作犹如选矿，登上矿山，放眼望去，有一大堆脉矿石横亘田野，由于受制于冶炼技术的瓶颈， 甚至在各种废矿渣中还有很多稀有金属深藏其中有待筛选，要选择一个合适的目标课题（矿种），然后以问题为导向进行长期的耐心细致的研究，能否达成集约化生产的目标完全取决于人，取决于科研工作的深入程度。科研工作从一开始就是一个悖论：不知道怎么研究？知道了还研究什么？而绝大多数研究工作都是从一知半解开始的！研究工作摆摆停停，思路曲曲折折，错误和笨办法层出不穷，常常是九十九分汗水才能换来一分灵感，正如莫泊桑所言:“成功，别无选择，惟有与众不同！”，这是科研工作的共性，其中的酸甜苦辣只有经历者才能体会！在本文拟合函数的构建过程中，笔者真正理解了什么是‘众里寻她千百度’！什么是‘删繁就简’！一个真正的学者要耐得住寂寞，不迷惑于眼前的得失，看淡尘世的喧嚣，对大自然保持一颗敬畏之心和赤子之情，相信‘大道至简’是自然界的真谛，所谓‘感动上帝’也就是‘诚之所至金石为开’！这就是上苍对科研工作者的最大嘉奖！ 

至此，椭圆周长没有计算公式的时代宣告终结！面对这一‘柳暗花明’的景观，借用李白的诗句：

两岸猿声啼不住，

轻舟已过万重山！

谨以此表达作者心中的喜悦之情！

附：

温馨提示：

读者可在维普网查阅《数学计算》(中英文版)2023年02期《椭圆周长的初等公式》一文。也可在英文网站点击链接🔗http://www.ivypub.org/MC/paperinfo/59652.shtml免费获取《The Elementary Formula of an Ellipse Perimeter》一文。

(全文终)