数学-自然科学图书馆里的旧作与新篇：从计算机视觉到纯数学

IAS数学-自然科学图书馆里的这三本书，跨越多年研究历程，共同展示了如何从噪声中提炼出隐藏的秩序。

图源：Maria O'Leary

作者：普林斯顿高等研究院2026年春夏刊（IAS Letter）2026-4-26

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-5-22

计算机如何 “看见”？这个最初源于计算机科学工程实践的问题，经过数十年学术探索，已催生出纯数学中一系列优美的研究课题。研究院数学-自然科学图书馆馆藏的三本关键著作，记录了这段引人入胜的思想脉络 —— 其中最老牌的著作出自1990年代，最新著作则汇集了本院数学学院教员的前沿开拓性成果。

我们观看一张数码照片时，无论照片里是人、树还是香蕉，即便画面因拍摄者手抖或光线不足产生 “噪声”，人脑也能轻松区分主体与背景。但对计算机而言，同一张图像只是一组代表亮度或色彩的数值网格。若用高斯模糊这类标准数学滤波器为计算机去除噪声，结果往往会破坏并模糊标记图像主体的重要 “边缘”，导致照片丢失关键细节。

菲尔兹奖得主、数学学院研究员（1962–1963年、1981–1982年）戴维・芒福德（David Mumford）解决了这一难题。1980年代，芒福德与同事贾扬特・沙阿（Jayant Shah）提出了一套用于 “图像分割” 问题的数学公式。他们提出的芒福德-沙阿泛函（Mumford–Shah functional），能让计算机生成图像的简化版本：该版本几乎处处光滑，但在边缘信号显著的位置保留重要的 “裂隙” 或 “断点”。它的核心是平衡三项关键指标：

保真度：简化图像应尽可能贴近原图。

光滑性：在区域内部，图像应平缓变化，消除噪声。

经济性（简约性）：区域之间的边界（即边缘）应尽可能短、尽可能简单。

图源：Maria O'Leary

该泛函让计算机能够在去除噪声图像的同时，不丢失重要边界处的关键信息。本院数学-自然科学图书馆藏有芒福德1993年的著作《滤波、分割与深度》，书中收录了对该泛函的系统论述。

图书馆书架上与这本书并列的，是路易吉・安布罗西奥（Luigi Ambrosio）、尼古拉・富斯科（Nicola Fusco）、迭戈・帕拉拉（Diego Pallara）合著、2000年出版的《有界变差函数与自由间断问题》。该书将芒福德-沙阿泛函从直观工具提升为严格的数学理论。

要理解这本书的贡献，不妨把芒福德-沙阿泛函看作一个数学上的 “孤儿”：它打开了一类新几何的大门，却在严谨分析学中没有正式的归属。原因在于，传统微积分研究的是光滑函数，也就是平缓变化的曲线。但计算机图像存在锐利边缘，比如阴影与亮墙交界，色彩数值会瞬间跳变。

安布罗西奥等人提供了一套全新的数学语言，用来描述那些局部光滑、但可出现裂隙（cracks）或断点（breaks）的曲面。他们还证明，在被称为 “有界变差的特殊函数” 的空间条件下，这类曲面的裂隙与断点可以达到最优形态。最优裂隙的含义是：恰好保留足够多的断点以体现图像的剧烈变化，同时让这些裂隙尽可能短、尽可能简洁。

安布罗西奥当年的博士生、现任本院数学学院IBM冯・诺依曼教授卡米洛・德莱利斯（Camillo De Lellis）接过了这一研究方向。他与马泰奥・福卡尔迪（Matteo Focardi）合著的最新著作《平面上芒福德-沙阿泛函的正则性理论》，全面梳理了该泛函的已有文献，重访经典结论并融入最新进展。最值得关注的是，该书攻克了芒福德与沙阿留下的最持久难题 —— 所谓正则性猜想。

安布罗西奥及其合作者证明，图像曲面的 “最优断点” 在数学上总是存在，但这些断点与裂隙的精确形态与几何结构仍是谜团。若没有正则性证明，理论上断点边缘可以无限锯齿化，无论如何放大都不会变光滑。而芒福德 -沙阿正则性猜想认为：简化复杂图像的最有效方式，应当产生干净、可预测的几何结构。该猜想尚未在完全一般情形下被证明，但已取得重大进展。

德莱利斯与福卡尔迪在书中综合数十年研究成果，证明在二维平面上，裂隙与断点确实会呈现优美的几何秩序。具体来说，这些边缘只以两种方式交汇：

一是 “三重交汇点”，三条线以严格120度相交；

二是 “裂隙端点”，即线条单纯终止。[1]

这种120度交汇结构与肥皂泡的结构一致，是自然界中区域交汇最高效的形态。归根结底，德莱利斯与福卡尔迪的著作表明：即便数学对象允许杂乱无章，效率也会迫使它进入几何有序的状态。[2]

数学-自然科学图书馆里的这三本书，跨越多年研究历程，共同展示了如何从噪声中提炼出隐藏的秩序。

脚注

[1] 德莱利斯与福卡尔迪整合的基础性成果包括盖伊・戴维（Guy David）的工作，他在正则性猜想上取得重要进展。本书还详细记述了路易吉・安布罗西奥、约翰・安德森、亚历克西斯・邦内、尼古拉・富斯科、让 — 克里斯托夫・莱热、哈伊克・米卡耶良、迭戈・帕拉拉以及德莱利斯与福卡尔迪本人的关键贡献。

[2] 对这类结构（尤其是 “裂隙端点” 行为）的决定性分析，建立在德莱利斯、福卡尔迪与数学学院访问学者（2019–2021年）西尔维娅・吉纳西（Silvia Ghinassi）的合作研究基础之上。

本文刊载于《IAS高等研究院通讯》Institute Letter2026年春夏刊

参考资料

https://www.ias.edu/ideas/old-and-new-math-ns-library-computer-vision-pure-math

https://www.ias.edu/publications/institute-letter/institute-letter-springsummer-2026