2026年阿贝尔奖得主格尔德·法尔廷斯（Gerd Faltings）工作成果简介

格尔德・法尔廷斯（Gerd Faltings）刚刚获得2026年阿贝尔奖，他是算术几何领域的泰斗级人物。其学术思想与研究成果重塑了整个领域，不仅攻克了多项悬而未决的重大猜想，更构建了全新的理论框架，为后续数十年的相关研究指明了方向。本文简单介绍格尔德・法尔廷斯的学术成就。

作者：蒂曼德拉·哈克尼斯（Timandra Harkness）2026-3-19

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-3-19

数字，是数学的基础研究对象。我们可以对数字做加法、乘法运算，也可以将数字自乘（平方），或是进行任意次数的自乘（立方及更高次幂运算）。这些基础运算法则，你在上学时便已悉数掌握。

亚历山大的丢番图（Diophantos of Alexandria）手稿（约公元前200-284年），由克劳德·加斯帕尔·巴歇·德·梅齐里亚克（Claude Gaspard Bachet de Méziriac）从希腊语译为拉丁语，1621年刊印成书。

图源：公域/维基共享资源

数论是数学最古老的分支之一。早在公元3世纪，数学家亚历山大的丢番图提出的一系列问题，至今仍令数学家们绞尽脑汁。

因为尽管数字的加减乘除运算法则看似简单，可一旦将乘法与加法结合，数字的规律就会变得十分玄妙。

丢番图方程含有多个未知变量（通常用a、b、x、y等表示），且其解均为整数（正整数、负整数和零）。

勾股定理就是一个典型的丢番图方程：a² + b² = c²。满足该方程的整数a、b、c被称为勾股数，这类数有无穷多组，最基础的一组便是3、4、5。

勾股定理

插图：蒂曼德拉·哈克尼斯

可如果将a、b、c的平方运算换成立方运算，求解就没那么容易了。事实上，费马大定理——费马在其收藏的丢番图算术著作页边空白处写下的结论——指出：当n大于2时，方程aⁿ + bⁿ = cⁿ不存在整数解。

数百年来，数学家们始终无法找到n≥3（即方程次数为3及以上）时的任何整数解。欧拉、索菲·热尔曼、狄利克雷、勒让德等多位数学家仅证明了该定理在特定情形下成立。直到1995年，时隔1637年费马提出猜想后，2016年阿贝尔奖得主安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）才最终证明：当n为任意大于2的整数时，该方程均无整数解。

观看视频：https://youtu.be/nlUimyJpWtI?si=ZA1P99eE0vOdXxpl

三十年的证明：费马大定理证明三十周年专访安德鲁·怀尔斯

参阅：小乐数学科普：庆祝安德鲁·怀尔斯证明费马大定理30周年纪念日——译自艾萨克·牛顿研究所播客Living Proof

左图：皮埃尔·德·费马（1607-1665）肖像

画家：罗兰·勒费夫尔（Rolland Lefebvre，1608-1677）1650年绘（公域）

右图：安德鲁·怀尔斯（2016年阿贝尔奖得主）

摄影：彼得·巴奇（Peter Badge）2016年阿贝尔奖官方供图

数学家探索数字深层规律的一种方法，是将其转化为几何图形进行研究，这一领域便是算术几何。

我们可以将方程转化为函数，再将方程的解以坐标形式绘制成点集，以此实现方程的几何表达。例如方程x² + y² - 1 = 0，可转化为函数f(x,y)=x²+y²-1，随后研究该函数取0值的点，即f(x,y)=0的解集。

在平面直角坐标系中绘制该函数，会得到一个圆，该圆经过(1,0)、(-1,0)、(0,1)、(0,-1)四个点。你可以亲自验证——将方程x² + y² - 1 = 0输入这个计算器的第一个输入框：https://www.desmos.com/calculator

这个圆上的任意一点对应的x、y值都是方程的解，但上述四个整数解是显而易见的，用数学家的话来说就是“平凡解”，且这也是该方程仅有的整数解。

但我们能找到无穷多组满足该方程的有理数x和y，比如x=3/5（0.6）、y=4/5（0.8）就是一组解。事实上，只要让分子和分母取足够大的数值，这条曲线上就会有无穷多个有理点。

有理数之所以得名，并非因为其运算规律符合常理，而是因为它可以表示为两个整数的比值，也就是分数。

但这条曲线上更多的点对应的是无理数，无理数无法表示为两个整数的比值，不过只要取足够大的分母，就能用分数近似表示无理数，这一方法便是丢番图逼近。

如果觉得这一概念难以理解，不妨想想无理数π：它的精确值无法用分数表示，但实际应用中我们可以用22/7或3.142（即3142/1000）近似表示。想要逼近π的精确值，分子和分母的数值就需要不断增大，比如104348/33215就是一个更精确的近似值。

由此可见，方程x² + y² - 1 = 0既有整数解，也有有理数解和无理数解。但如果将幂次改为3，方程x³ + y³ - 1 = 0便不存在正有理数解。

同时涉及乘法和加法的复杂方程，均可在数域中表示为曲线。数域是一类数的集合，集合内的数遵循特定的加减乘除运算规则和序关系。例如有理数域ℚ（ℚ取自商数quotient的首字母）包含所有有理数；复数域ℂ则包含虚数单位i（即-1的平方根）及所有复数。

带有两组维拉索（Villarceau）圆的环面

图源：Ag2gaeh

多项式方程包含同一变量的不同次幂，例如x³ + 3x² - x + 1 = 0。方程的最高次幂越高，次数就越高，而通过方程的次数，我们可以确定曲线的亏格——亏格代表曲线对应的几何图形上的孔洞数量。

椭圆曲线由三次方程定义，例如y² = x³ + ax + b，因此椭圆曲线的次数为3，亏格为1。该方程对应的函数f(x,y,z) = y²z - x³ - axz² - bz³取0值时，所定义的曲线为环面，仅有一个孔洞。安德鲁·怀尔斯证明费马大定理时，便运用了椭圆曲线的相关理论。

1922年，路易斯·J·莫德尔（Louis J. Mordell）证明：椭圆曲线上的有理点由一组有限的、规律可预测的点生成。事实上，这些有理点构成了阿贝尔群——这一概念由尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）发现，其研究成果始终是重大数学理论的核心，阿贝尔奖也正是以他的名字命名。

左图：路易斯·乔尔·莫德尔（1888-1972）

沃尔特·斯托尼曼1943年8月拍摄的溴化银照片（版权归属：英国伦敦国家肖像馆，非商业使用）

右图：尼尔斯·亨利克·阿贝尔肖像画

挪威画家约翰·格尔比茨（1782-1853）绘，大概率创作于1826年的巴黎（收藏于奥斯陆大学数学研究所，公域）

那么，由更高次幂方程定义的、亏格≥2的曲线，又有着怎样的性质呢？遗憾的是，这类曲线并不遵循上述简洁的规律。

莫德尔提出猜想：亏格≥2的代数曲线上仅有有限个有理点，但他未能证明这一猜想。

1983年，格尔德·法尔廷斯（Gerd Faltings）证明了沙法列维奇（Shafarevitch）和泰特（Tate）提出的关于曲线有限性的相关猜想。正如帕尔申（Parshin）此前预测的那样，这一证明同时也证实了莫德尔猜想，该猜想此后也被命名为法尔廷斯定理。

法尔廷斯的证明方法令学界倍感意外，他并未沿用丢番图逼近法，而是借鉴泰特、帕尔申、斯皮罗（Szpiro）的研究思想，结合代数曲线的分类理论，发展出了算术几何领域的新方法。

他还优化了一种用于衡量有理数复杂度的指标——高度（Height），简单来说，高度指的是能精确表示某个有理数的分子或分母的最小位数。严格来讲，法尔廷斯定理指出：在有界法尔廷斯高度下，高次代数曲线上仅有有限个有理点。

后来，保罗·沃伊塔（Paul Vojta）运用丢番图逼近法为莫德尔猜想给出了新的证明，这也为法尔廷斯的研究指明了新方向。法尔廷斯借助这一新工具提出了法尔廷斯乘积定理，并进一步利用该定理证明了关于有理点分布的莫德尔-朗猜想（Mordell-Lang conjecture）。

法尔廷斯在算术几何领域的研究，持续解答着该领域的经典难题，也为几何与数论的融合构建了全新的理论框架。

格尔德·法尔廷斯——2026年阿贝尔奖得主

摄影：彼得·巴奇（Peter Badge）/ 2026年阿贝尔奖官方供图

参考资料

https://abelprize.no/page/introduction-laureates-work-timandra-harkness

https://abelprize.no/sites/default/files/2026-03/pressrelease_english__Abelprize%202026.pdf

https://abelprize.no/page/press-room-2026-abel-prize-laureate