高斯是黎曼的导师吗？——AMS Notices美国数学会通告
在黎曼（Riemann，1826年9月17日—1866年7月20日）诞辰二百周年之际，我们不妨回顾一下他与高斯之间的关系。在学术层面，高斯和柯西为复变函数及其积分的研究奠定了基础，而黎曼于 1851 年在高斯的正式指导下完成的博士论文，则提出了一套更为宽泛的理论。这就引出了一个显而易见的问题：高斯对黎曼博士论文的指导究竟有多深入？更广泛地说，将高斯视为黎曼的导师是否合理？为解答这个简单的问题，本文将带我们回溯至 19 世纪中叶的哥廷根 —— 那个现代数学研究学派尚未兴起的时代。
作者：David E. Rowe（德国约翰内斯・古腾堡大学数学与自然科学史荣休教授）2026-1-20
译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-1-21
1. 引言
伯恩哈德・黎曼于1850年代
图源：Familienarchiv Thomas Schilling
伯恩哈德・黎曼（Bernhard Riemann，1826年9月17日—1866年7月20日）的名字及其学术遗产长期以来都与哥廷根大学紧密相连，他在现代数学史上占据着特殊地位。
人们常常将他与更为著名的卡尔・弗里德里希・高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855）相提并论，高斯于 1807 年以职业天文学家的身份前往哥廷根。
高斯于1840年
图源：Christian Albrecht Jensen
高斯凭借发明最小二乘法跻身该领域，随后仅通过三次观测便成功定位了谷神星。作为哥廷根天文台台长，他在天文学、大地测量学、地磁学和纯数学领域的研究赢得了科学界的广泛赞誉。到 1830 年代，他与洪堡兄弟（亚历山大・洪堡和威廉・洪堡）已成为德国最具影响力的学者之一 [3, 426-427]。
黎曼是高斯晚年为数不多的学生之一，但两人的关系并不密切 [8, 213-218]。当然，导师制形式多样，但本文的标题引发了一个问题：在这个特殊案例中，“导师” 这一称谓是否适用？在黎曼诞辰二百周年之际回望他的生平与成就，或许有人会惊讶于这个简单的问题至今仍无定论。但显然，答案取决于人们对 “指导” 一词的理解。按照当今对 “导师” 的定义，我们可以明确给出否定答案。
然而，这引出了一个更宏大且令人困惑的问题：高斯对黎曼的影响究竟体现在哪些方面？本文仅通过几个例子初步探讨这一复杂议题，其余部分仍留待进一步研究。黎曼数学成就的神秘之处，部分在于他对其他数学家的借鉴 —— 他极少引用他人的研究成果。有时他可能刻意隐瞒了这些信息，但在那个年代，作者并不需要详尽地注明文献来源。我们已知黎曼一生博览群书，而且从进入大学之初，他就潜心钻研高斯的著作与思想 [10, 89-90]。此后，黎曼偶尔会与高斯交流，甚至有时会将高斯视为竞争对手，尤其是在电磁学的数学研究领域。尽管两人在物理空间上相距甚近，但高斯对黎曼的实际影响，更像是一种 “超距作用”。
根据数学谱系项目（MGP，Mathematics Genealogy Project）的记录，高斯共有 15 名学生，伯恩哈德・黎曼便是其中之一。该项目数据显示，在登记在册的 30 多万名数学家中，超过三分之一是 C・F・高斯的学术后裔。其中，通过黎曼传承的学术后裔约有 4000 人。这一统计基于黎曼有两名学生的假设，其中挪威数学家卡尔・安东・比耶克内斯（Carl Anton Bjerknes）据称通过索菲斯・李（Sophus Lie）与埃利・嘉当（Élie Cartan）存在学术渊源（尽管嘉当从未在莱比锡求学）。比耶克内在哥廷根曾短暂师从黎曼和古斯塔夫・狄利克雷（Gustav Dirichlet），但并未留在当地攻读博士学位。因此，黎曼实际的博士研究生数量很可能为零。
无论统计多么严谨，这类数据在诸多方面都可能具有误导性。显然，自 1950 年左右起，它们为衡量研究学派的规模与传播范围提供了一种有意义的方式。诚然，现代意义上的导师制起源更早，但根据伯恩德・斯图姆费尔斯（Bernd Sturmfels）和肯・奥诺（Ken Ono）近期的观点，导师制更多是一门艺术而非科学 [18, 11]。然而，若将这一概念进一步追溯至 19 世纪中叶，则会面临诸多问题，需要谨慎处理相关量化信息。
从历史角度来看，正如比尔・克拉克（Bill Clark）在其趣味研究 [3] 中所描述的，现代数学研究学派的根源可追溯至更早的传统。由于极具个人魅力的学者发挥着关键作用，数学领域的这一特征尤为显著。无论是传统意义上作为研究学派非正式领袖的 “博士生之父”（Doktorvater），还是近年来的 “博士生之母”（Doktormutter），其背后的神秘感长期以来极具吸引力 —— 尽管这些学术谱系对高等数学领域实际的学术影响揭示甚少。
事实上，数学研究学派直到 19 世纪后三分之一时期才真正以清晰的形式出现。在伯恩哈德・黎曼所处的时代，它们尚未成为数学界公认的组成部分。此外，当时的博士培养与导师制度也与如今大相径庭。本文主要旨在阐明高斯与黎曼人生轨迹交汇的那段短暂时期里，哥廷根的学术环境状况。
2. 黎曼的学生时代（1846-1851）
格奥尔格・弗里德里希・伯恩哈德・黎曼是一名路德教牧师与其妻子的六个孩子中的老二，其母亲出身于汉诺威的一个名门望族。黎曼一家的孩子们在奎克伯恩村的牧师住宅长大，该村如今仍是德国北部易北河以西偏远地区的一部分。黎曼的父亲曾在哥廷根攻读神学，他热切期望儿子日后能继承自己的事业。
和黎曼家的所有孩子一样，伯恩哈德最初由父亲在家中辅导学业。13岁受坚信礼后，他前往汉诺威投奔外祖母，并在当地的文理中学就读。1842年外祖母去世后，黎曼转至吕讷堡的另一所古典文理中学，该校离家乡更近。他在这所学校遭遇了诸多困难，但也有幸得到数学老师康斯坦丁・施马尔富斯（Constantin Schmalfuss）的赏识，后者发现了他非凡的数学天赋。
有时会有这样的说法（例如维基百科）：是高斯说服黎曼放弃在哥廷根的神学研究，转而投身数学。若这样的对话确实发生过，我愿意承认高斯配得上 “黎曼导师” 这一称号，但这需要确凿的证据，而非仅仅是传说。更合理的情况是，黎曼在哥廷根求学的第一年，与高斯并无实质性的交流。不久之后，他便前往柏林学习数学 —— 当时柏林的课程设置比哥廷根先进得多。诚然，黎曼最初注册神学专业是为了遵从父亲的意愿，但黎曼牧师早已知道儿子一心渴望研究高等数学，最终欣然应允了他的请求。
黎曼早期的导师正是施马尔富斯，而施马尔富斯恰好也是吕讷堡文理中学的校长。在该校的最后一年，黎曼给父亲写了一封信：
“我现在对数学的渴望和兴趣与日俱增，施马尔富斯也认为我应当学习数学；当然，仅为了奖学金，我会以神学专业学生的身份在这里参加考试，并在哥廷根注册神学专业，但我必须自己决定在那里真正要做什么，否则无论在哪个领域，我都无法取得像样的成就。”[9, 92-93]
持有古典文理中学毕业文凭（Abitur）—— 即通过严苛的最终综合考试后获得的证书 —— 的毕业生，通常可以在德国任何一所大学攻读任意专业。尽管这些大学有各自的章程，且由德国各州分别管理，但在多个方面却出奇地一致。其校历基于两个学期，中间由两个宗教节日隔开。冬季学期通常在米迦勒节（9月29日）后两周开始，春季在复活节前不久结束。夏季学期前的假期约为一个月，之后授课期从 4 月持续至 8 月。
许多学生选择就读多所大学，因为转学仅需极少的行政手续。这些大学的另一共同特点让转学过程更为简便：没有课程成绩，也无需参加考试或提交书面作业。这种极端形式的 “学习自由”（Lernfreiheit）很容易被滥用，而且事实也确实如此；但对于那些求知若渴的学生而言，这一制度为少数年轻人提供了探索新思想的难得机会，不过如果他们未能迅速适应，也可能一事无成。黎曼在给家人的信中透露，他厌恶文理中学的刻板规章，因此大学这种自由的学术氛围对他而言，无疑是一座学术天堂。
高斯成长于王室宫廷及其资助人主导的时代，这一环境赋予了他截然不同的视角。1830 年至 1837 年间，他与物理学家威廉・韦伯展开了富有成效的合作，彼时他的学术生涯已成果斐然。然而，在 1837 年这个关键年份，一切突然发生了变化。维多利亚女王登基后，汉诺威不再与英国保持君合国关系。新任汉诺威国王恩斯特・奥古斯特（Ernst August）立即废除了前任国王几年前颁布的相对自由的宪法。作为公职人员，哥廷根大学的教员曾宣誓效忠该宪法，其中几位认为自己受誓言约束，不应违背。
图3：哥廷根七君子
1837年汉诺威王国七名哥廷根大学教授抗议国王废除宪法的政治事件
上：格林兄弟（威廉及雅克布·格林，法学、德语学者）
中：威廉·爱德华·阿尔布雷希特（Wilhelm Eduard Albrecht，国家法学者）、
弗里德里希·克里斯托弗·达尔曼（Friedrich Christoph Dahlman，历史学者）、
格奥尔格·哥特弗利德·格维努斯（Georg Gottfried Gervinus，文学史学者）
下：威廉・韦伯（Wilhelm Weber，物理学者）和海因里希・埃瓦尔德（Heinrich Ewald，东方语言学者，数学王子高斯的女婿）
图源：wikimedia
包括韦伯和高斯的女婿海因里希・埃瓦尔德（图3右下）在内的七位知名学者公开抗议国王的决定。国王的回应是解雇这七位学者，并将其中三位他认为是 “哥廷根七君子” 领袖的人驱逐出境。许多人疑惑为何高斯保持沉默 —— 知情者知道他对这些解雇决定深感失望，但他不愿 “恩将仇报”，因为他清楚自己不过是一名 “宫廷顾问”（Hofrat），国王极少会征求他的意见，尤其是在这场激烈的政治冲突中。
这一事件后，哥廷根大学的入学人数急剧下降。在1820年代，入学人数一直维持在 1400 人左右，但到 1846年4月黎曼入学时，学生人数已降至 560 人，尽管高斯在校任教，却很少有学生前来攻读数学专业。作为新生，黎曼显然并不了解 “哥廷根七君子” 事件后，这所大学在学生人数和士气方面遭遇的急剧下滑。
在那个时代，哥廷根大学仍只有四个学院，这一结构可追溯至中世纪。它们包括传统的高级学院 —— 神学院、法学院和医学院 —— 以及规模远超其他三个学院的哲学院。只有正教授（Ordinarien）有权管理各自学院的内部事务。这些正教授大多是年长男性，享有 “宫廷顾问” 的荣誉头衔。在这一群体中，高斯宫廷顾问（Hofrat Gauss）理所当然地备受尊崇，但他仅教授天文学和大地测量学相关课程。1846年，哥廷根大学共有 37 位正教授：神学院 5 位、法学院 6 位、医学院 9 位、哲学院 17 位。他们的名字按资历顺序列在课程目录的末尾，旁边还有其他头衔较低的教员名单。需要说明的是，正式注册课程的学生需直接向教员支付学费。学生最多可注册 6 门课程，且通常在试听后再决定是否注册。黎曼的兴趣极为广泛，因此他难以抉择该注册哪 6 门课程。
在哥廷根的第一年，他选修了高斯开设的最小二乘法、莫里茨・亚伯拉罕・施泰因（Moritz Abraham Stern）开设的定积分，以及高斯的弟子本杰明・戈德施密特（Benjamin Goldschmidt）教授的地磁学课程。除此之外，黎曼在哥廷根还选修了各类其他课程，而在柏林攻读第二、三年时，他几乎全身心投入数学和物理学的学习。
在柏林，黎曼从古斯塔夫・狄利克雷、C・G・J・雅可比（C.G.J. Jacobi）和戈特霍尔德・艾森斯坦（Gotthold Eisenstein）开设的课程中，学到了大量高等数学领域的前沿研究成果。他还师从气象学家海因里希・多夫（Heinrich Dove）和天文学家弗朗茨・恩克（Franz Encke）。
不上课时，黎曼常常泡在图书馆研读最新文献，包括多部法国出版物。他对柯西在复变函数及其积分方面的开创性研究尤为感兴趣。但最重要的是，他继续深入钻研高斯的著作，这进一步强化了他对高斯和狄利克雷传统下势论的兴趣。
1849年回到哥廷根后，黎曼的兴趣转向了物理学和哲学 [2]。他加入了教学研讨班，以及施泰因于 1850 年创办的新数学与物理学研讨班。海因里希・里特（Heinrich Ritter）和赫尔曼・洛采（Hermann Lotze）开设的课程，加深了他对形而上学和自然科学方法论的兴趣。他还认为化学家弗里德里希・维勒（Friedrich Wöhler）开设的课程极具价值。
与此同时，韦伯已重返哥廷根大学任教 —— 无论在学术上还是个人层面，这对黎曼而言都是一件幸事。事实上，与高斯关系密切的威廉・韦伯和地质学家沃尔夫冈・萨托里乌斯・冯・瓦尔特豪森（Wolfgang Sartorius von Waltershausen），后来帮助筹集资金，使黎曼在生命的最后几年得以大部分时间待在意大利。
除了师从韦伯，黎曼还选修了仅比他年长两岁的古斯塔夫・冯・昆图斯 - 伊西利乌斯（Gustav von Quintus-Icilius）开设的课程。昆图斯 - 伊西利乌斯于 1847 年在哥廷根获得博士学位，1849 年在韦伯的指导下完成教授资格论文（Habilitation），之后担任韦伯在物理研究所的助理，无疑与黎曼有过定期交流。
在讲述黎曼的学术生涯时，我们需要意识到，当时许多年轻人都获得了博士学位。然而，要在德国大学获得正式学术职位，博士学位持有者还需通过教授资格认证（Habilitation），这一程序由哲学院负责。在黎曼所处的时代，这一 “成人礼” 相当于获准加入一个小圈子 —— 当时哥廷根大学哲学院的正教授不足 20 人。黎曼获得博士学位后，高斯也负责指导他的教授资格认证，而黎曼在这位 “数学王子” 于 1855 年 2 月去世前几个月才完成该认证。本文重点关注与黎曼博士学位相关的事件，最后将简要谈谈高斯在黎曼教授资格认证过程中所扮演的角色。
3. 黎曼的哲学博士学位（Dr. Phil.）晋升
长期以来，博士学位（哲学博士 Dr. Phil. 是现代博士学位 PhD 的前身）由高级学院（神学院、法学院和医学院）授予，而基础文科与哲学院仅授予硕士学位。哥廷根大学打破了这一传统，这一变革始于克里斯蒂安・戈特洛布・海涅（Christian Gottlob Heyne）的学术生涯。海涅是希腊神话领域的多产专家，1763 年至 1812 年去世前一直担任诗歌与雄辩术教授（当然，授课语言为拉丁语和希腊语！）。
正是在这一时期，哲学博士（Dr. Phil.）学位首次在哥廷根大学确立，且大多数该学位授予古典语言学及相关领域的学生。在 18 世纪的最后三十年里，共有 40 名学生获得了哲学博士学位 [3, 506-507]。其中有 4 位候选人提交的博士论文涉及数学领域，而在1790年代，有 3 人因在数学科学史领域的研究获得博士学位。这些论文无疑是在博学家亚伯拉罕・戈特黑尔夫・凯斯特纳（Abraham Gotthelf Kästner）的指导下完成的，高斯在 1790年代中期曾听过他的课程。
到了19世纪初的几十年，博士学位的授予数量有所增加，但部分学位无需提交博士论文即可获得。在这种情况下，候选人通过公开辩论（Disputation）的表现获得晋升 —— 他们需要针对（通常是）两位对手提出的反驳，为自己的论点辩护。从中世纪开始，公开辩论就一直扮演着核心角色，即便到了 19 世纪，候选人通常仍需用拉丁语进行辩论 [3]。
不过，通常情况下，获得哲学博士（Dr. Phil.）学位的第一步是提交一篇约 50 页、据称包含原创研究的博士论文。若论文被学院认可，候选人便可进入博士学位授予程序的下一阶段。现在，让我们聚焦伯恩哈德・黎曼这位特殊候选人 —— 他的博士论文题目为《单复变函数一般理论的基础》（英文译为 Foundations of a General Theory of Functions of a Variable Complex Quantity）。
1851年11月14日，黎曼向哲学院院长申请参加博士学位的最终口试。除博士论文 [13] 外，他还提交了正式的申请表和个人简历 —— 根据学院规定，这两份文件均需用拉丁语撰写。黎曼提交申请的院长是东方语言学家海因里希・埃瓦尔德，他娶了高斯的女儿明娜（Minna）。埃瓦尔德也是 “哥廷根七君子” 之一，因此在1837年失去了哥廷根大学的教授职位。但与物理学家威廉・韦伯一样，他后来获准重返哥廷根。
收到黎曼的文件后第二天，埃瓦尔德写信通知学院的正教授们：
“我在此向各位尊敬的同事呈上一位新的博士学位候选人 —— 来自布雷瑟伦茨的 B・黎曼先生的论文；恳请宫廷顾问高斯先生对该论文发表意见，若论文合格，烦请确定口试的合适日期和时间。该候选人希望参加数学和物理学领域的口试。其申请表和简历中的拉丁语晦涩难懂，几乎难以忍受；不过，在语言类学科之外，目前我们很难期望有人能写出更好的拉丁语，即便像这位候选人这样有意进入大学任职的人也不例外。”[12, 45]
我们稍后便会看到，黎曼对埃瓦尔德教授作为管理者的评价也好不到哪里去。
11月24日，伯恩哈德写信给弟弟威廉，告知事情的进展。与此同时，高斯已阅读完黎曼的博士论文并提交了评审意见。黎曼还得知其他所有教员均已签字同意，因此院长将口试时间定在12月1日（周一）。黎曼在信中还提到了不久前与高斯的一次谈话中，高斯所说的一些令人费解的话。这次会面显然发生在高斯向学院提交评审意见前不久。
“周六我见到高斯时，他还未阅读我的论文，但他告诉我，多年来他一直在准备一篇论文（目前仍在撰写中），其主题与我所研究的主题相同，或至少部分相同。事实上，52年前他在自己的博士论文中就已表明，打算撰写这一主题的论文。我尚未听到他对我的研究成果的评价…… 不过，从其他人的评论中（我认为这些评论并非单纯的客套话），我必须得出结论：他对我的工作是满意的。”[9, 104]
显然，黎曼有机会与几位看过高斯简短评审意见的教员交流，这无疑让他在口试前松了一口气。
尽管黎曼的博士论文是在没有高斯指导的情况下完成的，但仍深受高斯的影响。在论文中，他引用了两部著作 —— 关于保角映射的文献 [5] 和关于曲面内蕴几何的文献 [6] 第13节 —— 这两部著作对黎曼曲面理论都至关重要。黎曼在哥廷根的第一年就试图获取第一篇论文，但未能成功；直到后来在柏林求学期间，他才有机会阅读该论文。我们不难想象，作为哥廷根的一名新生，他绝不敢向高斯求助。当他想从大学图书馆借阅专著时，总是通过高斯的助手本杰明・戈德施密特申请书面授权。
事实上，高斯对黎曼的博士论文给出了如下简短评价，表示认可：
“黎曼先生提交的论文充分证明，作者在该主题所属领域进行了深入透彻的研究，展现出勤奋、真正的数学研究精神，以及值得称赞的、富有成效的自主性。论文表述严谨简洁，部分内容甚至颇具美感；不过，大多数读者可能希望部分章节的结构能更加清晰易懂。整篇论文是一项有价值的杰出成果，不仅完全达到了博士论文通常要求的标准，还远超这些标准。”[12, 47]
高斯向来吝于称赞，因此这番话分量十足 —— 即便他对论文内容未置一词。巧合的是，黎曼的第一篇发表论文在其关于阿贝尔函数的里程碑式研究 [14] 问世后，才获得更广泛的关注，在该研究中，他直接引用了自己的博士论文 [13]。正如高斯所预料的那样，大多数读者认为黎曼的博士论文难度极大，部分原因在于其创新性。该论文给出了解析函数的新定义，通过黎曼曲面描述了它们的基本性质，利用后来被称为狄利克雷原理的方法证明了解析函数的存在性，并最终证明了黎曼映射定理。简而言之，这是一篇在复分析这一近乎全新的领域中极具原创性的作品，而高斯和柯西都为复分析领域做出了基础性贡献。
人们通常强调，黎曼对覆盖曲面的运用为单复变函数领域开辟了新的天地 —— 该领域在很大程度上要归功于柯西及其追随者的工作 [1, 131-213]。核心问题在于如何处理多值函数，这促使柯西和夏尔・埃尔米特（Charles Hermite）设计出基于曲线的方法，有效对复平面进行分割。柯西的 “割线”（lignes d’arrêt）使得函数在这些割线之外的不同区域有了多种取值确定方式。
而黎曼的构想则灵活得多：他采用了一个覆盖在复平面上的连通曲面，使得对于复平面上除分支点外的任意一点，曲面上对应点的叶数与函数值的个数一致。这些叶在分支点处相互连接，形成一个与函数取值确定方式相对应的连通曲面。在博士论文的结尾部分，黎曼仅简要提及了这一一般构想，并承诺将在后续场合进一步展开论述。六年后，他通过发表论文 [14] 兑现了这一承诺。
前文引用的11月24日的信件明确表明，高斯并未参与黎曼博士论文题目的指导，而且在那个时代，这种指导也不符合常规。戴德金（Richard Dedekind）在撰写黎曼的传记时，显然借鉴了这封信的内容，他写道：黎曼是在论文提交后、口试前不久才与高斯讨论自己的研究成果的 —— 口试中，高斯担任数学考官，韦伯担任物理考官。黎曼曾告知恩里科・贝蒂（Enrico Betti），高斯曾与他探讨过如何通过曲面的横割来推导其连通性，这与黎曼在博士论文中的做法一致。
或许贝蒂误解了这番话，他在给普拉西多・塔尔迪（Placido Tardy）的信中称，黎曼是从高斯那里首次学到这一方法的 [19]。戴德金补充道，黎曼随后了解到 “高斯长期以来一直在准备一篇关于同一主题的论文，但该论文肯定不仅限于这一主题”[4, 545]。除非有人在高斯未发表的论文中发现黎曼曲面一般概念的痕迹 —— 这并非完全不可能 —— 否则这番话很可能也是基于误解。
现在，让我们回到后续事件，这些事件有助于我们明确：在黎曼所处的时代，获取博士学位的仪式与如今的惯例有着天壤之别。哲学院整体负责授予博士学位，参与这一程序的教授会从国家（此处为汉诺威州政府部门）获得服务报酬。应院长的要求，高斯提出了口试的可能时间，这些时间得到了其他签字教员的认可：91岁的古典语言学家克里斯蒂安・威廉・米切尔利希（Christian Wilhelm Mitscherlich）、矿物学家弗里德里希・豪斯曼（Friedrich Hausmann）、哲学家海因里希・里特、古典考古学家卡尔・弗里德里希・赫尔曼（Karl Friedrich Hermann）、历史学家格奥尔格・魏茨（Georg Waitz）、古典语言学家兼图书馆员卡尔・赫克（Karl Hoeck），以及物理学家威廉・韦伯。这九人代表了半数正教授，其成员构成显然仅基于资历。值得注意的是，古典语言学家的人数众多，这与他们在哲学院长期占据的主导地位一致。
口试原定于12月3日举行，黎曼本以为口试后便可回家与家人庆祝。他曾申请豁免公开辩论这一古老习俗，但很快得知申请被驳回。12月13日，他在给威廉的信中发泄了自己的不满：
“不幸的是，负责我博士学位事宜的院长（埃瓦尔德教授）是一个极其迂腐且爱找麻烦的人；我提交手稿后，他让我等了五个多星期，而正常流程只需两周左右。我的口试最终在八天前的周三举行。现在他又要求我进行公开辩论，尽管哲学院已经有十年没有举行过公开辩论了…… 为了避免进一步拖延，我只好同意，今天终于收到通知，他将公开辩论的时间定在 12 月 16 日。”[9, 104-105]
黎曼的愤怒其实有些不合时宜，因为埃瓦尔德只是在履行一名正直公职人员的职责，他认为无法规避法定要求。此外，高斯也独立得出了相同的结论。只有韦伯支持豁免黎曼的正式辩论，但他支持黎曼申请的理由听起来可能相当奇怪：韦伯认为，这位候选人可能无法在朋友中找到愿意担任对手的人。
这种情况会让学院陷入尴尬境地，不得不指定对手。然而，高斯不为所动：“没有公开辩论，就不能算是真正的博士。” 他进一步指出，黎曼不久后希望成为编外讲师（Privatdozent）。由于教授资格认证条例规定，此前未通过拉丁语正式辩论的申请者，需在认证过程中完成该环节，因此高斯认为此时豁免这一要求毫无意义 [12, 47-48]。
4. 黎曼的公开辩论（Disputation）
黎曼或许从未知晓，是高斯投下了关键一票，驳回了他的申请；而且，我们也不太可能知晓12月16日公开辩论中他的对手是谁 —— 他最终成功挺过了这场考验。由于没有关于黎曼公开辩论过程的记录留存，那天实际发生了什么在很大程度上（尽管并非完全）只能靠我们想象。院长埃瓦尔德向政府部门提交的最终报告尽可能简洁（粗略译文）：“伯恩哈德・黎曼因其在印刷论文中展现出的在数学和物理科学领域的非凡学识，通过了口试和公开辩论，获得认可。”
起初，黎曼似乎计划提出六个论点，准备在正式辩论中辩护。值得注意的是，其中不少于五个论点涉及物理主题。此外，这五个论点均反映了黎曼对当时各类主流观点和技术进展的强烈批判态度 [17, 1902: 112-113]：
（1）磁流体并不存在。
（2）法拉第的 “曲线感应” 理论站不住脚。
（3）可逆摆（英文中称为凯特摆）并非测定秒摆长度（用于测量当地地球重力加速度）的最佳方法。
（4）能量守恒理论尚未得到充分的实验证明。
（5）电学理论中的电压概念尚未得到足够清晰的界定。
黎曼可能与合作密切的韦伯讨论过这些论点，甚至可能是韦伯建议他转而辩护自己在博士论文中倡导的复分析一般方法。考虑到韦伯曾对黎曼能否找到一个或多个对手（通常是已获得或未获得博士学位的同学）表示怀疑，他很可能认为这是最佳方案。无论如何，黎曼在哥廷根的遗物中，有一份包含三个拉丁语论点的公开辩论草稿，所有论点均涉及博士论文第12节中提出的复解析函数的性质。
黎曼论文中的另一份文件明确表明，这些论点正是他在公开辩论中辩护的内容。在该文件中，他通过将自己的解析函数定义与另外两种定义（其中一种由柯西提出）进行对比，简要指出了核心争议点。有趣的是，奥古斯丁・路易・柯西（Augustin Louis Cauchy）的名字仅在此处出现，而在博士论文本身中并未提及。
图4：戴德金转录的黎曼公开辩论文本
哥廷根大学图书馆藏黎曼手稿（Cod. Ms. B. Riemann 13），第 100r 页
以下译文源自理查德・戴德金的转录本（图4）；该转录本可在哥廷根数字化中心（GDZ）在线获取：（Cod. Ms. B. Riemann 13, 100r, 100v）。
“我为博士学位撰写的论文旨在为单复变函数的一般理论奠定基础，并非出于论战目的。然而，由于该论文也旨在为当前的学术争论提供素材，因此有必要强调其中一些观点 —— 这些观点与一些公认的知名学者提出的主张相悖。
第一个争议点涉及‘单复变函数’这一术语的定义。
在我的论文中，我给出了如下定义：若复数量 w 随复数量 z 变化，且微商 dw/dz 的值与微分 dz 的取值无关，则称 w 为 z 的函数。”
在论文 [13] 的第4节中，他证明了这一定义导出了著名的柯西 - 黎曼微分方程 —— 这是函数在某一区域内解析（全纯）的必要条件。然而，他认为这些方程构成充分条件的假设，还需要额外的条件支持 [1, 266]。为了明确这是一种本质上的新构想，黎曼列举了两种对立的复函数定义：
“第一种定义认为，变量 z=x+yi 的函数 w 具有这样的性质：dw/dz 与 dz 无关。但这一性质并未被视为该概念定义的一部分。相反，人们依赖先前已证明的定理 —— 该定理声称，a+b 的函数对 a 的微商等于对 b 的微商。
第二种定义将复数量 w（通常为特定类型）视为随 z=x+yi 任意变化的函数。这一观点由柯西提出，他是法国学者中首位广泛研究复数量理论的人。他在巴黎科学院最近的一次会议上提交关于皮瑟（Puiseux）某部著作的报告时提出了这一观点，并在后续的多次演讲中进一步阐述了该观点。
在这两种理解单复变函数概念的方式中，第一种与我的定义相反：它承认我用于定义该概念的性质，但不将其视为定义的一部分；而第二种则根本不认为复函数具有这一性质。”
在此背景下，值得注意的是，黎曼的博士论文以连续实值函数的松散定义开篇。他的著作编辑在其手稿中发现了一个更精确的表述，并将其印在论文的注释中 [17, 1876: 46]：
“‘在 z=a 到 z=b 之间，量 w 随 z 连续变化’这一表述的含义是：在该区间内，z 的无穷小变化对应 w 的无穷小变化；或者更具体地说，对于任意给定的量 ε，总能找到一个量 α，使得当 z 的邻域区间小于 α 时，w 的任意两个值之差永远不大于 ε。”
当然，这正是我们熟知的、通常归功于魏尔斯特拉斯（Weierstrass）的连续性定义的一种略显繁琐的表述。黎曼补充说明，连续函数在各处都是有限的。
最后，我们不妨回顾一下黎曼给弟弟的信中提到的：哥廷根哲学院已有整整十年没有举行过拉丁语正式辩论了。无论这一说法是否属实，我们或许可以推测，黎曼的辩论是最后几次此类辩论之一。他很可能没有用拉丁语长篇大论，这无疑会让埃瓦尔德教授感到安心。
遗憾的是，我们并不清楚黎曼是否真的面临一个正式的对手，与他展开辩论。考虑到他所辩护的论点具有很强的技术性，这场辩论很可能会显得刻意做作，而韦伯的观点或许最终占了上风 —— 只不过是以这种折中的方式。正如我们所见，论文答辩并非当时博士学位的要求之一，但黎曼的公开辩论与后来德国大学及其他地区的标准程序有诸多相似之处。
总结这一案例中的正式流程，我们可以看出，高斯无疑是核心人物。然而，他是与哲学院常设的博士委员会共同行事的。该委员会由九位正教授组成，代表了几乎所有学科，他们均认同高斯的简短评价。随后，他们商定了黎曼口试的合适时间，由高斯负责数学部分的口试，韦伯负责物理部分的口试。两周后，黎曼成功为其在公开辩论中提出的论点进行了辩护。
然而，他是否与对手（如果存在的话）用拉丁语进行了辩论，这一点仍值得怀疑。简而言之，黎曼通过提交合格的书面作品、通过数学和物理学口试，以及以改良版的传统拉丁语公开辩论形式向学术界公开亮相，满足了哲学院对哲学博士（Dr. Phil.）学位的要求。另一方面，他获得的这一学位在很大程度上只是一种荣誉象征。像黎曼这样希望成为德国大学教职候选人的人，还需经历另一项考验 —— 教授资格认证（Habilitation）程序。对于希望申请该认证的哲学博士（Dr. Phil.）持有者，最短等待时间为两年。
教授资格认证（Habilitation）包括提交一篇博士后论文（Habilitationsschrift），一段时间后，再就学院选定的主题发表一篇演讲（Habilitationsvortrag）。与博士论文不同，黎曼的博士后论文 [15] 直到他去世后才得以发表。该论文探讨的问题是他在柏林听狄利克雷的课程时了解到的，即找出一个函数能够用无穷三角级数表示的充分必要条件。当他向学院提交这篇论文时，高斯再次被要求发表评审意见。这一次，高斯的表述更为简洁：“该论文充分展现了作者深厚的学识、出色的判断力和独立研究能力，完全符合其预期目的。”（哥廷根大学哲学院 1854 年院长档案，SUB Göttingen）。
至于黎曼的演讲，高斯著名地要求他以《论作为几何学基础的假设》（On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry）为题进行演讲。后来，威廉・韦伯回忆说，高斯对黎曼在教授资格认证当天向一小群教授宣读的文本赞不绝口。若高斯曾向黎曼表达过这些想法，并未有相关谈话记录留存。此外，包括黎曼本人在内，没有人试图宣传这篇著名的演讲 —— 直到 1868 年理查德・戴德金将其发表 [16]，这篇演讲才被重新发现。
这些及其他相关事件，在我的配套文章《对黎曼最著名演讲的思考》（Reflections on Riemann’s Most Famous Lecture）中有详细描述，该文章将于今年发表在《数学情报员》（The Mathematical Intelligencer）上。希望这两篇文章能激励感兴趣的读者关注我即将出版的传记《伯恩哈德・黎曼：他的生平与非凡的数学遗产》（Bernhard Riemann: His Life and Wondrous Mathematical Legacy），该书将由施普林格・自然（Springer Nature）出版。
致谢
本文的撰写得益于阿德里安・赖斯（Adrian Rice）、诺伯特・沙普哈彻（Norbert Schappacher）、格特・舒布林（Gert Schubring）、乔・西尔弗曼（Joe Silverman）和伊娃・考夫霍尔茨 - 索尔达特（Eva Kaufholz-Soldat）提出的宝贵建议。我特别要感谢汤姆・阿奇博尔德（Tom Archibald）和一位匿名评审者的有益反馈，希望他们对我采纳其意见所做的努力感到满意。
原文参考文献
[1] 翁贝托・博塔齐尼（Umberto Bottazzini）、杰里米・格雷（Jeremy Gray），《隐藏的和谐 —— 几何幻想：复变函数理论的兴起》（Hidden harmony—geometric fantasies: The rise of complex function theory），数学与物理科学历史文献及研究系列（Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences），施普林格出版社（Springer），纽约，2013 年，DOI: 10.1007/978-1-4614-5725-1。MR3099398
[2] 翁贝托・博塔齐尼（Umberto Bottazzini）、罗萨娜・塔齐奥利（Rossana Tazzioli），《自然哲学及其在黎曼数学中的作用》（Naturphilosophie and its role in Riemann’s mathematics）（英文，含英文和法文摘要），《数学史评论》（Rev. Histoire Math.），1995年第1卷第1期，第3-38页。MR1328152
[3] 威廉・克拉克（William Clark），《学术魅力与研究型大学的起源》（Academic Charisma and the Origins of the Research University），芝加哥大学出版社，芝加哥。
[4] 理查德・戴德金（Richard Dedekind），《伯恩哈德・黎曼的生平》（Bernhard Riemanns Lebenslauf），收录于 [17]，1892 年，第 541-558 页。
[5] 卡尔・弗里德里希・高斯（Carl Friedrich Gauss），《一般解法：将给定曲面的部分映射到另一曲面上，使映射在最小部分与原曲面相似》（Allgemeine Auflösung der Aufgabe: Die Theile einer gegebenen Fläche auf einer anderen Fläche so abzubilden, dass die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen ähnlich wird），《天文学通报》（Astronomische Nachrichten），第 3 卷，第 1-30 页；重印于 [7]，第 4 卷，第 189-216 页。
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[7] 卡尔・弗里德里希・高斯（Carl Friedrich Gauss），《高斯全集》（Werke），12 卷，哥廷根。
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[15] 伯恩哈德・黎曼（Bernhard Riemann），《论函数的三角级数表示》（Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe），《哥廷根皇家科学学会论文集》（Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen），第 13 卷，第 87-132 页；重印于 [17]，1876 年，第 213-251 页。
[16] 伯恩哈德・黎曼（Bernhard Riemann），《伯恩哈德・黎曼 “论作为几何学基础的假设”》（Bernhard Riemann “Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen”）（德文），科学经典文本系列（Klassische Texte der Wissenschaft），施普林格・斯佩克特姆出版社（Springer Spektrum），[出版地未注明]，2013 年，于尔根・约斯特（Jürgen Jost）撰写历史与数学评注，DOI: 10.1007/978-3-642-35121-1。MR3525305
[17] 伯恩哈德・黎曼（Bernhard Riemann），《黎曼数学全集及科学遗稿》（Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass）（德文），多佛出版社（Dover Publications, Inc.），纽约，1953 年。MR52364
[18] 伯恩德・斯图姆费尔斯（Bernd Sturmfels），《指导的冒险》（Adventures in Mentoring），《美国数学会通告》（Notices of the American Mathematical Society），2019 年第 66 卷第 8 期，第 1300-1302 页。
[19] 安德烈・韦伊（André Weil），《黎曼、贝蒂与拓扑学的诞生》（Riemann, Betti and the birth of topology），《精确科学史档案》（Arch. Hist. Exact Sci.），1979 年第 20 卷第 2 期，第 91-96 页，DOI: 10.1007/BF00327626。MR535147
本文作者：
大卫・E・罗（David E. Rowe）是德国美因茨约翰内斯・古腾堡大学数学与自然科学史荣誉退休教授。
文章 DOI: 10.1090/noti3294
参考资料
https://www.ams.org/journals/notices/202602/noti3294/noti3294.html
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=22663556
http://archiv.bbaw.de/archiv/archivbestaende/abteilung-sammlungen/gesamtbestand-des-kunstbesitzes/gelehrtengemaelde/gelehrtengemalde-seiten/ZIMM-0001.html
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=6886354