席南华院士：数学概述
本文是席南华院士为《中国大百科全书》第三版数学卷写的概观条目，条目名称是“数学”，这里标题改为“数学概述”。
数学是关于量与形的一门科学。数学关注的是量与形的数学规律，不同对象的数学联系是特别重要的一类数学规律，勾股定理就是其中的一个，有很多重要的数学规律是关于存在性的判断，如素数有无穷多个，数学对象的分类也是重要的数学规律，如平面二次曲线的分类、二维曲面的分类等。量与形是物质和事物的基本属性，从而数学的规律是物质和事物的基本属性的规律，是现实世界的一个反映，是自然规律和社会规律中最实质的一部分。
从教育的角度说，数学大致可以分成初等数学和高等数学，分别对应到中小学和大学学习的数学。
初等数学的特点是主要处理常量的数学、简单的函数和简单的几何图形，一般不涉及变量的数学和极限，但在特殊的情形也会有，如直线的方程和圆的方程，用内接正多边形逼近圆等。它的抽象化程度较低，概念与现实世界的简单对象联系较直接，从而容易理解和解释，如点、直线、平面、三角形、四边形、圆、椭圆、多边形的面积、多面体的体积、球的体积、多项式、线性方程组、一元二次方程、一元三次方程、一元四次方程、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等。
初等数学涉及的运算一般就是数或代表一般数的字母的四则运算，开方、指数、对数等。初等数学的主要内容包括算术、初等代数、初等几何、初等数论、三角学等，大体上可以说它们是在中小学学习的数学内容。世界发展至17世纪30年代前的数学在初等数学的范畴。
一般而言，高等数学是在高等教育中学习和研究的数学。处理变量的数学在高等数学的范畴，但高等数学的内涵要丰富得多。
高等数学中，微积分的知名度最高，在一般人的心目中它几乎就是变量数学甚至是高等数学的代名词。这并不奇怪，因为微积分与初等数学有显著的差别，是高等数学中的一块基石，更是威力强大的一个工具。历史上，在17世纪相继诞生的解析几何和微积分是数学发展史上继欧几里得《几何原本》以后最重要的事件，可以说此后数学的发展就是变量数学和处理变化的数学的发展，换句话说，是高等数学的发展。
解析几何，亦称为坐标几何，现在很少单独作为一个分支，原因是它的方法和结果大多已经融合到其他分支如微积分、线性代数、代数几何等，较简单的一部分，如直线、圆等有关的内容，则可以划入初等数学。在历史上，17世纪30年代解析几何的出现是很大的事情，它在方法论和思想上对数学发展有重要的作用。它把代数与几何完美地结合在一起，通过坐标，赋予函数和方程以几何意义，还是通过坐标，为几何图形找到方程，从而代数成为解决几何问题的有力工具。解析几何还为微积分的诞生做了必要的基础工作。
人们在古代就能处理一些简单图形如多边形、圆等的面积，也会求圆的切线，但对更复杂的图形，这就不是一件容易的事情了。在物理中，对于非匀速运动，求加速度和路程同样不是一件容易的事情。对这些问题探索最后导致牛顿和莱布尼茨在17世纪分别独立建立了微积分。用微积分我们能轻易求出一些复杂图形的面积、体积、确定物体的加速度、路程、圆周率
的精确值等等。微积分及在其上发展起来的分析数学成为认识和探索世界奥秘最有力的数学工具之一，为数学带来全面的大发展，促进了很多新分支的产生如微分几何、微分方程、实分析、复分析、调和分析、解析数论等等。值得提出的是莱布尼茨对微积分的高度个人创造的记号对微积分的发展是很重要的，他可能是有史以来最伟大的符号语言大师。
微积分的基本概念有极限、微分和积分，分析数学的基本研究对象是函数。很多重要的函数类都有专门的分支研究，如实分析研究变量函数，复分析研究复变量函数。正弦函数和余弦函数都是周期函数。傅里叶认为它们是描述周期运动的基本函数并在19世纪初建立了相应的理论，现称为傅里叶分析。傅里叶分析及其更一般的理论调和分析是内容非常丰富且应用很广泛的数学分支。
1927年物理学家狄拉克在研究量子力学时引进了
函数，它不是经典意义下的函数，给当时的数学家带来很大的困惑。施瓦兹建立的分布理论使得δ函数变得容易理解并能严格处理。分布理论在现代偏微分方程理论中极其重要。
无限维空间上的分析是泛函分析，巴拿赫空间和希尔伯特空间及其上面的算子是基本的研究对象，其中的希尔伯特空间对量子力学有着基本的重要性。泛函分析的重要一支是算子代数，与表示论、微分几何等有深入的联系。
大自然很多的奥秘是通过微分方程表达的，描写电磁运动的麦克斯韦方程，描写微观世界的薛定谔方程，描写流体运动的纳维-斯托克斯方程，描写宏观世界的爱因斯坦方程等等。这些方程都是非线性偏微分方程，有很多人研究。纳维-斯托克斯方程是否有整体光滑解十分为人关注。
丘成桐等人发展一些强有力的偏微分方程技巧用以解决微分几何的一些重要问题如卡拉比猜想等，在这些工作的基础上，几何分析逐步发展起来。几何分析的研究当前很活跃。
只有一个独立变量的微分方程称为常微分方程，很多这类方程来自经典力学，如牛顿第二定律，独立变量很多时候就是时间。混沌理论来自常微分方程的研究。事情起源于天体运行轨道的稳定性的研究。如果只有两个星球，那么牛顿的万有引力定律很容易导出星球的轨道行为，但多个天体的情况极其复杂。庞加莱想先把三体问题解决，但发现问题太困难，无法清楚写出微分方程的解，于是考虑解的定性研究，导致发现解的混沌性。对一些微分方程的解混沌性，有一个通俗的说法——蝴蝶效应，意指在一定的约束下，刚开始时很小的差别可以导致后来巨大的差异。混沌理论的应用十分广泛，气象预报是其中之一。
常微分方程解的定性研究与动力系统密切相关。庞加莱和李雅普诺夫等在研究太阳系和多体问题的解时开启了常微分方程组解的定性研究，这些工作标志了动力系统这一数学分支理论的诞生。动力系统是很活跃的研究领域，其中一个研究方向是复动力系统，研究函数的迭代。二次函数的迭代就复杂得让人吃惊。研究有不变测度的动力系统的分支称为遍历论，与调和分析、李群及其表示、代数群、数论有密切的联系。
在19世纪对常微分方程的研究导致了李群和李代数的诞生，后者在数学物理中的应用广泛深刻。
数论大部分的内容都在高等数学的范畴。我们认识数学基本上都是从数开始的。数中间有无穷的魅力、奥秘和神奇，始终吸引着最富智慧的数学家和业余爱好者。数论的主要研究对象包括：素数和不定方程，前者是解析数论研究的中心对象，后者是代数数论研究的中心对象。
素数有无穷多个，在《几何原本》中有一个优美的证明。素数是数学永恒的研究对象，而且是最难以琢磨的数学研究对象。我们熟知的孪生素数猜想和哥德巴赫猜想，到现在仍未解决，哈代-李特尔伍德猜想是比孪生素数猜想更强的猜想。对哥德巴赫猜想，陈景润的工作目前仍是最好的，而奇数哥德巴赫猜想由维诺格拉多夫于1937年基本解决。
对于素数在自然数中的比例，有著名的素数定理，它告诉我们素数在正整数中占比是多少。
1859年，为研究素数的分布，黎曼深入研究了一个函数，现称为黎曼
函数，建立了这个函数的零点和素数分布的联系，提出了著名的黎曼猜想。这个猜想断言黎曼
函数的零点除平凡的外实部均为
。普遍认为黎曼猜想是数学中最有名的猜想，自它提出之时起就在数学研究中占有突出的位置，很多问题与它有关，还与算子代数、非交换几何、统计物理等有深刻的联系。黎曼
函数是
函数的一个原型，后者现在是数论的一个中心研究对象，与分析、几何及表示论的联系极深，在朗兰兹纲领中起关键作用，其在一些特殊点的值含有很多深刻的算术信息。黎曼猜想对代数几何的发展也有巨大的影响。
未知元个数多于方程个数的方程组称为不定方程。整系数的不定方程是数论研究的中心对象之一，这里关注的是方程的整数解或有理数解。古希腊的丢番图已经对这类方程开展了研究，从而这类方程常称为丢番图方程。直角三角形三边的关系
就是一个不定方程，它与圆方程类似，有很多的整数解，勾三股四弦五就给出一组。高次的情形就是方程
，其中
是大于二的整数。1637年，费马在一本书内的边页写道，他有一个此方程无非平凡整数解的证明，但太长，边页空白处写不下。人们没找出费马说的那个证明，于是此方程无非平凡整数解成为一个猜想，称为费马大定理问题。这个猜想一直吸引着数学家的强烈兴趣，有力推动代数数论的发展。实际上，19世纪库默尔对这个问题的研究导致了代数数论的诞生。费马大定理最后在1995年被怀尔斯证明，这是20世纪一项伟大的数学成就。代数数论现在是非常有活力的数学分支。
在怀尔斯对费马大定理的证明中，椭圆曲线起了关键的作用。椭圆曲线的方程其实很简单：
，其中
是常数，如
等等。它们有群结构，在射影空间中的几何图形就是环面，与汽车轮胎一个形状。对椭圆曲线也能定义
函数。BSD猜想断言这个
函数在1处的值与椭圆曲线的群结构密切相关，是数学的研究热点之一。
高等数学中，知名度仅次于微积分的是线性代数，和微积分一样，它也是高等数学中的一块基石。线性代数是从求解线性方程组发展起来的。虽然理论上消元法可以求解线性方程组，但如果未知元的个数太多，比如，成千上万或更多，消元法就是一个极其费时费力的方法，甚至是不可行的办法。线性代数中的基本概念包括矩阵、行列式、向量空间、线性算子、欧氏空间等。在我国古代的数学著作《九章算术》里已经开始使用矩阵解线性方程组了，其中也出现了行列式。矩阵这个术语是西尔维斯特在1850年创立的，作为系统的理论出现可能是1858年凯莱的文章《矩阵理论研究报告》。想法简单朴素，就是把方程组的系数按行和列排在一起。
解方程是数学一个永恒的主题。在19世纪以前，解方程是代数的主题。高斯把复数域上的一元多项式总有复数根这一结论称为代数基本定理，由此可以看出在那以前求一元多项式的根在代数学中的地位。
一元一次方程是简单的。一元二次方程的根早在巴比伦时代人们就会求解。一元三次和一元四次方程的求解公式直到16世纪才得到。此后人们试图得到五次或更高次的一元多项式方程的根式解，但都失败了。原来答案是否定的。1824年阿贝尔证明了五次或更高次的一元多项式方程一般没有根式解。几年后伽罗瓦找到证明这个结论更好的方法：对每一个一元多项式，有相应的群。一元多项式方程有根式解当且仅当相应的群是可解的。群论由此诞生，代数的面貌焕然一新。逐渐地，各类代数结构如群、环、域、模、表示等成了代数的主角，也成了其他数学分支和粒子物理有力甚至不可或缺的工具。
多元多项式方程组的根集合的研究是代数几何的主题，古希腊关于圆锥曲线的工作可以看作代数几何的萌芽，解析几何可以看作代数几何的先声。在过去一百多年中，代数几何的发展迅速，现在已经成为一个庞大深刻，有广泛应用的数学分支。在现代代数几何的发展中，韦伊猜想起了巨大的推动作用，格罗滕迪克的工作是革命性的，改写了代数几何的语言。代数几何的一个主要问题是对代数簇分类。
高等数学中几何部分的内容主要由微分几何、拓扑学、非欧几何和上面说的代数几何等构成。18世纪法国数学家蒙日用微积分研究几何，他在19世纪初出版的书《分析在几何中的应用》是微分几何方面的第一本书。1827年高斯发表了《关于曲面的一般研究》，奠定了曲面论的基础，影响深远。这项工作说明了如何直接在曲面上讨论几何，可以不需要考虑曲面是如何放到三维空间的。1854年黎曼在他的教授就职演讲中将高斯的理论推广到n维空间，开创了微分几何中的一个核心分支——黎曼几何，它后来成为广义相对论的数学框架。微分几何在20世纪的一个发展主流是整体微分几何，埃利·嘉当、陈省身等人在其中发挥了突出的作用。在微分几何中基本的概念包括曲率和度量，前者刻画弯曲程度，后者确定长度、面积、体积等。
拓扑学的一个起源是凸多面体的欧拉公式，即对凸多面体，如长方体等，顶点数
棱数
面数
。拓扑学研究几何空间的整体性质，就是说那些在连续变形下不变的性质，是数学的主流分支，在数学的其他分支和物理中的应用极其广泛，有时是研究一些问题必不可少的工具，如广义相对论中的一般性的时空奇点定理就是彭罗斯把拓扑学引入广义相对论而证明的。
庞加莱在拓扑方面的工作是高度开创性的。他创立了用剖分研究流形的基本方法，引进了很多的概念如基本群、同调群等，提出了著名的庞加莱猜想，断言闭的三维流形中只有球面的基本群是平凡的。庞加莱猜想对拓扑学的发展有巨大的推动作用，在2003年被俄罗斯数学家佩雷尔曼解决。佩雷尔曼证明这个猜想所用的工具是非常有意思的，那就是几何分析。
上面提到同调群是研究拓扑的主要手段之一，也是代数拓扑研究的主要对象之一。为了不同的目的，人们定义了各种各样的同调群和上同调群。在好的空间如流形上，这些（上）同调群都是一样的，而且有著名的庞加莱对偶。同调群中有一些特别的元素对研究认识空间的几何结构非常重要，这些元素就是示性类。最著名的示性类有陈类、斯蒂弗尔-惠特尼类、庞特里亚金类等。对光滑的复代数的德拉姆上同调，其中一些元素称为霍奇类。代数几何中一个未解决的主要问题是霍奇猜想，它断言霍奇类都是一些代数圈类的有理线性组合。
19 世纪出现的非欧几何是几何发展中一件革命性的事情。它源于对欧几里得几何中平行公理的研究。最后导致了双曲几何、椭圆几何，前者的三角形的内角和小于
，后者的三角形的内角和大于
。黎曼几何是一种非欧几何。这样一来就产生了一个问题：哪一种几何是符合我们的物理世界？广义相对论告诉我们是黎曼几何。
逻辑支撑着数学的大厦，也是数学分支数理逻辑研究的对象。现代数学是建立在集合论上的，集合论是数理逻辑的重要组成部分。模型论是数理逻辑的一个分支，在代数和代数几何有深刻的应用，有些代数几何的结果还是最先用模型论发现并证明的。赫鲁晓夫斯基 1996 年用模型论证明了函数域上的莫德尔-朗猜想，名噪一时。与数理逻辑密切相关的一个问题是 P 和 NP 问题，这是一个数学问题，也是理论计算机科学领域最有名的问题。简单说，P 和 NP 本质上问的是如下事情：给了一些整数，能否有很快捷的方法（即多项式时间算法）判断这些整数的某一部分的和为零。
概率论和数理统计亦是广为人知的数学分支，应用广泛。它们关注随机现象中的数学规律，是研究和处理不确定性现象的主要数学工具之一。概率论始于 16 世纪对赌博问题的研究，卡丹诺、帕斯卡、费马、雅各·伯努利是这个分支的创始人。1933 年柯尔莫哥洛夫给出了概率空间的公理化定义，为概率论奠定了严格的数学基础，此后概率论发展迅速。1942 年伊藤清建立随机分析，是概率论的一个重要大发展。概率论的主要概念包括概率、期望、随机变量、布朗运动、马尔可夫过程、鞅等。数理统计主要研究和发展有效地收集、整理、加工、表示、刻画和分析相关数据的理论与方法，并对所考察问题做出推断或预测，其理论基础是概率论。它的主要目的是提取和挖掘隐藏于数据背后的结构和科学规律，并对相关的过去或未来进行推断。数理统计在人工智能的研究中十分重要。
上面所说的高等数学除了概率论和数理统计外都在基础数学即数学的范畴。概率论过去曾被看作应用数学，但现在很多人把它，或至少其中的随机分析等看作是基础数学。应用数学是高等数学的一个重要组成部分。在 20 世纪以前，虽然有很多的数学工作与应用密切相关，但应用数学这个名称用得很少，并没有形成特别有影响的独立分支。进入 20 世纪后，应用数学快速成长，出现了计算数学、运筹学、控制论、组合数学、博弈论、信息论、数理统计等多个应用数学分支。计算机的出现进一步推动了应用数学的发展，还产生了很多交叉的方向，如计算机数学、人工智能等。
实际问题要求具体的数值解答，产生了计算数学。计算数学主要为需要数值解的数学问题如大规模的线性方程组和复杂的微分方程等寻求高效精确的算法。计算数学在工程科学和其他学科，包括人工智能都是十分重要的。
第二次世界大战军事上的需要产生了运筹学，后来工商业管理的需求进一步刺激了其发展。运筹学主要研究在一定约束下对问题寻找最优解。
控制论的产生源于工业的发展、第二次世界大战军事上的需要，神经生理学和心理学的研究也有促进作用。维纳在 1948 年出版的《控制论——或关于在动物和机器中控制和通信的科学》通常被认为是控制论诞生的标志。控制论关注如何控制一些过程和系统，基本概念包括反馈、稳定性、镇定等。
组合数学研究离散的结构，内容包括计数理论、代数组合、图论等。在数论、代数、几何、概率论、计算机科学、现实生活中都有大量的组合数学的问题。组合数学在计算机科学和网络研究中发挥着突出的作用。
博弈论研究在规则明确的竞争中如何用数学方法决策从而获取最大利益。
信息论处理信息的编码、存储、传输。熵是信息论中的一个基础概念。
计算机数学是研究应用计算机解决各类问题需要的数学，它关注“什么是可以计算的”，对于可计算的问题，则关注设计求解该问题的最好算法。
物理一直是数学发展的强大推动力量。在 20 世纪，数学物理成为数学的一个重要分支，过去几十年是非常活跃，成果显著。它关注来自规范场论、量子场论、弦论、统计物理等物理分支的数学问题。建立量子杨-米尔斯理论的严格数学基础是这个分支的一个中心问题。
生物科学的迅速发展提出很多的数学问题，现在有生物数学这一交叉分支。它关注用数学模型理解生物现象。目前，数学与其他学科的结合正在形成若干交叉方向，如计算材料学、计算化学等。
数学的发展史无疑是数学的一部分，对深入认识数学是不可缺少的。数学起源于人类在生活和生产上的需求。在遥远的古代，现实的需要，如人口计数、食物的分配、时间和日期、路程的长度、土地的面积、农作物的收成、谷仓的容积、商品交易、水利工程的土方量、天象的观察等，产生了数之间的计算和形的探究。在这个过程中，算术与几何产生了。
数学的最初知识在世界各地的早期文明社会独立平行地获得和积累，即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。文字大约在公元前 3200 年出现，在此之前，人类在数学上的进展是极其的缓慢。数学的发展与社会的发展和需求是相关的。四大古文明都有显著的数学成就。但这不是说其他古文明的数学成就不显著，而且，即便是在古代，文明之间也是互相有影响的。
在中国古代，数学的主要成就在计算方法，还有若干一般性的理论成果，如勾股定理、孙子定理、祖暅原理等。商代时已有十进制表示数的方法，以后不断完善，这对数学的发展意义重大。公元前 1 世纪至公元 1 世纪期间成书的《九章算术》，在中国数学史的地位类似于《诗经》在中国文学史的地位。它收集和整理了当时大量的数学成就，包括分数的加减乘除四则运算、负数的概念以及正负数的四则运算、开平方和开立方、某些二次方程的数值解、若干面积和体积的公式、勾股形解法（解答与直角三角形有关的问题）、线性方程组的解法等。
在魏晋时代，中国出现了系统的数学理论证明和严格推导。如赵爽关于勾股定理的证明等；刘徽主张对数学概念以严格的定义，他在《九章算术注》中对原书的方法、公式和定理给予解释和推导。刘徽创造了割圆术，即通过圆的内接正多边形的周长和面积分别逼近圆的周长和面积，成为后人如祖冲之等求圆周率更精确值的一般方法。虽然没有实数和无理数的一般概念，刘徽等人实际上已完成了实数系统的四则运算和开方运算，这对实际应用和数学教育都是很重要的。
中国古代在高次方程的数值解方面成就很大。唐代初期的《缉古算经》中建立了开带从立方的算法求三次方程的正根，从而解决当时的工程的问题。高次方程的数值解方面的工作到宋代达到一个顶峰：引进了“天元”（即未知数）的明确观念，出现了根据问题的条件列出方程和求高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法，通称为天元术与四元术。与之相伴出现的多项式的表达、运算法则以及消去方法，和现在的代数教科书的方法极为类似。
在宋代突出的成就还有垛积术即高阶等差级数求和、线性同余方程组的一般解法即孙子定理等。中国古代几何则以测量和面积体积的计算为主，一般性的结果除了关于直角三角形的理论还有出入相补原理以求任意多边形面积；阳马鳖臑的二比一原理（刘徽原理）以求多面体的体积；5世纪祖暅提出“幂势既同则积不容异”的原理以求曲形体积特别是球的体积；还有以内接正多边形逼近圆周长的极限方法（割圆术）。
巴比伦的数学成就记录在泥版上，算术和代数概念在当时很先进，解出了几类有一个或更多未知数的方程，特别是二次方程，几何要弱一些，知道面积和体积的一些可能不正确的算法或公式，还有勾股定理中的关系和三角形的相似。公元前1800年左右，古巴比伦神庙的书吏使用了乘法和除法表，以及计算平方根、倒数和指数的表格。他们使用60进制。我们现代生活中一些基本的东西就源自古巴比伦的数学，即一天分为两个12小时，每小时有60分钟，每分钟有60秒，圆分成360度。
古埃及人的数学成就记录在纸莎草上。在算术上能对分数做四则运算，求解简单的方程，但未能把算术和代数上发展到较高水平，其分数运算的繁复是原因之一。他们在测量方面成就显著。他们发明了计算三角形面积、金字塔、圆柱和半球的体积的方法，他们还注意到所有的圆周率即现在说的
都是一样的。这类成就和埃及人雄伟的建筑工程如金字塔等密切相关。
古印度在数学上的贡献包括十进制，数字0的引入，算术与代数，还有三角学，包括正弦和余弦函数的定义等。
数学从理论上系统研究始于古希腊人，在公元前600年至公元前300年期间，代表人物有毕达哥拉斯、欧几里得等。欧几里得的《几何原本》采用公理化体系系统整理了古希腊人的数学成就，两千多年来一直是数学领域的教科书，其体系、数学理论的表达方式和书中体现的思维方式对数学乃至科学的发展影响深远。古希腊人对数学的最重大的思想贡献包括：数学研究抽象概念，一切数学结果必须根据事先明确规定的公理用演绎法推出。
国外很多数学家的哲学观，或者说信念，对数学的发展有深远的影响。这方面也是值得特别注意的，他们对数学有一种宗教的情怀与敬畏，这在我国是罕见的。毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，“数统治着宇宙”等。这些观点对西方的科学文化有巨大的影响，很多杰出的科学家，甚至有些政治家和人文学者对数学都有一种敬畏。哥白尼等人坚持日心说一个重要的原因是在数学上日心说比地心说简单得多。伽利略认为宇宙的语言是数学。高斯认为数学是科学的皇后。维格纳认为数学有着不可思议的有效性。爱因斯坦认为纯数学使我们能够发现概念和联系这些概念的规律，这些概念和规律给了我们理解自然现象的钥匙。
数学家研究数学时的心理活动和背后的出发点也是很有意思的。笛卡儿创立解析几何与他的批判精神是分不开的。他说：“我决心离弃仅有抽象的几何，它指，仅为练习头脑设立问题的几何；这样做，是为了研究另一种几何，旨在自然现象的解释。”
数学的符号体系是数学的重要组成部分。经常出现记号与主要的理论进展分不开的情况。前面说到莱布尼茨在微积分中引入的记号是一个例子。更早之前的一个例子是代数。在16世纪以前，几乎无人考虑在代数领域系统使用符号以便使代数的思想和书写更有效表达，使得代数的发展缓慢。16世纪法国数学家韦达在这方面做出了突出贡献。他在精神上和意图上是人文主义者，希望自己是古代数学的保存者、发掘者和继承者，认为创新就是复古翻新。通过研读前人的工作，尤其是古希腊学者丢番图的著作，获得了使用字母的想法。他体会到一般二次方程
⊃2;
是一个类的表达式，从而区分了代数和算术：代数是关于一般类型和对象的形式运算的学问，算术是关于数的运算的学问。
17世纪30年代前发展的数学是初等数学，以后就是高等数学发展时期。推动数学发展的是问题，既有来自其他学科和人类生产生活的问题，也有来自数学内部自身发展产生的问题。在信息时代，数学发挥着日益重要的作用，发展也是更为迅速。
附注：本文写作过程中主要参考了如下文献：1.《中国大百科全书》第一版和第二版的概观条目“数学”；2.《古今数学思想》第1,2,3册，（美）莫里斯·克莱因著，上海科学技术出版社，2009；3.《苏联大百科全书》和《大英百科全书》网络版有关条目；4.本书作者的文章《基础数学的一些过去和现状》和《数学的意义》；等等。
原标题：《席南华院士：数学概述》