数学畅销书评《证明的故事》
原创 Katalin Bimbó zzllrr小乐
本文是加拿大阿尔伯塔大学教授Katalin Bimbó对《证明的故事 | 逻辑和数学史》一书的书评。
书名：The Story of Proof | Logic and the History of Mathematics
中文译名：证明的故事 | 从勾股定理到现代数学
中文版 By John Stillwell（约翰·史迪威） 人民邮电出版社, 2025, 共411页。
书作者简介
John Stillwell（约翰·史迪威）是旧金山大学数学名誉教授。他有许多著作包括《数学要素》（或译为《数学原本》）Elements of Mathematics和《逆向数学》Reverse Mathematics。
书评者简介
Katalin Bimbó是阿尔伯塔大学的哲学教授（参见其主页[11]）
书评内容
这本书最初标题是《数学如何运作》（How Mathematics Works）——正如我们从序言中所知。作者认为目前的标题不那么雄心勃勃。很难给这本非常独特的书一个简洁和描述性的标题，这篇评论的标题也没有准确地描述内容。证明对数学至关重要。然而，被接受为证明的东西在数学史上发生了变化。M.克莱因（M. Kline）[5]提到了著名数学家（例如西尔维斯特J. J. Sylvester）从错误假设中证明“定理”的例子。为了这本书，史迪威认为证明是一篇关于数学的论文或书中提出的，它被标记为“证明”，是一个正确的证明。例如，牛顿的幂级数逆方法在当时是一种启发式论证（heuristic argument），而无严格理由。我猜史迪威关于证明的观点会吸引许多读者，因为它在形式化的证明（逻辑学家会认为是严格的证明）和挥手的论证（可能足以说服外行）之间取得了平衡。
在详细介绍内容之前，澄清本书的内容不是什么可能会有所帮助。证明论（proof theory）的研究领域涉及形式化的证明，这些证明可以使用一种或另一种逻辑在一个或另一个证明系统中表达。这方面的一个示例问题是，切割规则（cut rule）在克林（S. C. Kleene）的一阶直觉逻辑的矢列演算（sequent calculus）方法中是否被接受。这本书不是关于证明理论的，尽管提到了一个形式系统，让人想起舒特（K. Schütte）的一阶经典逻辑矢列演算。史迪威的书不是数学史，而是历史细节与数学内容相辅相成。应该指出的是，任何想追随文本中涉及的历史的人都会在参考书目中找到大量参考文献。这本书的标题也提到了逻辑，以及数理逻辑的一个分支涉及形式化的数学理论。希尔伯特（D. Hilbert）把对形式化理论的某些性质（特别是一致性和可判定性）的研究称为元数学（metamathematics）。史迪威给出了哥德尔不完备性定理的概要，然而，使用符号逻辑工具研究形式化数学理论（或研究形式逻辑系统）并不是本书的主题。
为了概述这本书的内容是什么，我们可以说它描述了数学核心思想的发展及其联系。史迪威特别关注一种新的证明方法何时出现，以及它是由于理论中的概念压力而出现的，还是由于理论中的新发展而出现的。故事的线索贯穿于例子中，尽管并非所有的零碎证明都被标记和分类。它从处理无穷大所需的证明开始，以确保数学基础稳固并揭示著名定理的相对强度的证明结束。
这本书里有什么？
对数学的一个非常简单的看法，是说数学是对数字和形状的研究。当然，在21世纪，即使是高中生也可以举出既不是关于数字也不是关于形状的数学陈述或公式的例子，例如多项式函数导数的一般形式。但是，回顾古希腊思想家的工作，看到他们通过创建几何理论和证明关于数字的定理，将数学从实用知识提升为一门学科是合理的。毕达哥拉斯定理（即勾股定理）是本书的自然起点；它允许引入有理数和无理数、毕达哥拉斯三元组和欧几里得算法来求最大公约数（GCD）。史迪威将希腊人发明（演绎）证明背后的动机定位在“对无限的恐惧”中（或者说得不那么戏剧化，在于需要证明关于无穷大的陈述）。
欧几里得《几何原本》（Elements）的十个不证自明的陈述通常被翻译为“公设”（postulate）和“共同概念”（common notion）。这些公理涉及该主题的不同方面，列出它们对于希望遵循欧几里得命题4和5相当非正式的证明的读者很有帮助。可见公理可以让我们更容易理解为什么数学家试图从其余公理中推导出第五公设（P5）。欧几里得对有无穷多个素数的证明的介绍是一个很好的借口，可以引入归纳法作为证明技术，并提及诸如完美数（perfect number）、素数分解（prime factorization）、梅森素数（Mersenne prime）和几何级数（geometric series）等概念。
下一章跳到希尔伯特从1899年开始的几何公理化。史迪威并行给出了几何公理和全序域（complete ordered field）的公理化，从而描述了实数的两个范畴形式化（categorical formalization）。希尔伯特的几何公理化超越了欧几里得的几何学，不仅填补了几个空白（例如，帕施M. Pasch发现的那个帕施公理），而且通过扩展点的范围，例如，在一个平面中，从可构造点的集合到所有点⟨x,y⟩(x,y∈ℝ)。透视素描和绘画导致了对投影和例如帕普斯Pappus和德萨格Desargues定理的研究，——远远早于希尔伯特的公理系统。史迪威不仅陈述了后两个定理，而且还列出了射影平面(projective plane)的公理化。
公元前3世纪阿基米德给出了π值的惊人准确的近似值（以分数表示）。但是代数在公元9世纪真正起飞，然后，它是由求解三次方程，四次方程和五次方程的需求推动的。多项式的符号以前是不存在的，在16世纪的卡尔达诺（H. Cardano）时代甚至没有谈论虚数。史迪威引用牛顿的话来说明100年左右的变化，即变量计算（calculation with variables）已成为获得结果的公认方法。他继续陈述并证明分解定理。戴德金（R. Dedekind）的维数定理应用于古希腊难题（称为“立方倍积”doubling the cube）的数值公式，给出了不可能的证明。代数和几何之间的相互作用通过射影几何进一步说明。另一个不可能性证明表明没有八元射影空间（octonion projective space），这是从八元数上的乘法运算的非结合性（nonassociativity）得出的。
代数几何（Algebraic geometry）是16世纪和17世纪代数方法发展的延续，包括坐标系的引入。史迪威从圆锥截面（conic section）及其方程开始，他很快介绍了切线（tangent）、奇点（singularity）、多项式给出的曲线和非代数曲线（nonalgebraic curve）。他说明了断言偶尔会有特殊的命运：牛顿陈述了所谓的贝祖定理（Bézout’s theorem），该定理后来通过允许复坐标（complex coordinates）、计算交点（intersection）的多重性（即重数，multiplicity）以及将曲线放置在射影空间中得到证明。泰勒斯定理（Thales’s theorem）也被证明，但证明是在实向量空间（ real vector space）中，这是由格拉斯曼（H. Grassmann）在19世纪引入的。
大多数读者可能会熟悉第6章的内容，因为它讨论了微积分的起源。但有些人可能不知道调和级数（harmonic series）的发散性（divergence）是由奥雷姆（N. Oresme）在14世纪中叶证明的，或者一些数学家给出了π的无穷级数和无穷积的近似值，在1761年被兰伯特（J. H. Lambert）证明是π是无理的（irrational）。史迪威设法解释许多概念及其联系，从通过计算斜率（slope）、面积（area）和体积（volume）的二项式系数（binomial coefficient）到无穷小（infinitesimal）。后者需要小心处理，罗宾逊（A. Robinson）在1960年代证明无穷小可以一致地添加到实数中。
第7章从欧几里得的gcd算法、模算术（modular arithmetic）和毕达哥拉斯三元组（Pythagorean triples）开始，然后文字转向圆（circle）和参数方程（parametric equation）上的有理点。费马小定理和四次幂的费马大定理（即FLT费马最后定理）被证明。后者可以转化为关于多项式的证明，这反过来又导致曲线（curve）、椭圆积分（elliptic integral）和椭圆曲线（elliptic curve）的参数化（parameterization）。继续进行复数和代数整数可分性（divisibility）的主题，扩展了素数的概念。库默尔（E. Kummer）实现唯一素因数分解的决心导致了理想（ideal）的概念。后者是一组数字，它们可能被看作是与定义实数的戴德金分割（有理数域ℚ中的）有关。理想（即余理论cotheory）成为格论（lattice theory）[1]中非常有用的对象。
代数基本定理及其证明有一个发人深省的传奇故事。史迪威专门用了一小章来讨论这个定理;他给出了这个定理的几个版本，解释说早期的证明尝试（例如，高斯C. Gauss的）包含空白，填补空白产生了实数的定义。有了戴德金分割，我们得到了上确界定理（least upper bound theorem）和中值定理（intermediate value theorem）的快速证明。
术语“非欧几何”（non-Euclidean geometry）通常是指曾经试图从欧几里得的其他假设中推导出第五公设失败后出现的几何。史迪威已经明确表示，射影几何，至少在绘图手册和散射定理（scattered theorem）中，早于波尔约（J. Bolyai）和罗巴切夫斯基（N. Lobachevskiǐ）的工作。第9章专门讨论非欧几何，从球面几何的处理开始。这是一个在整个公理系统出现之前（由于天文学和航海的实际需要）制定理论（非欧几何）的零碎例子。球面具有恒定的正曲率，而欧几里得平面的曲率为零。为了获得具有恒定负曲率的物体（伪球面pseudosphere），引入了超越曲线（transcendental curve），即悬链线（catenary）和曳物线（tractrix）。
图1.
三叶草（Trefoil）和结10₁₂₃（有10个交点）。
下一章是关于拓扑学的，这可能会给人们带来非常不同的图像。结（来自纽结理论knot theory，见[4]）有一个可接近的一面，如图1中的彩图。但它们属于现代数学领域，它说明了各个领域是如何联系在一起的（双关语！）。史迪威讨论了赖德迈斯特移动（Reidemeister move，即同痕的三种初等变换）和一些结不变量，然后转到图论。
第11章回到实数的完备性，以及它如何促进极限（limit）和连续性（continuity）概念的发展。史迪威定义了连续性和一致连续性（uniform continuity）、收敛性（convergence）和一致收敛（uniform convergence），并给出了几个定理的证明，如海涅-博雷尔（Heine–Borel）、连续函数（continuous function）的黎曼可积性（Riemann integrability）和极值定理（extreme value theorem）。其中一些将在本书后面作为定理在二阶皮亚诺算术（second-order Peano arithmetic）的某些子系统中证明。
接下来的三章是一起的：首先，提出基础集合论，然后通过策梅洛-弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel Set Theory，ZF）的公理化重新审视公理化方法。最后，对选择公理（axiom of choice，AC）进行了较详细的讨论。AC在数学中经常被提及，这里描述了一些集合论等价物，如佐恩引理（Zorn’s lemma），良序原理（well-ordering principle），以及它的一些用途，如博尔扎诺-魏尔斯特拉斯定理（Bolzano–Weierstraß theorem），非勒贝格可测集（non-Lebesgue measurable set）的存在，以及豪斯多夫-巴拿赫-塔斯基“悖论”（Hausdorff–Banach–Tarski paradox）。最后，提到了康托尔（G. Cantor）的连续统假设（continuum hypothesis），该假设独立于ZFC（= ZF + AC），正如哥德尔（K. Gödel）和科恩（P. Cohen）所证明的那样。
最后两章快速介绍了谓词逻辑（predicate logic）和可计算性（computability），本书以算术和集合论的不完备性结束。谓词逻辑证明在这里是某些树（tree）；使用树的更广为人知的证明系统是分析图（analytic tableaux）的方法，R. M. Smullyan [6]是经典来源。计算有许多模型，从递归函数（recursive function）和组合逻辑（combinatory logic）到寄存器机（register machine）和斯科特模型（D. Scott model）。史迪威展示了图灵机（Turing machine）的一个版本。不完备性定理的详细证明相当冗长，例如G. Boolos和R. Jeffrey的说明[2]。史迪威将证明与希尔伯特的形式主义和布劳威尔的直觉主义一起勾勒出来，后者对可接受的数学证明有不同的描述。然后他转向逆向数学（reverse mathematics），其目标是描绘二阶算术的合理片段，并根据它们的证明强度将分析中的定理放入这些片段中。
图2.
一张地图的部分不完全和适当的完全4色着色。
总之，本书包含多个证明，而没有一个来自形式化的理论（在希尔伯特的意义上）。然而，史迪威强调了证明中的一些组件的名称。最突出的步骤是穷竭法（method of exhaustion，即按例推理，reasoning by cases）和（弱数学的weak mathematical）归纳法（induction）。一种经常使用但此处未标记的方法就是归谬法（reduction to absurdity即通过矛盾证明proof by contradiction）。一些特定于数学推理的步骤包括重命名变量（这与λ-演算λ-calculus中变量的重命名不同）和领域之间的转换（例如，用函数改写费马大定理）。此外，一些证明似乎使用类比推理（analogical reasoning，例如，古德斯坦定理Goodstein’s theorem的通常证明）。图表的大量使用表明图片对于某些证明至关重要。一个警示故事是肯普（A. Kempe）对四色定理（four-color theorem，4CT）的“证明”，其中“证明”和反例都是图解性的（diagrammatic）。图 2 显示了从 Soifer 图派生的肯普颜色交换算法的最小反例之一。
图3.
库尔特·哥德尔（Kurt Gödel，1906-1978）
可以说，证明的故事始于欧几里得时代。他的公理是不证自明的，因此演绎（deductive）方法为几何学提供了坚实的基础。随着数学的进步，偶尔就像溅射的发动机产生烟雾而不是扭矩（或者更平淡地说，提供错误理由支持的虚假主张），不仅需要新的概念，而且数学语言和证明技术也必须澄清。将数学理论形式化的动力在20世纪中叶萎靡不振，部分原因是哥德尔定理[3]。然而，在过去50年左右的时间里，证明的总体故事似乎有了新的发展。四色定理（4CT）的证明只是指向计算机使用的例子之一。史迪威用了一小节来介绍使用计算机来检查证明。也许，对证明助手、定理证明者和证明检查器的探索，可能会导致数学领域的新一轮严格化，应该是整本书的主题。
一本适合许多读者的书
这本书似乎是非常小心地制作的。虽然它没有大量引用在线资源，但有一些网址提到了有价值的资源，例如O. Byrne对欧几里得《几何原本》前六本书的彩色图画渲染的在线版本以及结的一个图集。
对于任何受过数学高等教育的人来说，这本书都是一本值得一读的书，他们想看看一些核心思想是如何发展的，以及它们演变背后的驱动力是什么。没有时间或耐心去理解证明中的每一个细节的读者可以跳过它而不会失去对所涉及的概念的理解。对于教师来说，这本书可能是一个方便的来源，可以为一门课程增添一些历史或对不同领域之间联系的看法。毫无疑问，任何在书中涉及研究领域的人都可能会感到不高兴，因为它没有涵盖任何研究专著或研究论文的详细程度的主题。（在阅读最后几章时我可以证实这种感觉）。我想专家们将能够克服这种看法，他们将享受并从对数学重要部分的更全面的观点中受益。
参考资料
[1] Garrett Birkhoff, Lattice theory, 3rd ed., American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. XXV, American Mathematical Society, Providence, R.I., 1967.
[2] George S. Boolos and Richard C. Jeffrey, Computability and logic, 3rd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 1989.
[3] Kurt Gödel. Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme I. In Solomon Feferman, editor, Collected Works, volume I, pages 144–195. Oxford University Press, New York, NY, 1986.
[4] Louis H. Kauffman, Formal knot theory, Mathematical Notes, vol. 30, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1983.
[5] Morris Kline, Mathematics: The loss of certainty, Oxford University Press, New York, 1980.
[6] Raymond M. Smullyan, First-order logic, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 43, Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1968.
[7] https://press.princeton.edu/books/hardcover/9780691234366/the-story-of-proof
[8] https://www.ams.org/journals/notices/202310/noti2793/noti2793.html
[9] https://doi.org/10.1090/noti2793
[10] https://mp.weixin.qq.com/s/RvVnyYALbHblELZ9_d2FLQ