什么是束sheaf（层）？

原创 Quanta Magazine zzllrr小乐

图源：Nan Cao / 量子杂志

译者注：sheaf（源自法语词faisceau，一捆、一束，现中文文献中一般译为“层”，疑为后人误译，离上面插图中所示的小麦束已相去甚远）是法国数学家 Jean Leray在战俘营监狱中创造的拓扑学概念。在本文中，作者Konstantin Kakaes引用了“花园”作为层的隐喻，并称这些隐喻式的“花园”已成为现代数学的中心对象。

作者：Konstantin Kakaes 量子杂志资深编辑 2024-7-19

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-7-21

1940年，法国数学家兼炮兵军官让·勒雷（Jean Leray，1906 - 1998）被德国人俘虏。他告诉抓捕者自己只是一名拓扑学家，是因为担心如果他们发现他真正的专业领域——流体动力学，他们就会强迫他为德国战争效力。在他被监禁的近五年时间里，勒雷通过研究拓扑学——这一研究可变形形状的数学分支，来维持这种诡计。他最终创造了现代数学中最具革命性的思想之一：“层”（sheaf，原意为捆、束）的概念。

德克萨斯大学奥斯汀分校的大卫·本-兹维（David Ben-Zvi）说，在亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck，1928 - 2014）在1950年代和60年代使勒雷的概念脱颖而出后，层在数学中扮演了“主角”之一，成为“现代代数几何中最基本的工具之一”。

正如一篇介绍性文章 https://arxiv.org/abs/2202.01379 所说，层可以被认为是建立在其他数学对象之上发展出的概念。“可以这样考虑它，数学对象是一块土地，而层就像土地上面的花园，”马克·阿格里奥斯（Mark Agrios）写道。

层之所以得名，是因为它们涉及将“茎”（stalk）附着在基础对象上。勒雷将它们命名为“faisceaux”（法语为“层”），因为这种安排让他想起了成捆收割后的小麦。正如花园可以种植在不同种类的土地上一样，层可以建在许多不同类型的数学对象之上，因此可以采取许多不同的形式。

即使是最简单的层也是相当复杂的数学实体。为了更好地理解它们，我们可以构建一个。以下是如何用直线制作简单的层。

将基础对象设为实数轴：

我们构建一个不是建立在单个点上，而是建在区间上的层。你可以通过无限多种方式将数轴分解为区间。下面显示了一个示例。

在每对匹配的括号之间有一个区间，该区间包括它们之间的所有点，但不包括端点。因此，区间(0,1)包含了所有大于0且小于1的数字。

层包含所有区间，而不仅仅是任何给定的一个区间。每个区间可以分配一个“分段”集合。在本示例中，分段是经过区间的所有可能的直线。

只举一个区间，如下所示。仅显示了其中的三个分段，因为不可能一次可视化所有的分段。

层包括了所有可能的区间和区间的并集上的所有分段。

这是一个令人眼花缭乱的混沌实体。它在数学上变得有趣，因为它隐藏着基础的简单性。在上图中，为不同区间选择分段发生冲突。直线在彼此的上方和下方通过，而不是重合。

数学家们有兴趣想了解当你从每个区间中选择一个分段，并要求不同的分段相互兼容，以便重叠区间一致时会发生什么。在这种限制下，一些非凡的事情发生了。

如果一个区间嵌套在另一个区间内，则直线必须重叠匹配。

从这个局部约束中，你会得到一个全局结果。你最终会得到符合嵌套规则的唯一可能选项：在整个数轴上延伸的直线，而不是许多小的直线。

这些称为全局分段。赋予层力量的一件事是，这种全局对象是从局部约束中出现的。

这是对实轴上的一堆直线或线性函数的游览。这是最简单的层之一。

你可以在实轴上创建大量的层。这类似于在同一块土地上的花园中种植不同的花卉。有一个由图像不跳跃的函数组成的层，有一个由图像没有尖角的函数组成的层，以及无限多其他类型的层。

但这仅仅是个开始。与其种植不同的花，不如转向不同的土地。想象一下，在一个圆而不是一条直线上建造一个层。这创造了一个看起来像无限高的圆柱体的结构。在该圆柱体上绘制的对象的结构取决于特定层的特定构造。

图源：Mark Belan / 量子杂志

到目前为止，我们考虑过的所有层都可以被认为是函数族。但是层可以变得更为（极其）复杂。

上图中的圆柱体可以被认为是来自一个无限高的矩形，你已经将其边粘在一起。但如果你在粘合矩形之前扭曲矩形的两端，如下图所示，你将创建一个无限宽的莫比乌斯带（Möbius strip）（这种无限宽的不可能画出来，所以我们将展示一个有限的莫比乌斯带）。在这条莫比乌斯带上，你仍可以绘制让人联想到图形的曲线。

在圆的任何一小块局部上，这条曲线看起来像一个函数的图像。但在全局范围内，它不是一个函数。这是因为由于扭曲，无法定义一致的全局坐标系。（即如果你绕着莫比乌斯带走，你的上、下概念最终会翻转，从而使你无法定义。）数学家称这些对象为“扭曲函数”（twisted function）。

虽然每个层都是一个庞大的对象集合，但你也可以考虑给定数学对象（ 实轴、圆或其他实体）上所有层的集合。这就像考虑可以在给定的土地上种植的所有可能的花园一样。这告诉你一些关于那片土地是什么样子的信息。有些地块是热带雨林，有些是沙漠。弄清楚哪些层是可能的，这为数学家提供了一种探索基础空间结构的方法，就像知道哪些植物生长在特定类型的土壤中可以为你提供有关该土壤的信息一样。

从格罗滕迪克开始，数学家们逐渐意识到层集合与函数集合有许多共同点，但复杂程度更高。你可以将层相加和相乘，甚至可以对其微积分。

在监狱里，勒雷打开了通往一个全新数学世界的大门。

参考资料

https://www.quantamagazine.org/what-are-sheaves-20240719/

https://www.newyorker.com/magazine/2022/05/16/the-mysterious-disappearance-of-a-revolutionary-mathematician

https://arxiv.org/abs/2202.01379

https://zhangdingxin.gitlab.io/math/2024-spring-pianquceng/pianqu.html

http://markagrios.net

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