失败如何让数学变得更强——译自Quanta Magazine量子杂志
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拓扑学家丹尼·卡莱加里 (Danny Calegari) 讨论了数学中无法避免的沮丧，以及如何从沮丧中学习。
图源：Kristen Norman / Quanta Magazine
作者：Jordana Cepelewicz 量子杂志资深作家 2024-5-22
译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-5-24
读数学论文有点像在一家不错的餐厅吃大餐。主菜可能味道鲜美，但它并没有讲述它的制作过程的完整故事。聪明的食谱最终尝起来很时髦，但不会出现在菜单上；未煮熟的菜肴（通常）不会提供给顾客。但构思和执行中的失误是该过程的重要组成部分。芝加哥大学拓扑学家丹尼·卡莱加里（Danny Calegari）希望数学家对厨房里发生的事情更加透明。
卡莱加里在墨尔本的一个数学家庭长大。他的父亲在当地一所技术学院教授微积分，母亲则教授统计学。他们的书架上摆满了教科书，他和他的弟弟弗兰克会浏览这些教科书玩。
但卡莱加里并不总是打算成为一名数学家。当他在墨尔本大学就读本科生时，他考虑成为一名作家，或者也许是一名认知科学家。他决定参加拓扑学课程，以更好地了解大脑工作原理的一些模型。“这真是令人震惊，”他说。“这堂课上，每句话都有些有趣。这就像世界上最伟大的乐高积木之类的东西，一切都以这种辉煌、意想不到、强大的方式连接在一起。”
他被迷住了。他决定主修数学，后来在加州大学伯克利分校获得博士学位，最终坚持拓扑学。（弗兰克跟随他来到伯克利，然后加入他在芝加哥的数学系，专攻数论。）
卡莱加里仍然是乔伊斯、狄更斯、纳博科夫、奥斯丁、冯内古特、洛里·摩尔、雷蒙德·格诺、安妮·卡森的狂热读者。他还时不时地写自己的短篇小说。但最重要的是，他对数学、低维拓扑和几何群论问题感兴趣，这些问题让他彻夜难眠。“一旦我遇到了拓扑学，这有点像被火车碾过，一切都改变了，”他说。
在最近一期的《美国数学会通讯》中 https://www.ams.org/journals/notices/202309/noti2782/noti2782.html，卡莱加里发表了一篇关于数学失败的重要性的文章。他写道，沮丧“既是危机，也是机遇。”
Quanta 与 Calegari 讨论了数学失败是什么样子，以及为什么它很重要。为了清晰起见，采访内容已经过精简和编辑。
卡莱加里喜欢在业余时间写短篇小说。他说，文学“让你了解作为他人的感受。”
图源：Kristen Norman / Quanta
Q：你为什么决定写一篇关于失败的文章？
这是我知道的事情，也是人们很少谈论的事情。所以我觉得我至少可以尝试诚实地讲述这种经历是什么样的，以及它有时如何有用。
数学太有竞争性了。大多数人都在努力获取非常有限的资源，因此没有人愿意表现出任何弱点。不承认自己正在挣扎，面临着巨大的社会压力。
沮丧每次都会带来伤害，但这并不总是坏事。
Q：你的文章提到你在高中时未能进入IMO国际数学奥林匹克代表队，以及你后来如何将其视为更深入学习数学的机会。从那以后你经历过怎样的失败？
承认你的确想要一些你没有得到的东西总是令人尴尬的。一份工作、一次会议的邀请、致谢、认可。
我主要的沮丧与我在“稳定换位子长度”（stable commutator length）领域所做的工作有关，该领域涉及所谓自由群中元素之间的关系。我觉得我证明了一些真正意想不到的定理，并发现了许多基本结构以及与其他数学领域（例如动力学）的联系。我甚至写了一本关于它的书。我认为这对于从事低维拓扑研究的人们来说会非常有趣，并且会激励他们立即开始研究相关问题。
卡莱加里说：“如果人们真的想象某件事是对的，并且他们已经证明了某些事，那么承认错误可能会非常困难。”
图源：Kristen Norman / Quanta
但没有人关心。世界上可能有一两个人在我的作品基础上进行了创作，但基本上不值一提。
所以我非常沮丧。我为此投入了五六年的时间。我停止了这件事，不是因为我已经穷尽了这个主题，也不是因为我认为没有什么有趣的事情可以做，而是因为一个人继续做却得不到任何反应很孤独。
但从中得到了一个很好的教训，那就是，我最终不再那么关心别人的想法，而是更多地被好奇心所驱动。如果你想研究数学，那么做数学本身就必须是一种回报，因为没有人关心，而且被认为重要的东西并不总是有意义。
Q：本着那个教训的精神，你有没有重返这项工作？
事实上，就在最近几个月。我希望能在这方面提出更精确的猜想。
Q：这是一种常见的经历吗？
是的。我认为 100% 的数学家认为没有人关心，甚至没有人知道他们最好的工作。即使有人证明了一些著名的猜想并得到了很多关注，真正阅读证明细节并充分欣赏所做的事情的人数也是微乎其微的。这是有道理的：学习一门不在你已经熟悉的领域的东西是非常困难的，而且如果你这样做了，回报也很少。所以大多数时候大多数人都不会这样做，这是完全合理的。他们为什么要这么做？
Q：不过，那是非常孤独的。
是的。我认为这就是当今人们合作更加普遍的原因之一——这种情况只是在过去几十年里才发生的。因为至少你的合著者关心论文中的内容并对你正在做的事情感兴趣。
“如果你想进入数学领域，”卡莱加里说，“做数学本身就必须是一种回报，因为没有人关心，而且被认为重要的东西并不总是有意义。”
图源：Kristen Norman / Quanta
实际上，这是一个非常积极的发展。当我还是一名研究生时，人们撰写多个作者的论文并不常见。现在一篇论文的作者少于三位的情况很少见。我认为这在数学中是一件非常非常好的事情。首先，协作可以减少论文的错误。
Q：所以这是失败带来富有成效的另一种方式。
是的。通过合作，特别是像Polymath项目这样的大规模公共合作，失败的证明尝试已经成为公共记录的一部分。通过阅读这些失败的案例，数学家可以更好地了解当前的前沿。人们尝试过一些方法，但其中一些没有成功，这是有记录的。失败的实验，这些来之不易的教训，是显而易见的。
例如，通常情况下，在某个领域工作了很长时间的人会从经验中了解到某种方法有某些缺点。进入该领域的年轻人必须通过与其他数学家一起出去玩并参加会议来学习这些东西。但协作努力提供了一种将这些东西推向社区的新方法。
Q：数学家从失败的证明中吸取教训的例子是什么？
比尔·瑟斯顿（Bill Thurston，1946 - 2012）是一位数学家，他颠覆了三维拓扑学的主题。其中一部分是他的几何化猜想，他给出了几何结构如何与三维空间相关联的模型。
在开始提出该猜想的早期版本时，他多次认为他已经证明某些结构是不可能的。但另一位数学家表明这些结构可能存在。所以他错了。
从本科生起，卡莱加里就对拓扑着迷。当他第一次遇到这个话题时，“有点像被火车碾过”。
图源：Kristen Norman / Quanta
瑟斯顿说，他所有的错误尝试都让他对三维空间的几何和拓扑有了更深入的了解。这就是最终几何化猜想所依赖的脚手架。对他的纲领中的失败点以及他的证明失败原因的分析，指引他做出这个强有力的、重要的猜想。
Q：它现在是该领域最大的成果之一，对吧？
是的。困难的部分是你必须在某个时候转变立场并说：“好吧，也许我试图证明的并不是对的。”我认为这种情况在数学中经常发生，但人们非常不愿意改变方向。
G.H.哈代（G.H. Hardy，1877 - 1947）曾经被问到拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887 - 1920）作为一名数学家的杰出之处是什么。他说的一件事是拉马努金具有非常快地提出假设的非凡能力，但他也非常快地修改他的假设。他很灵活：如果有些事情不起作用，他能够调整并修正他的思维方式。数学家并不总是欣赏这种力量。
大多数时候，至少根据我的经验，他们有点太快地接受了猜想是真是假的传统智慧，去附和其他人所说的一切。
Q：这也体现了这样一个想法：首先做出猜想很重要，即使它们是错误的。
千真万确。还有一个相关的问题，那就是有时论文中存在无法修复的深层错误。如果人们真的想象某件事是对的并且他们已经证明了某些事，那么承认错误可能会非常困难。
“失望每次都会让人受伤，”卡莱加里说，“但这并不总是坏事。”
图源：Kristen Norman / Quanta
不幸的是，这与人们倾向于研究传统智慧版本的猜想的方式相吻合。因为如果每个人都同意某个猜想可能是正确的，并且你提出了它的证明，那么人们当然会在某种程度上提出批评，但如果它符合他们的期望，他们就会不那么谨慎。可能需要很长时间才能发现错误。
希尔伯特问题之一，一个关于微分方程定义的曲线族的问题被认为已经解决。亨利·杜拉克（Henri Dulac，1870 - 1955） 在1923年证明了这个问题，直到去世时他仍然相信自己已经解决了这个问题。60年后，尤利吉·伊利亚申科（Yulij Ilyashenko，1943 -）发现了一个反例。如今，这一领域的工作变得更加活跃。
这种事情可能会发生在数学中。甚至可能存在非常著名的问题，人们声称每个人都接受一个证明，但很长一段时间后人们才发现它不是对的。同样的心理压力使人们难以应对失败，同时也使人们难以仔细、批判性地评估他们为获得正确性而个人投入巨大的论证。
Q：您谈到了协作努力如何使失败变得更加可见。还有其他方法可以实现这一目标吗？
另一种方法是通过教学。有时，当你教学时，你会倾向于将材料呈现为：这是路径，让我们沿着它稳步前进。但我觉得引入其他方向以及可能令人感到困惑的主题的微妙方面是有用的。有时你需要打断流程，因为一开始一切看起来都很自然，你想说，让我们停下来，这实际上并不像看起来那么容易，这个怎么样，那个怎么样？
Q：这与您对阅读和写作的兴趣有何关系？
总是很难知道别人脑子里在想什么。传达一个人内心世界的特殊亲密体验并不容易。
这在数学中很重要，因为我们思考数学对象的方式与纸页、黑板或类似物体上出现的方式非常不同。即使你有一个你认为非常清晰和直接的想法，你仍然需要将它传达给那些有着截然不同的思考方式的人。
优秀写作的一个伟大的、非常有用的和有价值的功能是，它给你一种了解别人是什么样子的方式。你可以看到人们的头脑。这是文学最伟大的礼物之一：你会发现其他人也很奇怪，而不仅仅是你。
参考资料
https://www.quantamagazine.org/how-failure-has-made-mathematics-stronger-20240522/
https://www.ams.org/journals/notices/202309/noti2782/noti2782.html