条条大路源于中国——对数学史的理论探讨

原创 Karine Chemla zzllrr小乐

本文提出了数学史中一些我感兴趣的理论问题。每一个问题都来源于我在中文数学资料中的研究。然而，它们都在其他数学文献中产生了分支，而我的工作也超越了中文来源。

作者：Karine Chemla 2021-5-1

中文名：林力娜；音译名：卡琳·切姆拉

法国国家科学研究中心（CNRS）的高级研究员，在CNRS和巴黎大学SPHERE实验室，从历史人类学的角度关注数学及其与各种实践文化之间的关系。

本文译自欧洲数学会杂志 EMS Magazine

Karine Chemla, All roads come from China – For a theoretical approach to the history of mathematics. Eur. Math. Soc. Mag. 119 (2021), pp. 23–30

DOI 10.4171/MAG/5

译者：zzllrr小乐《小乐数学科普》

zzllrr小乐公众号 2024-3-12

在外人看来，我似乎是在研究古代和中世纪的中国数学史。在某种程度上，这是真的。然而，这也是部分错误的。我这样讲（也许是出乎意料的），其实并非简单地说，我也更广泛地对射影几何（projective geometry）和对偶（duality）的历史，以及以阿拉伯语、希腊语、希伯来语和梵语记载的中世纪数学史，进行了研究并发表。我想表达传递的是更深层的东西。研究中国数学史本身就很有意义。然而，在我看来，它变得更富有意义，是因为这使我们面对我们不习惯思考数学的来源，而这些来源提出了有趣的新问题，以及解决旧问题的新方法。换句话说，中文资料，事实上就像任何数学文献一样，如果处理得当，会提供滋养我们研究数学史的理论方法的来源。这最终是我的主要目标。在下文中，我将通过讨论我在研究过程中被引导去解决的一些理论问题，来说明这在实践中是如何对我起作用的。

1 科学史、文本史

图1.李冶（1192–1279），《测圆海镜》，右左分别是一个多项式（−4x+5120）和一个等式（16x⊃2;−328960x+26214400=0），使用了位值表示法来书写。

我第一次接触中文数学资料是在1981年，当时我正在中国科学院自然科学史研究所研学，立刻遇到一些让我至今仍在思考的惊人现象。

我听从鲁汶汉学家乌尔里希·里布雷希特（Ulrich Libbrecht，1928 - 2017）的建议，开始阅读李冶（1192 - 1279）于1248年出版的《测圆海镜》（Measuring the Circle on the Sea-mirror）一书，这本书后来成为我论文的主题。对此，我得益于指导我在北京学习的负责人梅荣照（1935 - 2015，当时他已经着手研究李冶的书了）的指导。我也很幸运地得到了一群学者的建议，他们是我在中国期间被任命来教我的，他们是：杜石然（1929 -）、郭书春（1941 -）、何绍庚（1939 -）和严敦杰（1917 - 1988）。

李冶的书以一张图开篇，全书都是围绕这张图展开的（见图2，以及[7]的分析）。这张图之后列了一组大约700个公式，表明其部分之间的关系，然后是170个问题，这些问题基本上都具有相同结构。它们给出了图中的两部分，并通常要求确定圆的直径。因此，这些问题的重点不是答案，而是解题方法，因为答案都系统性地相同。李冶首先选择一个未知数（不总是直径本身，而是一个与直径很相关的量），称之为“天元”（the celestial origin）。然后，他运用使用位值表示法书写的多项式，以及一种依赖于数据和未知数的几何推理，来建立一个代数方程，其“根”即为所求的未知数（见图1）。实际上，当时在中国，方程被认为是只有一个根的。总之，这就是直到那时人们对这本书的理解：这是最早的尝试代数方法的书，称为“天元术”。

然而，李冶给出的解法立刻打动了我。每一个解都有相同的结构，由两部分组成。每一部分都以不同的方式描述了如何获得相同的解题方程。第一部分称为“法”（方法，method），描述了一系列算法，这些算法依赖于数据来计算所需方程的连续系数。在这一部分中，与第二部分相比，没有数值，称为“草”（程序细节，detail of the procedure），从数据和选择的未知数开始，提出了两种推理方法来获得相同的几何量和与之相关的数值多项式。沿着的相关多项式计算的推理，系统地遵循相同的模式：每一步都包括一个运算，将先前确定的量值和相关多项式作为其运算数，然后以另一个量值（推理部分）和与之相关的多项式（计算部分）的形式产生结果。在这类程序的最后，通过相互减去对应于相同量值的两个多项式，得到了数值方程。我很想知道，为什么作者要两次系统性地告诉读者，用两种不同的方式，如何得到同一个方程？这是我的第一个问题，紧接着是第二个问题：理所当然地，“方法”和“程序细节”导致完全相同的方程，“方法”中给出的算法是如何获得的？

对于这170个问题，我做了一个实验。我计算的多项式序列得出最终方程的“程序细节”是符号形，而不像李冶的书中提出的是数值形。虽然文本中没有包含任何此类计算，但我确定，在每种情况下，我的计算都突出了“方法”和“程序细节”的算法之间缺失的环节。诚然，“方法”中的每个算法实际上描述了运算序列，在从“程序细节”导出的符号计算中，这些运算序列已被应用于连续多项式的系数，以形成最终方程[2]的相应系数。简而言之，利用书中没有的数学知识和实践，以及在书完稿后很久才出现的数学知识和实践（即代数符号和代数计算），我可以强调每个解决方案的两个部分之间的相关性。这种关联是如此密切，以至于“方法”不可能独立于“程序细节”而获得。很明显，系统性的关联产生了一个线索，表明“方法”中的描述来自李冶所做的工作，但没有记录在他的书中。所以问题就变成了：这是什么样的数学工作？

也许，在未来，有人会在《测圆海镜》或其他地方找到线索，肯定地回答这个问题。然而，就我们今天所知，书中似乎没有任何东西确切地表明，对于每一个问题，李冶是如何根据“程序细节”部分，产生解决方案的“方法”部分。我作为一个观察者，在建立“方法”和“程序细节”之间的相互关系时，我不能毫不费力地把这些知识归因于他。然而，我的实验揭示了李冶撰写《测圆海镜》所必然拥有的知识，以及他必须采取的实践，尽管我无法准确描述它们，因为他自己没有阐明，甚至间接地提起。作为数学史学家，我们不能满足于对这本书的肤浅阅读，不能满足于提供一种历史性的处理，从而忽视研究《测圆海镜》使我们能够感知的这个新维度。我们致力于解释我们所观察到的行动者所拥有的知识和他们所付诸的实践，即使这些不是谈论的对象。

这个例子说明了为什么历史学家为了完全完成他们的任务，必须寻找线索，并尽其所能解释这些线索。当然，人们可能会倾向于将这个案例视为例外和异常；然而，自从我成为一名历史学家以来，我的经验使我确信恰恰相反，这不仅仅是因为在李冶的书中出现了其他类似的现象，而且实际上这种现象更为广泛。事实上，早在1974年，伊莎贝拉·巴什马科娃（Isabella Bashmakova，1921 - 2005）在与伊戈尔·沙法列维奇（Igor Shafarevich，1923 - 2017）的讨论中，就曾经指出过丢番图（Diophantus，200 - 284）的《算术》四本书中存在类似的情况[1]。十年后，罗什迪·拉希德（Roshdi Rashed，1936 -）全面发展了这种方法，并在他出版的另外四本书中观察到了同样的现象[17]。这些历史学家利用现代代数几何的洞察力，分析了丢番图在《算术》中解决丢番图问题的程序。这种阅读，通过一种丢番图肯定没有拥有的数学知识，揭示了一些与以前完全相反的解释，根据这种解释，丢番图在解决问题上的方法基本上是不可预测的，即使在你阅读了他几十个其他问题的解决方案之后。实际上，使用代数几何分析《算术》表明，丢番图的解决方案系统地利用了相同的方法。就像李冶的情况一样，我们不能将现代历史学家用来解读《算术》的工具归功于丢番图。然而，这个工具揭示了丢番图拥有的知识和他所采用的做法，而他没有将这些记录下来。我们如何根据这些线索接近他的知识和实践？这是这些现象提出的理论问题[3]。

在李冶和丢番图的例子中，某种类型的数学阅读提供的线索揭示了这些作者在解决具体问题的方法中所运用的知识和实践的各个方面，然而，他们并没有把这些写下来。事实上，正如安妮·罗巴迪（Anne Robadey）在研究亨利·庞加莱（Henri Poincaré）的著作中所阐述的那样，线索对历史学家的作用更大。例如，Robadey[18]从庞加莱大量的以枚举方式写的出版物的评论开始，她着手分析这些文字现象可以教给我们什么有关庞加莱开展他的数学工作的方法。罗巴迪[18]确立了这些文本线索揭示了一种智力实践，庞加莱在不同的背景下反复采用，不仅在他的著作中留下了痕迹，而且在他公式化的数学成果中也留下了痕迹。事实上，面对某些数学情况，庞加莱经常分析它们，首先关注最经常出现的情况（在庞加莱提出定义和评估的后一种表达的意义上），然后在第二个最常见的情况下，第三个情况下，以此类推，直到达到他认为他可以忽略的现象，因为它们“几乎从未”发生（根据同一类型的评估）。枚举恰恰体现了庞加莱遵循的这种反复出现的智力程序。此外，它们与庞加莱的定理相吻合，庞加莱在定理中断言，除了一组可以忽略的情况之外，某些事是正确的。在本例中，文本现象，数学实践和数学成果似乎紧密交织在一起。作为历史学家，我们如何能够找到线索，使我们能够深入分析，以及我们如何能够在历史研究中使用它们，正是我研究的两个主要问题，尤其是在我于1995年发起的“科学史，文本史”项目的背景下，从那时起，我就一直在与一群同事合作（见[5]）。

我所总结的罗巴迪的成果自然会把我们引向另一个有趣的问题：为什么数学的实践者并不总是“显式地”（explicitly，但正如我们很想说的那样，我在下文解释为什么这个术语是不充分的）提出他们的知识和实践，以至于历史学家需要依靠线索来揭示这些知识和实践的一部分？庞加莱的枚举这一案例表明了这个问题的第一个答案。如果他的出版物提供了我所提及的线索，理由似乎是庞加莱对他当前页所进行的分析。因此，这一页保留了他的数学探索过程的痕迹。这句话解释了为什么写作给了我们他推导数学的方式的线索。庞加莱选择使用枚举的文本结构，因为它提供了一个支持，他可以依靠它来展开他的推理。

我们可以在史前和对偶历史中观察到类似的现象，我已经开始与Serge Pahaut（塞尔日·帕豪特）[13]合作。如果我们认为对偶性在数学中的出现是在行动者们第一次显式地提到这一现象的时候，那么我们就会把它的起源定在19世纪20年代。然而，Pahaut和我注意到，从1750年代开始，一些发表球面三角学论文的数学家选择了新的符号，并形成了一些文本类型，两者都适合强调他们观察到的现象，而没有将其主题化。例如，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1753年使用新的符号发表了一本关于球面三角学的回忆录，这本回忆录因以下原因而引人注目：它的文本没有任何评论，显示命题断言的语料库，以及证明这些命题成立的语料库中的对称性。今天，我们将这种对称性与影响球面三角学的对偶性联系起来。欧拉并没有对这一现象进行讨论。对他来说，就像在接下来的几十年里以同样的方式写球面三角学的几位数学家一样，这是一个有待探索的现象，而且，他们不是以一种话语的方式来写它，而是用他们作品的文本特征来表达他们所观察到的东西：他们把它交给读者，让他们从文本的结构中读出来。我们是否应该仅仅因为这种表达方式没有用主语、动词和补语来表达，就把它称为“非显式的”（not explicit）呢？我不这么认为。这将是对“显式”（explicit）含义的相当狭义的解释。

事实上，我们可以确定，对于这些数学家来说，以这种方式写作是一种真诚的选择。理由如下。在欧拉在1781年提出主题的第二本回忆录中，Pahaut和我能够表明，他在一个证明中犯了一个错误，然后在对偶证明中复制了这个错误。这条线索表明欧拉依靠符号来产生对偶定理和对偶证明，仅仅是重写相应的定理和证明，而实际上没有重新计算。换句话说，欧拉知道一个定理和一个证明可以自动地产生另一个定理和另一个证明，但他选择通过他的阐述的结构来系统性地提出并阐明它们之间的对称性。这个说法使我们能够建立另一个要点：适用于调查有关对偶现象的符号构成了一个欧拉创造的工具，他使用这个工具并产生显示出对称性的文本。更一般地说，文本并不总是像现代阅读所期望的那样，仅仅是对知识的论述。这句话对于草稿来说似乎是显而易见的，但欧拉对对偶性的探究和庞加莱的枚举表明，它也适用于打算出版的文本。我们看到数学家塑造符号和文本资源，并使用它们开展实践，以便探索新现象。因此，这些文本资源和实践与这些行动者追求的问题和他们进行的研究密切相关。我认为这些文本创新是他们活动的一个关键方面。

这一观察结果突出了为什么文本可以给予线索，使我们了解产生它们的数学工作，以及数学家通过使用它们而获得的知识。在欧拉的例子中，他不止一次地遇到了由对偶性引起的现象，并经常使用类似的文本资源。有趣的是，当处理相同的主题时，后来的数学家使用的符号和文本资源与欧拉使用的相同或相似，这表明符号和文本资源与数学理论和概念一样，是数学工作的产物，可以被其他人进一步拾取和使用[4]。知识和文本资源的联合生产（在此种表达的最广泛意义上）同样是我最感兴趣的理论问题之一。

如果我们沿着这条思路，我们会看到，有时为了处理特定的主题，会引入新的文本资源类型（比如以对称的方式书写命题和证明），而后来的读者中的一些人不仅会以这种新的方式掌握要阅读的内容，而且还会继续重用新的文本资源，沿着同样的思路进行进一步的研究。然而，并不是所有的读者都会注意到以这种方式阅读的内容。例如，数学史学家没有强调这些文本的结构所表达的内容，至少在约瑟夫·迭斯·热尔岗（Joseph Diez Gergonne，1771 - 1859）于1826年显式引入双列来显示由对偶性引出的命题和证明之间的对称性之前所写的作品中是这样的[14]。我的目的不是责备这些历史学家，而是从这一观察中得出一个结论。显然，我们的阅读方式并不相同，特别是因为我们并不都习惯以同样的方式阅读数学著作。阅读（阅读数学文本也不例外）有一段历史，它本身值得在各种不同的背景下进行研究，以便更好地解释我们阅读的内容来源以并不显而易见的方式传达的东西。后一个问题，以及本节所揭示的更普遍的问题，基本上是我所进行的每一项研究的核心。

2《九章算术》：算法、证明和认识论价值

图2.《测圆海镜》（1248）同文馆版（1876年）中的图解

在我研究《测圆海镜》的时候，我觉得这本书深深植根于中国古代的一部数学经典著作，李冶明确提到了这部著作，即公元1世纪的经典著作《九章算术》（The Nine Chapters on Mathematical Procedures，以下简称《九章》）。事实上，中国在14世纪以前撰写的大多数数学著作都提到了这部著作及其流传下来的评注，即刘徽于公元263年完成的《九章算术注》，以及李淳风监督的一个团队于公元656年发表的注疏（对刘徽所作注解的注解）。早在1981年，郭书春就建议我们合作将《九章》及其注释翻译成法文，我觉得这个项目很有意义，毫不犹豫地接受了。我们在1983年达成一致意见，除了翻译之外，我们的合著书还将提供这些文本的一个新的评论版本，以及我们自己的注释，而没有意识到这些任务将需要耗费我们二十多年才能完成[12]。

这个项目很困难，不仅因为中文文本很难以及建立评论版本很有挑战性，而且因为这项努力提出了许多理论问题，我觉得我们需要解决这些问题，才能圆满地完成我们的任务。我将说明其中的一些问题，同时概述我在研究《九章》时遵循的一些研究方向，以及这项工作启发我的更多理论项目。

《九章》是由246个数学问题及解决这些问题的相应程序组成。“问题与程序”的形式导致一些历史学家将其作为练习本或官僚手册来阅读，他们只需要拿起指示说明并盲目遵循。在我看来，这些源自对古代文本的现代阅读诠释，无法解释为什么这本书被认为是几个世纪以来的经典。因此，我们需要找到一种阅读《九章》的方法，这种方法不那么不合时宜，而且我们可以提出论据。

我的工作首先涉及程序。1972年，Donald Knuth（中文名：高德纳；音译名：唐纳德·克努特，1938 -，其对算法的研究无需赘述）发表了一篇论文。该论文对古代数学史产生了重大影响[16]。的确，他的论文提出了一种完全新的方法来研究公元前两千年初的楔形文字文本，通过阅读它们本来的样子，即作为运算列表或“算法”，而不是将它们重写为现代代数公式（这是以前的做法）。由于与吴文俊的讨论，我在1981年意识到了这一突破，吴文俊是一位拓扑学家，他在文革期间转向自动定理证明和中国数学史[15]。吴立即采用了高德纳阅读古代中国数学文本中的程序的视角，因为这些文本也是以运算列表的形式写成的。对他来说，最重要的是过去中国文本对提供解决问题的关键手段的算法的强调。一个典型的例子是秦九韶在其公元1247年著作中描述的算法，用于计算中国剩余定理（Chinese remainder theorem）已知存在解的问题的实际解[19]。我开始对《九章》中的程序所证实的运算列表的工作更感兴趣。

这项工作在《九章》中给出的平方根和立方根提取程序中得到了有力的说明，这些程序文本中运用了高德纳在编写算法时识别出的三种基本运算：变量的赋值、迭代和条件判断。在高德纳提出将阅读运算列表作为算法之前，历史学家知道这些文本指的是哪些计算，但我认为他们无法理解《九章》中的这些文本实际上是如何指向这些计算的。由得益于最近在计算机上实现算法方面的数学工作发展，数学家们塑造了新的文本类型来编写程序，这些文本资源使我们有了新的洞察，了解了古代程序化文本可能是如何撰写的，以及我们应该如何解读它们[10]。我们再次看到，在不同的语境中，行动者是如何运用不同类型的文本资源来进行数学工作和写作的，就《九章》的程序而言，如果我们不首先问自己这些文本应该如何阅读，数学工作如何发挥作用，我们就无法完全解释它们的文本，也无法理解产生它们所涉及的工作。例如，在对根提取算法的研究中，本研究揭示了两个关键点。

首先，作者（们）在编写基于平方根（立方根亦如此）提取运算的列表时使用条件判断和迭代的方法，这突显了在此背景下进行运算工作的重要特点。为了解释这一点，让我澄清一下，执行依赖于十进制位值系统，并且根是逐位确定的。在此基础上，第一个数字和第一个数字之后的每个数字所用的运算一览表的编排方式使其能够合并为一个单一的文本。不进入细节（参见我2004年的书[12]），让我简单地强调一下，合并依赖于变量赋值。它还依赖于这样一个事实，即形式地处理运算，而不考虑运算的意图。更具体地说，强调根提取的结束部分和准备下一个数字的计算所共有的运算（当已经处理了单元的数字时），如果有的话，即使使用这个运算的目的在两个背景不同，以及将这个运算的语句放置在关于条件判断和迭代的运算列表中，在允许作者编写适用于所有情况的单一算法方面发挥了关键作用。在《九章》及其评注中，我们发现了更普遍的许多迹象，表明作者形式化地研究了运算列表，而没有考虑到在各自的背景下带来这些运算的各种理由。因此，我们经常看到作者努力统一执行不同任务的运算列表，但可以使其在形式上相同。这突出了一种特定于运算工作的代数形式，我对此进行了一些研究，但还有很多工作要做。

后一点使我想到第二个关键点。刚才描述的关于算法的那种搜索，即搜索那种功效可以尽可能广泛扩展的运算列表，表明了行动者对一般性的重视。给出平方（或立方）根提取的单一算法的事实指向相同的方向。该算法的文本是通用的，因为对于任何数字，在条件判断和迭代的指导下，它内部的适当循环将产生确定我们想要的平方根所需的运算列表。更重要的是，文本增加了这一点：如果提取没有完成时，达到了单位的数字，结果应作为“数字的一边”，即，二次无理数。如果我们从古希腊作者对无理性的讨论的角度来考虑这个建议，我们将完全错过这一点--我将在下面回到这一点。因此，在解释平方根算法的文本时，关键是更好地理解它如何反映在这背景下行动者对一般性认识论价值的重视。

事实上，一般性被证明是这些参与者更广泛的关键价值[9]。例如，《九章》中的注释者阅读问题的方式表明，对他们来说，一个特定的问题应该被解释为一个范式（paradigm）。这似乎是显而易见的：我们童年时代的两火车相互通过的问题并不只代表该问题自身，而是表达了更普遍的东西。然而，观察一下评论家们在经典著作中阅读问题的方式，就会发现他们的意思更具体。在一个关键的案例中，当放在一个问题之后的程序正确地解决了它，但缺乏一般性时，公元三世纪的评论家刘徽表示不太满意。在指出《九章》的程序是基于使用问题的两个奇异特征之后，他提出了第一个程序，修复了原始程序解决最一般问题的失败性，区分了两种情况，然后是一个完全通用和统一的程序。换句话说，对刘徽来说，数学问题的不抽象并不影响他对它的一遍性的期待。这句话是受这篇中国文献的启发而提出的，它提出了一个重要的理论问题：这是在邀请我们在反思数学时将一般性和抽象性的价值分离开来，看看仅仅关注一般性会显示出什么。在19世纪第1个年代出现在法国的射影几何是我来解决这个问题的一个理想案例。确实，这种新的几何学在Carnot（1753 - 1823，Lazare Nicolas Marguerite 拉扎尔·尼古拉·马格里特·卡诺）、Poncelet（1788 - 1867，Jean-Victor Poncelet 让-维克托·彭赛列）、Chasles（1793 - 1880，Michel Floréal Chasles 米歇尔·弗洛雷亚尔·沙勒）等人的手中形成，基于对由分析方法和几何方法解决几何问题所带来的不同类型的普遍性进行比较思考。更广泛地说，这一研究方向对一群科学历史学家和科学哲学家来说是卓有成效的，正如我们对这一问题的集体反思所说明的那样[11]。

我对《九章》问题的评论诠释了我更为系统地使用的方法。事实上，如果我们需要恢复古代行动者如何使用和阅读他们进行数学活动的文本，或者换句话说，如果我们需要发展一部阅读和处理古代数学文本的历史，观察古代读者如何进行似乎是一种具有巨大潜力的方法。这也正是《九章》早期注释如此珍贵的原因之一。例如，如果我们继续依靠它们来更好地理解古代行动者如何以及为什么在他们的数学实践中使用问题，我们会发现一些非常意想不到的东西，这明确排除了将《九章》解释为练习本或官僚手册的可能性。

当我们转向关于《九章》注释的另一个关键点时，他们实践的这一面也出现了，即他们系统地提出了经典著作中提出的算法的正确性的证明。对于数学证明的历史来说，这是一个相当重要的事实，我很快就会回到这一点。这里重要的是，注释者进行证明的方式将数学问题发挥作用。换句话说，在他们的实践中，数学问题似乎是用来进行证明的工具，而不仅仅是等待解决的命题[6]。如果我们认为同样的事实适用于《九章》的作者，这就要求对这部作品进行全新的解释。阅读我所建议的问题和程序，可能有助于我们更好地理解《九章》是如何在这么多个世纪里被认为是一部经典著作的。更重要的是，《九章》与这些评论一起流传下来的事实也可能在一定程度上赋予了这本书在读者眼中的价值。这一说法把我们带回到刘徽以及与李淳风一起工作的团队形成的证明。

与我们在欧几里得的《几何原本》（Elements）和阿基米德的著作中所读到的相反，这些证明的目的是建立程序的正确性。因此，观察它们为我们提供了思考证明史上迄今几乎完全被忽视的另一个分支的原始材料，更广泛地说，是思考数学中证明练习的各个维度[8]。在此，至关重要的是，评注者使用理论概念来提及举证行为的关键方面。

他们专门从一个术语开始，即“意”（meaning/intention）指某项运算的意思，而这个意思是与在使用该运算的文意中对该运算的结果的解释相对应的。通常，对于一个运算，这是一个问题的上下文使实践者能够明确的意思。推而广之，“意”也指这类意义的序列，并最终指产生这一序列的推理。一般来说，这种类型的推理包括明确算法的连续步骤的“意思”，从而表明为什么它的最终结果符合预期。有趣的是，我们在这里发现了李冶在他的“程序细节”中阐述的推理类型的回声，我们在本文开头提到过。唯一的区别在于：在李冶的例子中，不是产生一个意思和一个数字，而是每个运算产生一个意思和一个多项式。然而，我们看到，可能有一些推理的传统，中国的著作可以证明，但还没有被研究。

《九章》注释者在论证中使用的第二个术语，我称之为“义”，指的是程序的另一种“含义”。它指定了一个基本程序，该程序是必须确定其正确性的程序的基础。作为正确性证明的一部分，这个基本过程强调了所考虑的算法所遵循的策略。与此同时，对它的识别将这个算法与遵循相同形式策略的其他算法联系起来，即使使用相同运算的原因可能会有所不同，这取决于上下文。因此，评论家对这种“含义”的兴趣似乎与《九章》中所载的算法也证实的关于运算的形式化工作有关。他们的证明的这个焦点实际上更广泛地与一个研究计划有关，我们有证据证明这个研究计划发生在第一和第十三世纪之间，并且这个研究计划的目的是识别所有其他算法都源自的最少数量的算法[9]。

最后一组术语，评论家使用他们的证明涉及到我所谓的“在算法背景下的代数证明”。这种证明包括建立一个运算列表，该列表从与所考虑的算法相同的数据开始，并产生所需的结果。然后，评论者将被确立为正确的算法作为基础，并对其运算列表进行运算，以将其作为运算列表转换为正确性有待确立的算法。换句话说，不是重写等式，就像我们在代数证明中所做的那样，这种类型的证明重写了算法。应用于运算列表的元运算包括交换彼此跟随的乘法和除法，以及抵消乘法和除法逆。它们还包括反转已知正确的算法。这里的要点是，评论者将这些元运算的正确性与除法和平方根提取给出精确结果的事实联系起来，特别是通过引入分数和二次无理数。因此，它们将所使用的数字集合和应用于运算列表的元运算相互关联。此外，在这里，我们再次看到，这些“在一个算法的背景下的代数证明”也涉及运算列表的形式化工作。

以上一切告诉我们关于代数证明的历史，关于这部分历史我们仍缺乏一个恰当的记述吗？它又告诉我们关于代数的历史以及运算在数学历史中所扮演的角色吗？这些问题都留在我的研究计划中。

致谢

我很高兴地感谢Fernando Manuel Pestana da Costa邀请我写本文，感谢Leila Schneps的反馈，这极大地改善了我的文章。

参考资料

[0] https://euromathsoc.org/magazine/articles/5

[1] I. G. Bašmakova, Diophant und diophantische Gleichungen. Translated from the Russian 1972 original by L. Boll, Birkhäuser, Basel-Stuttgart (1974)

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[3] K. Chemla, What is the content of this book? A plea for developing history of science and history of text conjointly. Philosophy and the History of Science: A Taiwanese Journal4, 1–46 (1995) [Republished in [5]]

[4] K. Chemla, Euler’s Work in spherical trigonometry: Contributions and applications. In Euler. Opera Omnia. Commentationes physicae ad theoriam caloris, electricitatis et magnetismi pertinentes. Appendicem addidit Karine Chemla, edited by P. Radelet-de Grave and D. Speiser, CXXV–CLXXXVII, Birkhäuser, Basel (2004)

[5] K. Chemla (ed.), History of science, history of text. Boston Studies in the Philosophy of Science 238, Springer, Dordrecht (2004)

[6] K. Chemla, On mathematical problems as historically determined artifacts: reflections inspired by sources from ancient China. Historia Math.36, 213–246 (2009)

[7] K. Chemla, Une figure peut en cacher une autre. Reconstituer une pratique des figures géométriques dans la Chine du XIIIe siècle. Images des mathématiques, images.math.cnrs.fr/Une-figure-peut-en-cacher-une.html (2011)

[8] K. Chemla (ed.), The history of mathematical proof in ancient traditions. Cambridge University Press, Cambridge (2012)

[9] K. Chemla, The Motley Practices of generality in various epistemological cultures, The Hans Rausing lecture 2017. Salvia Småskrifter, Uppsala, www.idehist.uu.se/digitalAssets/775/c_775182-l_1-k_2019motley-practices-of-generality-final-versionrausinglecture2017originalcorrected.pdf (2019)

[10] K. Chemla, From reading rules to reading algorithms. Textual anachronisms in the history of mathematics and their effects on interpretation. In Anachronisms in the history of mathematics, edited by N. Guicciardini, Cambridge University Press, Cambridge (to appear)

[11] K. Chemla, R. Chorlay and D. Rabouin (eds.), The Oxford handbook of generality in mathematics and the sciences, Oxford Univ. Press, Oxford (2016)

[12] K. Chemla and S. Guo, Les neuf chapitres. Dunod, Paris (2004)

[13] K. Chemla and S. Pahaut, Préhistoires de la dualité: explorations algébriques en trigonométrie sphérique (1753–1825). In Sciences à l’époque de la Révolution Française, edited by R. Rashed, Lib. Sci. Tech. Albert Blanchard, Paris, 151–201 (1988)

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[15] J. Hudeček, Reviving ancient Chinese mathematics. Needham Research Institute Studies, Routledge/Taylor & Francis Group, London (2014)

[16] D. E. Knuth, Ancient Babylonian algorithms. Comm. ACM15, 671–677 (1972)

[17] R. Rashed, Diophante. Les Arithmétiques, Tome 3: Livre IV. Tome 4: Livre V–VII. Les Belles Lettres, Paris (1984)

[18] A. Robadey, A work on the degree of generality revealed in the organization of enumerations: Poincaré’s classification of singular points of differential equations. In Texts, textual acts and the history of science, edited by K. Chemla and J. Virbel, Springer, Dordrecht, 385–419 (2015)

[19] W.-T. Wu, Recent studies of the history of Chinese mathematics. In Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Berkeley, Calif., 1986), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1657–1667 (1987)

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