科研反哺教学的固体物理学课程教学改革与实践
原创 陈明星 欧阳方平 物理与工程
摘要
固体物理学被认为是本科物理学专业最难的课程之一，也是与凝聚态物理科研前沿联系最为密切的课程之一。近年来，凝聚态物理学发展迅猛，诞生了二维材料、拓扑绝缘体等一系列新的研究方向。本文总结了笔者结合自身经历将科学研究进展融入固体物理课程教学的若干尝试，包括引入晶体结构可视化软件，转角石墨烯结构的构建，石墨烯能带结构和能态密度，自旋轨道耦合与 Rashba 效应以及热电效应和热电输运系数等，有效促进了学生对固体物理基本概念和计算方法的理解。
关键词凝聚态物理；固体物理；科研反哺教学
AbstractSolid state physics is one of hardest undergraduate courses in physics, which is also closely connected with research frontier of condensed matter physics. There have been many advances in this field over the past years, e.g., two-dimensional materials and topological insulators．Here, we summarize attempts of integrating some advances in condensed matter physics into course teaching of solid state physics, including visualization tools of crystal structures, structural construction of twisted graphene bilayers, band structure and density of states of graphene, Rashba effect and thermoelectric effects. These attempts turn out to be effective in helping students understand basic concepts and computational methods in solid state physics.
Key wordscondensed matter physics; solid state physics; integrating research and teaching
2018年10月，教育部发布《关于加快建设高水平本科教育，全面提高人才培养能力的意见》文件，要求本科教育坚持学生中心，全面发展的原则，既注重“教得好”，更注重“学得好”，激发学生学习兴趣和潜能，激励学生爱国、励志、求真、力行，增强学生的社会责任感、创新精神和实践能力。因此，教师应围绕激发学生学习兴趣和潜能进行教学改革，以“两性一度”（高阶性、创新性、挑战度）为标准进行课程建设，培养拔尖创新人才，服务国家的“双一流”建设。
凝聚态物理是随固体物理学不断发展而形成的物理学分支，也是当前物理学领域最为庞大的分支。因此，固体物理学是从事凝聚态物理科学研究的基础，是物理学专业本科核心课程。由于固体物理概念抽象，学科综合度较高，学生在学习该课程的过程中普感困难，容易出现畏学心理。
近年来，凝聚态物理学发展迅速，诞生了二维材料、铁基超导体、拓扑绝缘体以及双层转角体系等一系列新研究方向[1-7]。及时将凝聚态物理前沿科研进展融入固体物理课程教学，不仅使学生了解学科前沿研究动态，增长知识见识，培养学生的学习兴趣，又能增强学生运用所学知识解决问题的能力，即实践能力，有利于培养学生的创新精神和创新能力。目前，已经有一些关于如何将凝聚态物理前沿研究进展转化为教学资源的研究。其中，二维材料石墨烯已经被同行广泛用于固体物理课程教学[8-12]。近几年，笔者也结合自身研究经历积极将前沿研究进展融入到固体物理学课程教学，学生普遍表现出浓厚的兴趣，教学效果和反响较好。现将若干尝试总结如下。
1 晶体结构
1.1 科研软件作为教学工具
晶体结构是固体物理教学的重要内容。了解晶体结构是进一步研究晶体电子结构和物理性质的前提。因此固体物理教学大纲要求学生掌握描述晶体结构的数学方法。由于晶体结构较为抽象，不少学生在理解格点、晶面以及晶体点群等概念时存在困难。引入晶体结构可视化软件作为教学工具，有利于学生理解和掌握与晶体结构相关的概念。VESTA 是一款免费的晶体结构可视化软件，其操作简单，安装方便，已被凝聚态物理领域的科研人员广泛用于其科研之中。笔者在晶体结构相关的课程教学中借助 VESTA 演示晶体结构，并教授学生使用该软件研究晶体的结构性质，取得了良好的效果。图1给出了用 VESTA 显示的 BaTiO3 钙钛矿结构图。
除了晶体结构可视化之外，VESTA 还可以用来模拟X射线衍射实验（XRD），帮助学生理解消光现象[13]。图2给出了 VESTA 模拟的硅（金刚石结构）XRD 的结果。从中可以看出消光规律：即，只有当 h,k,l 全为偶数且 h+k+l=4n 或 h,k,l 全为奇数时，(hkl) 晶面的衍射强度不为零，与理论结果一致，也与https://physicsopenlab.org/提供的实验结果一致（http://physicsopenlab.org/2018/01/28/silicon-germanium-crystal-structure/）。此外，可以引进科学软件 Xcrysden 辅助布里渊区的教学，演示晶体的第一布里渊区及高对称点。
1.2 石墨烯及其双层转角结构石墨烯的发现掀起了二维材料的研究热潮。由于其结构简单，能带结构和电子性质特殊，且能够很好地与固体物理相关知识点融合，已经被同行广泛用于固体物理课程教学[8-12]。石墨烯具有六角蜂窝状结构，为复式格子。学习石墨的结构性质有助于学生理解格点与原子的区别、倒格矢的计算以及第一布里渊区的作图等。图3给出了单层石墨烯的结构图。
此外，目前受到人们广泛关注的双层转角石墨烯也可以作为教学资源，向学生展示如何构造双层转角石墨烯的结构，有利于学生掌握描述晶体结构的数学方法[14]。为了从石墨烯原胞构造转角石墨烯，需引入原胞到超胞的变换矩阵 M其中，Ai 和 ai 分别为超胞和原胞的基矢。然后利用晶体的周期性，将超胞中的原子坐标用超胞的基矢表示出来
其中，（n1+xα,n2+yα）为超胞中的原子用原胞基矢表示时的坐标
（Xα,Yα）为同一原子用超胞的基矢表示时的坐标
图4是学生通过上述方式构造并用 VESTA 可视化的3.89°双层转角石墨烯的结构图。
2 能带理论2.1 石墨烯与紧束缚近似
紧束缚近似下石墨烯能带的计算是固体物理教学的经典例子，已经有相关文献进行了探讨。其能带结构如图5所示。
在只考虑pz轨道的情况下，学生可以很容易解析求解得到能带的色散关系其中
a0 为晶格常数，t 为最近邻 pz 轨道之间的跃迁参数。进一步将 F(k) 在
附近做级数展开，可得到在 K（K′）附近能带的线性特征
除此之外，石墨烯还可以在能态密度的教学中作为例子。基于上述色散关系和能态密度公式，可求得在 K（K′）附近电子能态密度正比于 E，即
2.2 自旋轨道耦合与 Rashba 效应
固体中自旋轨道耦合诱导的新奇量子效应和新物态是近二十年凝聚态物理的前沿研究课题。比如，拓扑绝缘体作为一种新物态，体内是有带隙的绝缘体，但在其带隙中存在具有拓扑保护的无带隙的表面态。将其引入固体物理课程教学，可以加深学生对能带理论的理解。此外，在表面结构导致中心反演对称性破缺的情况下，自旋轨道耦合诱导电子能带发生自旋劈裂的 Rashba 效应，为人们实现电场调控电子自旋提供可能，是自旋场效应晶体管的基础[15]。其有效哈密顿量具有如下形式
考虑二维近自由电子气的 Rashba 劈裂，则总哈密顿量为
引导学生将哈密顿量对角化，容易得到其能量本征值其能带示意图如图6所示。
3 Boltzmann 输运方程与热电效应热电效应主要包括 Seebeck 效应和 Pertier 效应，分别由Thomas Seebeck 和 Jean-Charles Pertier 在1821年和1834年发现。因此，关于热电效应的研究已经200多年。严格来说，算不上凝聚态物理前沿。然而，近年来人们将半经典 Boltzmann 输运方程与第一性原理电子结构计算相结合用于计算固体的电导率、电子热导率、Seebeck 系数等热电输运性质，大大推动了热电材料的研究。因此，目前热电材料的研究正热火朝天，有必要在固体物理课程教学中适时予以讲授。当前的固体物理学教材均对电导率的计算予以介绍，然而鲜有涉及其他的输运系数。Seebeck 系数和电子热导率也同样可以由Boltzmann输运方程得到，比如Seebeck系数的形式为
其中
v(k) 为能带电子速度，f0 为费米狄拉克函数。上式的求和遍及第一布里渊区内所有k点和能带。式（13）在形式上与电导率公式形式相近。因此，热电效应及热电输运性质的计算很容易融入Boltzmann 输运方程的教学，具体内容可参考 J.M.Ziman 或者阎守胜先生的教材[16,17]。4 结语
本文总结了笔者结合自身经历将若干科学研究进展转化为教学资源，融入固体物理学课程教学的尝试。比如，在晶体结构的教学中引入可视化软件和当前的研究热点转角石墨烯。在能带理论的教学中将紧束缚近似方法应用于石墨烯的能带计算，探讨 K 点附近特殊线性能带的能态密度特征。此外，还挖掘了易于本科生掌握的 Rashba 效应和热电效应，有效促进了学生对晶体中的自旋轨道耦合效应和半经典 Boltzmann 输运方程的理解。
参考文献
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[2] KAMIHARA Y, WATANABE T, HIRANO M, et al. Iron-based layered superconductor La[O1-xFx]FeAs (x=0.05~0.12) with Tc=26K[J]. J.Am.Chem.Soc., 2008, 130(11): 3296-3297.
[3] KANE C L, MELE E J. Z2 Topological order and the quantum spin Hall effect[J]. Phys.Rev.Lett., 2005, 95(14): 146802.
基金项目: 教育部物理类专业教学指导委员会固体物理研究课题（JZW-21-GT-10），湖南省普通高等学校教学改革研究项目（HNJG-2022-0539，HNJG-2021-0015），湖南省研究生教学平台项目（HNJPSF202207）。
通讯作者: 陈明星，男，湖南师范大学教授，主要从事固体物理教学和计算凝聚态物理研究工作，mxchen@hunnu.edu.cn；欧阳方平，男，南大学教授，主要从事电磁学、固体物理教学和纳米物理与二维材料领域的研究工作，oyfp@csu.edu.cn。
引文格式: 陈明星，欧阳方平. 科研反哺教学的固体物理课程教学改革与实践[J]. 物理与工程，2023，33（3）：10-13,20.
Cite this article: CHEN M X, OuYANG F P. Reform and exploration of integrating research into the teaching of solid state physics[J]. Physics and Engineering, 2023， 33（3）：10-13,20. (in Chinese)
END
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原标题：《科研反哺教学的固体物理学课程教学改革与实践》