利用智能手机磁传感器研究磁阻尼摆运动
原创 王锦辉 赵西梅 等 物理与工程
摘 要
基于 Phyphox 手机 App，将圆柱形钕铁硼磁铁构成的单摆放在黄铜或铝板表面不同距离摆动，利用智能手机磁传感器研究磁阻尼摆运动。结果表明，相同距离下，黄铜和铝板阻尼系数基本与电导率成正比。对于铝板，磁阻尼摆离开板距离从 50mm 减小到 18mm 时，阻尼系数从1.139×10-2 s-1 增加到 1.114×10-1 s-1，随距离的变化可以用指数函数来拟合。当距离减小到 2.5mm 时，观察到临界阻尼现象。当磁阻尼摆离开铝板表面距离为 18mm，铝板厚度从 1.001mm 增加到 5.615mm 时，磁阻尼系数从 9.378×10-2 s-1 增加到 1.967×10-1 s-1。实验结果与基于磁偶极子的理论模型基本一致。本文所搭建的磁阻尼摆实验装置结构简单，研究内容丰富，特别是能定量地研究磁阻尼现象，可以作为居家物理实验开设。
关键词 Phyphox；智能手机；磁阻尼摆；阻尼系数；磁偶极子
Abstract The magnetic sensor in the smartphone was used to study the magnetic damping pendulum based on the Phyphox app. The cylindrical NdFeB magnetic pendulum moves at different distances above aluminum plates or brass plates. The results show that the damping coefficient is basically proportional to the conductivity of the material at the same distance. For aluminum plates, when the distance between the pendulum and the surface of the plate is reduced from 50mm to 18mm, the damping coefficient increases from 1.139 × 10-2/s to 1.114×10-1/s, and the change with distance can be fitted by an exponential function. When the distance is reduced to 2.5mm, the critical damping state can be observed. As the distance between the magnet and surface of aluminum plates is 18mm, the damping coefficient increases from 9.378×10-2/s to 1.967×10-1/s with increasing the thickness of plates from 1.001mm to 5.615mm. The experimental results are basically consistent with the magnetic dipole model. The experimental device is simple in structure and rich in content, especially, can be used as a home-based physical experiment to study the phenomenon of electromagnetic damping quantitatively.
当磁铁在金属表面移动时，在该金属内产生感应电动势，由于金属的电阻很小，因而即使感应电动势不很大，也能引起涡流。按照楞次定律，涡电流的磁场作用于磁铁磁场，阻碍了磁铁的运动，亦即所谓的电磁阻尼。其阻尼力与磁铁的磁感应强度、相对运动速度等物理量有关。利用电磁阻尼效应制作的装置广泛用于各种制动系统和隔振系统[1,2]，飞船及空间站的交会对接[3]等领域。在大学物理实验教学中，磁阻尼摆通常用来演示电磁阻尼现象[4]。但定量研究电磁阻尼效应的报导很少。
在新工科建设背景下，面向一流创新人才培养的大学物理实验课程亟待相应变革。在学生手机、平板等终端广泛使用的背景下，将实验教学和手机等终端进行融合是一种改革方向，特别是可以用来在疫情期间设计居家实验，开展线上实验教学。我们设计了单摆居家实验。利用手机磁传感器研究了磁单摆，除了能比较准确地测量重力加速度之外，还发现只有当摆角小于 1°时，磁单摆才可认为是作简谐运动，当摆角大于 1°时必须用大角度单摆公式来描述磁感应强度随时间的变化规律[5]。
在本文中，我们在钕铁硼磁铁单摆边上放上铝板或黄铜板，构建如图 1 所示的磁阻尼摆。利用手机三轴磁传感器（电子罗盘）测量磁感应强度随时间的变化，进而计算阻尼系数。定量研究金属板种类及磁铁离铝板不同距离下对阻尼系数的影响。
1 原理简述如图 1 所示，将细线一端悬于一个支点上，另一端固定一个轴向磁化的圆柱形永磁铁作为摆，摆线长为 L，质量不计。磁铁在非磁性金属板表面摆动。在平衡位置的磁铁正下方 K 点为手机磁传感器，距离为 h。当摆角为 θ 时，磁铁离开 K 点距离为 r。当磁铁离开 K 点距离足够远时，可以将磁铁当成磁偶极子。P 为磁偶极距。当磁铁静止时，P 沿 y 或 y′ 方向，即 N 极正对金属板表面。当磁铁在金属板表面移动时，由于磁阻尼的作向，P 偏离 y′ 方向角度为 φ。
磁偶极子在 K 点产生的磁场为
这里 μ0 为真空磁导率。其中
可推导出
这里 α，θ，r 满足关系将式(1)中的 α 和 r 用 θ 表示，并且在 θ = 0 处进行泰勒展开，保留到二阶，则
可见 Bx 和 By 取决于磁阻尼力引起的磁铁偏转角度。当摆运动速度较小时，磁阻尼力与速度成正比[6]。则根据受力分析可推导出单摆运动方程其中，
为阻尼力，b 为系数。令阻尼系数
，固有频率
，θ 很小时，式(4)可简化为
实验表明磁铁作摆动的同时，还绕摆线转动，两种运动同步。磁铁作类似扭摆的转动，可设 θ = kφ，k 为系数，则式(5)变为
由式(3)可知 φ 很小时，Bx 正比于 φ，则式(6)可变成
此为二阶常系数微分方程。初始条件
，
，则[7]
1）欠阻尼情况（β < ω0）
式(7)解为
其中，
为磁铁偏离平衡位置最大时的 x 方向磁感应强度。
式(8)和式(10)表明摆动的幅度呈现指数式减小，周期随阻尼系数增加而增大。2）临界阻尼情况（β = ω0）
式(7)解为
Bx 不随时间振荡，随时间增加快速减小直到 0。
3）过阻尼情况（β > ω0）
当 β > ω0 时，式(7)解为
根据初始条件
当时，式(12)中第一项占主导，且式(13)中
则式(12)变为
式(15)表明在阻尼很大时，Bx 以指数式的方式迅速减小。
2 实验过程
如图 1 所示，将细线拴在圆柱形钕铁硼磁铁的圆柱面中间，磁铁磁极垂直于金属板。圆柱形磁铁直径 11.775mm，高 10.287mm。细线另一头固定在钉在墙上的钢钉上，细线长度 L 为 120.0cm。手机短边和金属板平行，放于磁铁的下方 12mm 处。在手机上打开 Phyphox 手机 APP[8]，用磁力计测量磁感应强度。平移手机位置，使得磁阻尼摆平衡时，x 轴磁感应强度接近 0，此时手机磁传感器位于磁铁处于平衡位置时的正下方。当磁阻尼摆沿手机短边方向（x 方向）摆动时，可明显观察到磁感应强度随时间周期性变化。将磁阻尼摆沿 x 方向偏离平衡位置距离为 1cm 左右再释放，保证摆角小于 1°。本实验中所用的矩形黄铜板和铝板长宽一致，分别为 30cm 和 6cm。黄铜板厚度为 3.020mm。铝板厚度分别为 5.615、3.964、3.075、2.170、1.372、1.001mm。所有实验均在无风的环境中进行。
3 实验结果与分析
3.1 不同材质金属板对阻尼的影响
图 2 显示当磁铁磁极离开铝板或黄铜板表面距离 d 为 18mm 时，Bx 随时间变化。铝板和黄铜板厚度分别为 3.075mm 和 3.020mm。由于磁阻尼和空气阻尼影响，单摆摆动角度越来越小。对于铝板和黄铜板摆动持续时间分别为 40 秒和 80 秒左右。图中灰线为用欠阻尼式(8)对实验数据进行拟合的结果。Adj.R-Square 系数分别为 0.9420 和 0.9964。拟合得到的铝板和黄铜板阻尼系数 β 分别为 1.210×10-1 s-1 和 4.437×10-2 s-1。铝板阻尼系数是黄铜板的 2.73 倍。未放金属板时，空气阻尼系数为 1.686×10-2 s-1，比铝板和黄铜板均小得多。因此 d 为 18mm 情况下，磁阻尼占主导。铝板和黄铜板的电导率分别为 3.448×107S/m和 1.538×107S/m。电导率之比约为 2.24 倍，与阻尼系数之比接近。研究表明磁阻尼系数与电导率成正比[9]，因此相同 d 下和相同板厚度情况下，铝板对磁阻尼摆阻尼效果更明显。
3.2 磁铁距铝板不同距离 d 对阻尼的影响从图 3 中可以看出随着 d 从 50mm 减少到 18mm，磁阻尼摆在厚度为 2.170mm 铝板表面摆动，β 迅速增加。随着 d 的减小，磁铁在铝板处的磁感应强度迅速增加，铝板中产生更大的涡流，导致阻尼系数迅速增加。研究表明固定有磁铁的滑块在导轨上运动时，磁阻尼力与磁感应强度平方成正比[10-12]。根据式(1)，铝板处的磁感应强度与 d -3 成比，则磁阻尼系数应与 d -6 成正比。将实验测量值利用幂函数拟合，得到形如 1.885d -5.782 的结果，图 3 中用灰色虚线表示。Adj. R-Square 系数为 0.9339。可以看出当 d 较大时，实验测量值与幂函数偏离较大。这是因为磁阻尼所贡献的部分随 d 增加而减小。从图 3 中亦可看出当 d 超过 30mm 后，总的阻尼系数已与空气阻尼系数（用灰色●符号表示）接近。
我们发现如果将实验测量值用形如 659.0e-0.4929d 的指数函数来拟合，如图 3 中灰色曲线所示。Adj.R-Square 系数为 0.9997。拟合结果更好，原因还有待进一步研究。当 d 为 5mm 时，如图 4 所示，当磁铁偏离平衡位置在箭头对应的时刻释放后，磁阻尼摆只振荡了几次，在很短时间便趋于 0，此时已不能用式(8)来拟合。当 d 为 2.5mm 时，从图 5 中可以看出磁阻尼摆已无振荡。用式(11)和式(15)分别进行拟合。Adj.R-Square 系数分别为 0.9903 和 0.9790。图 5 中的插图为 87 秒到 88 秒之间的局部放大图，可以看出利用临界阻尼公式对实验数据进行拟合，效果更好。利用临界阻尼拟合可得 β 为 3.249/s。取上海地区 g = 9.794m/s2，则根据摆长，可求出固有频率 ω0 = 2.857/s。β 与 ω0 相对误差为 12%。由于继续减少 d，会使得磁铁和金属板发生接触，因此过阻尼的情况未能观察到。
3.3 不同铝板厚度对阻尼的影响磁阻尼摆距铝板表面距离 18mm 保持不变时，改变铝板厚度 δ。β 随 δ 变化关系如图 6 所示。Cadwell 在研究磁铁沿铝质空气导轨表面滑动时，认为磁阻尼力与导轨厚度成正比[13]。图 6 中直线即为线性拟合结果。相关系数为 0.8998。这表明随着铝板厚度增加，磁阻尼效应更明显。但由于铝板中不同位置的磁感应强度不同，因此线性拟合的结果离实验测量值还是有比较大的误差。
4 结语基于 Phyphox APP，利用智能手机可以定量地测量在铝板和黄铜板表面磁阻尼摆运动时的阻尼系数。板的电导率及厚度越大，阻尼系数也越大。随着磁阻尼摆接近铝板表面，阻尼系数迅速按指数方式增加。当距离小于 18mm 时，空气阻尼系数对总的阻尼系数贡献变得很小。当距离小于 2.5mm 时，观察到了临界阻尼现象。此外，基于磁偶极子模型，推导出关于磁感应强度随时间的变化关系，能合理地解释实验结果。
本文中所用的实验装置非常简单。磁铁可以用多个废旧耳机磁铁叠加而成，铝板或铜板可以用铝制或铜制脸盆的平整底部代替。但要得到比较好的实验结果还是需要花大量时间去探究实验细节。比如如何去确定手机磁传感器的位置、如何消除磁阻尼摆的椭圆运动等。因此，本实验可以作为一个内容丰富、具有综合设计性的居家实验来开设。
参考文献
[1]SODANO H A, BAE J S, INMAN D J, et al. Concept and model of eddy current damper for vibration suppression of a beam[J]. Journal of Sound and Vibration, 2005, 288(4): 1177-1196.
[2]SODANO H A, INMAN D J, BELVIN W K, et al. Development of a new passive-active magnetic damper for vibration suppression[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2006, 128(3): 318-327. (in Chinese)
[3]王有林, 刘景林. 电磁阻尼器设计研究[J]. 西北工业大学学报, 2006, 24(3): 358-362.
WANG Y L, LIU J L. Designing electromagnetic damper used in space rendezvous[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2006, 24(3): 358-362. (in Chinese)
[4]高玉梅, 谭朝阳, 刘萍, 等. 基于自制涡流阻尼摆的演示实验探究[J]. 大学物理实验, 2016, 29(5): 82-85.
GAO Y M, TAN Z Y, LIU P, et al. Explorations of the demonstrating experiment based on the eddy current damping pendulum[J]. Physical Experiment of College, 2016, 29(5): 82-85. (in Chinese)
[5]王锦辉, 孙存英, 周红, 等. 利用智能手机磁传感器研究单摆运动[J]. 大学物理, 2021, 40(3): 33-37.
WANG J H, SUN C Y, ZHOU H, et al. Analysis of the simple pendulum with smartphone mangetic sensor[J]. College Physics, 2021, 40(3): 33-37. (in Chinese)
[6]VIDAURRE A, RIERA J, MONSORIU J A, et al. Testing theoretical models of magnetic damping using an air track[J]. Eur.J.Phys. 2008, 29: 335-343.
[7]PILI U B. Modeling damped oscillations of a simple pendulum due to magnetic braking[J]. Physics Education 2020, 55: 035025-5.
[8]STAACKS S, H TZ S, HEINKE H, et al. Advanced tools for smartphonebased experiments: phyphox[J]. Physics Education, 2018, 53: 045009-6.
[9]HEALD M A. Magnetic braking: Improved theory[J]. American Journal of Physics, 1988, 56(6): 521-522.
[10]姚合宝, 贺庆丽. 气垫导轨上阻尼振动实验的 磁阻尼分析及其改进[J]. 物理实验, 1987, 7(4): 148-149.
YAO H B, HE Q L. Magnetic damping analysis and improvement of damping vibration using an airtrack[J]. Physics Experimentation, 1987, 7(4): 148-149. (in Chinese)
[11]谢晓, 王祝盈, 顾萍萍, 等. 气垫导轨上的磁阻尼效应实验[J]. 物理实验, 2005, 25(11): 45-47.
XIE X, WANG Z Y, GU P P, et al. Magnetic damping effect on an air tracker[J]. Physics Experimentation, 2005, 25(11): 45-47. (in Chinese)
[12]时雯, 程敏熙, 纪煦. 用智能手机在气垫导轨上测量磁阻尼系数[J]. 大学物理实验, 2018, 31(5): 21-24.
SHI W, CHENG M X, JI X. Using smartphone to test the magnetic damping coefficient on the air track[J]. Physical Experiment of College, 2018, 31(5): 21-24. (in Chinese)
[13]CADWELL L H. Magnetic damping: Analysis of an eddy current brake using an airtrack[J]. American Journal of Physics. 1996, 64(7): 917-923.
基金项目：上海交通大学决策咨询课题——实验技术专项（JCZXSJB2020-027）；教育部产学合作协同育人项目（202102227013）。
作者简介：王锦辉，男，上海交通大学副教授，大学物理实验教学，jhuiwang@sjtu.edu.cn。
引文格式: 王锦辉, 赵西梅, 孙存英, 等. 利用智能手机磁传感器研究磁阻尼摆运动[J]. 物理与工程, 2022, 32(4): 145-149, 182.
Cite this article: WANG J H, ZHAO X M, SUN C Y, et al. Analyzing magnetic damping pendulum with smartphone magnetic sensor[J]. Physics and Engineering, 2022, 32(4): 145-149, 182. (in Chinese)
END
更多精彩文章请点击下面“蓝字”标题查看：对麦克斯韦方程组拓展的评论王青教授：深入理解“拓展的麦克斯韦方程组”——2.0版王青教授：理解王中林院士“拓展的麦克斯韦方程组”“碰瓷”麦克斯韦：伽利略协变和洛伦兹协变电磁场论趣谈热点：运动介质洛伦兹协变电磁理论2021年《物理与工程》优秀论文、优秀审稿专家、优秀青年学者名单王青教授：源自苏格拉底的问题驱动式教育——在互动中共同学习和成长读后感：教育中的现实和远方王青教授：昨晚（6月9日），清华电动力学期末考试朱邦芬院士：“减负”误区及我国科学教育面临的挑战《物理与工程》2022年第3期目录乐永康：新冠肺炎疫情防控下美国物理实验教学及中美情况对比顾牡：对于重新制定的《非物理类理工学科大学物理课程教学基本要求》的认识和体会朱邦芬院士：从基础科学班到清华学堂物理班朱邦芬院士：对培养一流拔尖创新人才的思考李学潜教授：物理是一种文化李学潜教授：如何帮助物理系学生迈过从高三到大一这个坎穆良柱：物理课程思政教育的核心是科学认知能力培养穆良柱：什么是物理及物理文化？穆良柱：什么是ETA物理认知模型穆良柱：什么是ETA物理教学法吴国祯教授：我的国外研究生经历印象——应清华大学物理系“基科班20年·学堂班10年纪念活动”而写
陈佳洱，赵凯华，王殖东：面向21世纪，急待重建我国的工科物理教育王亚愚教授：清华物理系本科人才培养理念与实践葛惟昆教授：关于中外人才培养的几点思考安宇教授：为什么传统的课堂讲授模式需要改变安宇教授：其实教学就是积累的过程刘玉鑫教授：关于本科生物理基础课程教学和教材编著的一些思考沈乾若：重创理科教育的美加课程改革Henderson C：美国研究基金支持下的物理教育研究及其对高等物理教育的影响《物理与工程》期刊是专注于物理教育教学研究的学术期刊，是中国科技核心期刊，1981年创刊，欢迎踊跃投稿，期刊投审稿采编平台：
http://gkwl.cbpt.cnki.net
欢迎关注
《物理与工程》微信公众号
原标题：《利用智能手机磁传感器研究磁阻尼摆运动》