什么是代数数论？
原创 张和持 返朴
从费马大定理开始，一副关于整数的画卷徐徐展开，这就是代数数论。300余年过去，我们仍望不到尽头，反而看到了更宽广的世界。
撰文 | 张和持
费马的神奇发现
数论是一门研究整数的学科，但其所用到的工具却遍布整个数学世界：你可以把整数
看作一个环，或者看作实数
或复数
的子集，也可以看作
进数
的子集……每一次转换视角，往往带来的都是一个崭新的世界。可以说，整数就是数学中的冰山一角，而今天我们要讲的代数数论，正是其背后的一座冰山。
图1 费马
代数数论的诞生要追溯到 费马（Pierre de Fermat，1607-1665），他被认为是近代数论的奠基人。作为一个从未发表过关于数论著作的数论学家，费马关于数论的工作得以流传下来很大一部分归功于他在 丢番图（Diophantus of Alexandria） 的《算术》（Arithmetica）一书中的评注。如果直接去看这48条评注，你可能会觉得它们都是一些孤立的命题，而费马当时所用到的论述也并没有超出初等数学的范畴——毕竟“群环域”都是19世纪的产物。那为什么这还是叫作“代数”数论呢？
我们来看一看其中一条命题：
若
为奇素数，且
，则存在整数
满足
例如
。但如果这个奇素数
，则不存在这样的
.
这个神奇的结论把素数的同余性质和方程的整数解联系在了一起。但我们不能满足于表面：要认识一个事物，首先得祛魅。
上面的
，其实可以写为
，其中
是单位虚数。这样我们可以看到，
被拆成了
和
两个因子。如果在某种意义下，可以将
和
认为是“素数”，那
就是“合数”。进而可以猜想，之所以
时有解，是因为此时的
其实是“合数，而
时
仍是“素数”。
我们通常所说的素数，是对于整数环
中而言的。数学家们发现，前文所说的“某种意义”，其实是指
在
中是否仍为素数。所谓
就是指在整数中加入
形成的环，也就是所有形如
的复数构成的集合，其中
为整数。（至于什么是环？你可以大概理解为一个像
一样，能进行加减乘三种运算的集合，但不一定能做除法。）
现在，原命题就转化成了求
中的“素数”（称为素元）。当然，这里我们隐含地使用了一个命题：
中的每一个元都可以唯一分解为素元的乘积（不难证明）。我们把满足这一性质的环称为唯一分解整环（Unique factorization domain，后文简称UFD）。但是这个性质其实对一般的环是不成立的，后文可见例证。
图2 高斯整数中的“素数”分部
费马写下的命题中，很多都与这样的“分解”有关。比如要证明 Pell 方程：
正整数
不是平方数时，有无穷个整数解，则可以把这个式子写成
这样就能考虑
了。这个问题实际上是在问
中有多少个可逆元（比如说
中的可逆元就只有
）。而这个可逆元的集合
（即单位群，因为环中的可逆元又称为单位）可以用代数数论的方法算出来。
要是没有代数数论，以上工作都会变得异常复杂。比如方程
感兴趣的读者可以试试用程序遍历来找整数解，需要运行很久才能找到第一个，因为它最小的解长这个样子：
但是费马却说这样的解有无穷个。这对于初等数学来说确实有些为难了。若使用狄利克雷单位定理，我们就能具体算出，存在某个元
使得
（当然，这个
的任何次方都不等于
），这样，满足 Pell 方程的整数就有无穷个。
图3
的解
像这样的命题还有不少，可以说费马的眼光确实独具一格，这也是为什么即便他的很多命题都没有留下证明，仍有诸多后人希望从他的笔记中理解其思想。经过欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）等人的努力，到了 19 世纪，这些命题中的大部分都得到了严格证明，除了最后一个——费马大定理，英语中称之为“费马的最后定理“。
库默尔的尝试
费马大定理（那时应该叫猜想）是说，当
时，方程
不存在
的解。这个定理只需要对于
以及奇素数证明就行了，因为如果对于
得证，那么对于
的倍数也就得证了。
的情况由费马本人证明，其方法相当初等，只是有些麻烦。所以我们现在可以认为
是奇素数。后来欧拉，勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752-1833）等人又证明了
时的情况。
在看过了上面几个例子之后，似乎应该试一试把这个方程作分解。德国数学家恩斯特·库默尔（Ernst Kummer，1810-1893）就是这么想的。他把方程改写为
其中
。这样，左边和右边都是
个相乘。库默尔证明如果环
是 UFD 的话，那就可以得到费马大定理。但是事情并没有那么简单。库默尔的计算能力非常强，他发现当
的时候，
是 UFD，但是对于下一个素数，也就是
并不是 UFD。库默尔甚至猜想
时都不是 UFD，这一猜想一直要到 1976 年才得到证明，用到的方法自然也是库默尔的年代没有的。
图4 库默尔
不过
的存在已经说明，素元分解这种方法并不是普遍适用的。但是库默尔并不甘心就此放弃：他发现，虽然素元分解并不一定唯一，但是存在某种“理想数”的素分解一定唯一。库默尔的原始工作在今天看来很难理解，而理想理论（Ideal theory）要变成今天我们学到的样子，还是需要另一位大数学家 理查德·戴德金（Richard Dedekind，1831-1916）。
戴德金的抽象理论
戴德金的数学思想非常超前，比如他给出的实数定义（戴德金分割）在今天仍然是大一学生必须掌握的。但是在一百多年前，数学家们尚不能接受无穷集合的概念，可想而知，戴德金的数学对于大多数人而言就过于抽象了。不过历史证明，正是这些抽象的理论把数学带到了20世纪。
图5 戴德金
戴德金发现，库默尔的理想数其实并不是一个数，而是环的一个子集。我们接下来就来概述一下这套抽象理论，读者可以记住最典型的例子。
最开始，我们只知道一个对象，那就是整数环
。从这里可以抽象出环的概念——指一个具有加减乘运算的集合。不过
这个环比较特殊，它的两个非零元相乘，结果也是非零元，有这条性质的环被称为整环。之所以需要整环这个概念，是因为存在大量非整环，不过我们目前不需要用到，所以可以暂时抛在脑后。
要是允许
中的非零元做除法，就会产生一个新的集合，即有理数域
（域是存在加减乘除的集合）。这个操作叫作取整环的分式域，这个词很好理解，就是允许分数的存在。在前文中所提到的
是
的扩张，但是环的扩张并不好处理，不像域，域的扩张其实是一个向量空间，这就意味着可以用线性代数来研究域，所以一般想往
中添加元素的时候，我们都会先考虑
的域扩张。在这里就是
。（一般用圆括号表示添加元素之后生成的域，而方括号表示生成的环。）
现在，起我们记
是
的某个有限扩张（就是说
作为有理数系数的向量空间，是有限维的），称为数域，而
中的整数环记作
，称为数环。至于怎么定义
的整数环，这里没有必要赘述，大家就想象是
之于
或者
之于
就行了。
所谓理想，就是环
中的一个运算封闭的子集
，它即便乘上
外面的元素，得到的结果也仍然在
之中。典型的例子是
的子集
，也就是所有
的倍数组成的子集，上面的性质也很容易验证，因为
的倍数不论乘上多少，结果仍然是
的倍数。在这里，我们就能把这个理想分解了：
这个看起来跟
中的素数分解没什么区别。这些
我们称它为素理想，而且它们刚好是由一个素数生成的。但这并不是其本质性质。素理想
的定义如下，它满足条件：若
，则
中起码有一个属于
。而库默尔的工作表明，
中的理想一定能分解为素理想的乘积！这是一项惊人的发现，直接导致数论的研究重点从数字转移到了集合。
如今的数学专业学习抽象代数，并不一定会学到以上内容。今天我们习惯从抽象的环讲起，而一般的环是不能进行素理想分解的。不过理想这个概念也相当自然：就如同正规子群之于群一样，要获得环的商结构，就必须考虑环的理想。这些一般理论要等到哥廷根学派的诺特（Emmy Noether，1882-1935）等人来建立，但即便是诺特本人也承认，她的需要工作都起源于戴德金的研究。今天我们把这些像数环一样能进行素理想分解的环称为戴德金整环，他将出现在每个数论人的入门第一课中。
抛开那些数环以外的环，回到我们的问题。定义理想并不是理论的终点。有理数其实也是可以分解的，只要允许素数的次方为负就行。那如果允许素理想分解的系数为负呢？这样我们就得到了分式理想的分解。分式理想的定义这里也不打算赘述，读者类比
中的理想
，其分式理想则形如
。不过分式理想的素理想分解并没有那么惊人，真正有趣的地方在于分式理想与费马大定理之间的关系。为此，我们需要引入理想类群的概念。
作为戴德金整环，数环有这么一个性质：
是 UFD 当且仅当它是主理想整环（Principal ideal ring，以下简称PID），就是说它的所有理想都是由一个元素生成的（用分式理想定义是一样的），而这种由一个元素生成的理想叫作主理想。那么，要看
能不能做素元分解，其实就是看它有多少个理想不是主理想。定义所有分式理想组成的集合为
，所有主理想构成的集合为
，理想类群就定义为它们的商群
。这个定义的意思就是说，如果一个分式理想乘上一个主理想得到了另一个理想，那我们认为这两个理想是同一类。可以看到，如果
是 PID 的话，则
是个平凡群。这样，理想类群就可以用来表征
”偏离素元分解“的程度。神奇的是，理想类群一定是有限的，这个有限的数字称作类数。记住这个数字，它马上就会大显身手。
回到费马大定理。对于数环
而言，我们记其类数为
。库默尔证明，只要
不是
的因子（即
），那么费马大定理对于
成立。在此基础上他还得到了一些更加具体的判别方法，并借此证明
以内的
都成立。可以说这是数学史上费马大定理第一次取得本质性突破。库默尔的确远超时代，在他做出这些工作都同时，他的法国同行还在纠结于
的证明。
不过即便如此，库默尔和 戴德金也没能证明费马大定理。库默尔把满足
的素数称为正规素数。那所有素数都是正规的吗？答案是否定的。20 世纪的数学家们证明，非正规的素数有无穷多个，并且直到今天，我们也还不知道正规素数是否无穷。
身后的世界
以上内容大概就是经典代数数论在 19 世纪取得的主要成果。数学家们非但没能就此解决费马大定理，反而提出了更多的问题，比如：如何得到理想类群的结构？如何计算类数？库默尔等人的研究还涉及到
进数，
函数等概念，它们直到今天仍然换着花样让数学家们掉头发。而环论与理想所带来的抽象代数，不仅成就了代数数论的，也带来了现代代数几何。从格罗滕迪克（Alexander Grothendieck，1928-2014） 开始，代数几何学家们考虑的几何对象甚至不一定是代数曲面，而仅仅是素理想组成的集合。而这套几何语言又反过来滋补数论，以至于今天的数论学家，没有哪个不学代数几何。
费马大定理最终的证明，用到的是椭圆曲线与模形式的对应，这些内容毫无疑问是 19 世纪的人完全无法料到的。而椭圆曲线相关的数学，也为代数数论提供了有力的武器。
上世纪 80 年代，两位数学家亨利·科恩（Henri Cohen，1947-）和亨德里克·伦斯特拉（Hendrik Lenstra，1949-）提出了一系列猜想。他们认为，虽然具体的理想类群难以求出，但是反过来：如果给定一个阿贝尔群（就是运算满足交换律的群），那它正好对应某个理想类群的概率有多大呢？他们通过计算，猜想了一些可能的结果，但是几十年来进展甚微。如果这些猜想得到证实，便能带来大批有趣的结论，例如 1993 年 Peter Stevenhagen 据此提出了另一个与之密切相关的猜想：对于属于某个无穷集合
（定义再次略过）中的整数
， 负 Pell 方程
有解的概率大约为
。这个数字看起来没头没脑的，但的确是科恩与伦斯特拉猜想的产物。当时 Stevenhagen 或许只是想看看这些猜想能把数学带到哪里，而并没有想过有什么证明的头绪。
图6 Peter Stevenhagen
Stevenhagen 的猜想最近取得了突破。Stephanie Chan，Peter Koymans，Djordjo Milovic 以及 Carlo Pagano 四人最近证明了上述概率的下确界不小于
，这已经是从无到有的突破了。他们用到的工具就包括了前面提到的椭圆曲线，而这项工作很大程度上又受到几年前 Alexander Smith 的启发。这些内容都已经不仅仅是代数数论，而是更加庞大的现代数论中的一环。对于这些新的内容，我们会在今后的文章中向大家介绍。
在今年的秋雨与狂风中，Stevenhagen 教授仍将站上讲台，为荷兰数学生讲授代数数论。他也像库默尔那样，精于计算又熟悉抽象，包括他的讲义也总是会着重于具体的计算方法。这或许是荷兰数学的一个缩影。Koymans 和 Pagano 几年前都曾是莱顿大学的研究生，而 Stevenhagen 和 Lenstra 则是莱顿大学的教授。看到荷兰数学界新人辈出，他们也一定非常欣慰。
参考文献
[1] 加藤和也, 黒川信重, 斎藤毅. 数論 I —— Fermat の夢と類体論.
[2] P. Stevenhagen. NUMBER RINGS.
[3] 冯克勤. 代数数论简史
[4] [Jordana Cepelewicz. Mathematicians Crack a Simple but Stubborn Class of Equations]
出品：科普中国
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原标题：《什么是代数数论？》