Qutip 在量子光学中的应用
原创 武炎 高一波 物理与工程
摘 要
在量子光学相关课题研究中，光的量子特性以及光与物质相互作用一直是量子光学研究的重要内容之一，利用传统解析手段探索和研究物理问题的范围正受到越来越多的限制，基于计算机语言编程的数值计算手段就显得愈发重要。对于不熟悉数值计算的科学研究人员，基于 Python 语言的量子工具箱（Qutip）提供了一个成熟可靠的数值计算工具，使得量子光学相关课题的数值计算问题变得简单快捷。本文主要介绍了 Qutip 的安装和使用及其在量子拉比模型中的应用。
关键词 量子光学；数值计算；量子工具箱
Abstract In the research of quantum optics, the quantum characteristics of light and the light matter interaction have always been one of the important contents of quantum optics. The scope of exploring and studying physical problems by traditional analytical methods is being restricted. Numerical simulation based on computer language programming is becoming more and more important. For scientific researchers who are not familiar with numerical simulation, quantum toolbox (Qutip) based on Python language provides a mature and reliable numerical simulation tool, which makes the numerical calculation of quantum optics related topics simple and fast. In this paper, the installation and use of Qutip are introduced as well as its application in quantum Rabbi model.
在物理问题的科学研究中，数值计算已经成为物理学及其相关领域科研人员用来求解问题和图示结果的重要研究手段之一。对于不熟悉数值计算方法的科研人员来说，迫切需要快速掌握和使用一个简单易用的数值计算工具进行科学问题的探索和研究。在数值计算中，经常采用的编程工具语言主要有 Matlab、Mathematica 和 Frotran 等，具体采用哪种工具语言取决于科研人员的熟练程度和偏好。近年来，作为易学开源的编程语言，Python 得到了广泛的普及和使用。同时，基于 Python 语言编写的量子工具箱（Quantum Toolbox in Python，简称Qutip[1]），获得了世界各国从事量子光学及其相关领域研究的科研人员和学生的广泛使用，采用 Qutip 作为数值计算手段的科研文章已经超过 370 篇。
作为免费的开源软件包，Qutip 主要被用来解决量子系统的计算和数值模拟及其相关问题，涉及量子光学、离子阱、超导电路和量子光力学中的各种问题和应用。开发人员的辛勤工作使得 Qutip 能够顺利运行在 Windows、Mac OSX 和 Linux 等主流操作系统上，Qutip 具有学习成本低、开源免费使用和计算速度快等特点，受到使用者的广泛好评。Qutip 的顺利运行，离不开Numpy[2,3]、Scipy[4]和Cython[5]等第三方工具箱。其中，Numpy 用于多维数组与矩阵运算；Scipy 用于常用的科学计算；而 Cython 可以用类似 Python 的语法来编写 C 扩展。此外，Maplotlib[6]可以用于实现研究结果的可视化和高质量的图形输出。本文主要 Qutip 的安装和使用及其在量子光学中的应用实例（量子拉比模型）等内容。
1 Qutip的安装及使用简介
使用 Python 语言进行编程，经常需要使用很多第三方库，用 pip 逐一安装非常费力和繁琐。Qutip 采用的运行平台推荐使用 Anaconda，它既是一个开源的基于 Python 语言的数据处理和科学计算的平台，也是一个可以方便管理 Python、Numpy 等常用库和环境的管理器，其内置的 Numpy、Scipy、Matplotlib 等常用的库，使得 Qutip 的运行变得非常方便。同时，Anaconda 的桌面图形用户界面可以直接启动应用程序和管理包和环境，使得操作更加简单方便。
这里，以 Windows10 系统为例，介绍 Qutip 的安装过程。首先，下载对应操作系统的 Anaconda（64-bit 或者 32-bit）（官方网址：https://www.anaconda.com）。下载完成之后，启动安装程序，根据提示进行操作。然后，在 Windows10 系统中打开 cmd 命令提示符窗口，输入“conda install qutip”，根据提示完成安装过程（可参考官网使用教程，https://qutip.org）。
验证 Qutip 的安装成功与否，可以在打开 Anaconda 后，点击“Qt Console”（可以逐行运行代码，实时反馈结果，检查代码十分方便）。打开“Qt Console”后，运行图 1 中前 2 行代码，显示出图 1 的版权等信息即为安装成功。
研究物理系统的状态及其特性时，通常用一个物理量来标识物理系统的状态。在量子力学中，我们用态矢量和算符来标识量子系统的状态。Qutip 中的“Qobj()”不仅被用来描述量子系统的态矢量、密度矩阵、算符和超算符等，而且它还包含描述量子系统所必需的矩阵表象、复合结构和空间维度等。在此基础上，使用者可以根据研究的需要使用 Qutip 来计算量子系统的平均值、二阶关联函数和时间演化等常用量值。
下面，介绍如何在 Qutip 中表示光子数态（Fock态）、密度矩阵和泡利算符。首先，光子数态指光子数算符
的本征态 | n〉。光子数态可以用“fock(N,n)”来表示。其中，N 代表量子光场所在希尔伯特空间中的状态数，n 代表光场包含的光子个数。图 2 中是一个光子数为 n = 2 的 Fock 态（空间状态数 N = 5）。
考虑环境的影响时，量子系统的状态必须用密度矩阵来描述，而不能再继续用态矢量。例如，与光子数态相对应的密度矩阵 ρ = | n〉〈n | 可以用“fock_dm(N,n)”来表示，如图 3 所示。其中，N 代表量子光场所在希尔伯特空间的维数，n 代表光场包含的光子个数。
同样，Qutip 也对量子系统的算符进行了定义，在使用时可以直接调用。例如，用“create(N)”和“destroy(N)”表示光子的产生算符
和湮没算符a。其中，N 代表希尔伯特空间中的维数，如图 4 所示。与此类似，常用的 3 个泡利算符（σx 、σy 和 σz）分别表示为“sigmax()”、“sigmay()”和“sigmaz()”，如图 5 所示。
研究结果的可视化是科研成果写作和出版的重要环节之一，专门针对量子光学及其相关研究课题的高质量图像化表达是 Qutip 的重要功能之一。这里，我们仅介绍量子光场的可视化。先引入 Wigner 函数的概念[7]。我们知道在量子力学中，量子态可以由它的密度矩阵来描述，密度矩阵可以在不同的基矢上展开。我们把将相干态作为基矢展开的密度矩阵称为 P 表示，即
Wigner 函数就是从 P 分布通过与高斯分布的卷积得到的，即
利用 q = α + α * 和 p =－i （α－α *）对上式进行改写，即
这就是 Wigner 函数的表达式。在量子光学中相关课题研究中，量子光场常见的 2 种量子态分别为：光子数态（Fock state）、相干态（coherent state）。其中光子数态是光子数算符
的本征态，相干态是湮灭算符 a 的本征态。光子数态的 Wigner 函数可以表示为
相干态的 Wigner 函数可以表示为
图 6 中分别是 2 种量子态的 Wigner 函数图像，颜色代表了 Wigner 函数的值的大小，具体数值由右侧的颜色棒标出。而横坐标和纵坐标分别代表了 q 和 p 的概率密度 Pr（q）和 Pr（p），它们的函数表达式可以写为
图 7 的 2 行代码（14、15行）中分别使用 Qutip 提供的“wigner( )”函数就可以轻松实现。
2 用 Qutip 研究量子拉比模型中的物理问题
在量子物理发展的历史过程中，光与物质的相互作用一直就是研究的重要问题之一。最早的拉比模型（Rabi model）起源于 I. Rabi 在 1936 年研究的经典光场与一个二能级原子相互作用的物理问题，简称半经典拉比模型（semi-classical Rabi model）。量子版本的拉比模型[8,9]则由 Jaynes 和 Cummings 在 1963 年提出，他们研究了二能级原子（量子比特）和量子光场之间的相互作用，简称量子拉比模型（Quantum Rabi model）。目前，量子拉比模型正在被广泛应用到量子光学[10]、量子信息、磁共振固态[11]和分子物理学[12]等多个研究领域中，其哈密顿量写为
其中，ω 是单模量子光场的频率，ω0 是二能级系统的频率，g 是二者之间的耦合强度，
和 a 是描述量子光场的产生算符和湮灭算符，σz 和 σ± 是描述二能级系统的泡利算符。
目前的研究中，根据耦合强度与单模量子光场频率的比值（g / ωr）的范围，我们把量子拉比模型的相关研究分为成三个区域（强耦合区、超强耦合区和深强耦合区）分别进行，如图 8 所示。
在强耦合区（g / ω < 0.1），量子拉比模型在旋转波近似条件下可以简化为 Jaynes-Cummings模型[13]（简称 JC 模型）。JC 模型是 E.T.Jaynes 和 F.W.Cummings 于 1963 年提出的，其哈密顿量写为
与量子拉比模型相比较，JC 模型的哈密顿量中缺少 aσ－和
项。当旋转波近似条件满足时，ω = ω0，对应于高频非谐振过程的aσ－和
项被忽略不计。用解析方法容易求解 JC 模型的能级，实验上出现的多种物理现象可以得到很好的解释，例如原子和光子的量子纠缠[14]和真空拉比劈裂[15]等。随着实验技术的提高和理论研究的进展，标识光与物质相互作用的耦合强度 g 已经可以接近和达到光场频率 ω 的数量级，JC 模型已经不再适用于相关物理问题的探索和研究。
近年来，经过科研工作者的不断探索，在量子拉比模型的解析求解问题的研究中取得了重要进展。在 2011 年，Braak 等人利用 Z2 对称性研究了拉比模型的解析解[16]，但是这种方法仍然存在局限性[17]。Lixian Yu 等人利用幺正变换
[18]在 g / ω < 0.5范围内得到模型的能量本征值和本征态。Beaudoin 等人利用幺正变换
[19]在 0 ≤ g / ωr ≤ 0.4范围内求解拉比模型。Qing-Hu Chen 等人采用 Bogoliubov 算子方法研究了双光子拉比模型的解析解问题[20]。由以上研究进展可知，在不依赖于额外条件的情况下获得完全参数空间的拉比模型的解析方法求解确实是一个复杂的问题。此时，如果再考虑环境对量子系统的影响，这将是一个更加复杂的问题。结合 Qutip 的数值计算手段，我们期望能够得到另外一种新的研究思路。
在量子拉比模型中，量子比特的激发态概率随时间演化代表了量子比特与量子光场之间的能量交换过程，我们用 Qutip 提供的数值计算方法来考察耦合强度 g 的变化对能量交换过程的影响。t = 0 时刻，假设量子拉比模型的初态为：量子比特处于激发态 | e〉且光场处于真空态 | 0〉，
，即量子比特激发态概率 Pe 为 1 。为简化问题的讨论，以下讨论中取 ω = ω0。利用 Qutip 中的“mesolve()”函数可计算原子的激发态概率（见图 9 中第 29~31 行代码，计算结果见图 10），省却了繁琐的使用其他语言编程过程。
在图 10 中，用 Qutip 得到的 3 个图分别对应量子拉比模型在强耦合区（g / ω = 0.08）、超强耦合区（g / ω = 0.8）和深强耦合区（g / ω = 1.2）的计算结果（http://qutip.org/tutorials.html）。对比 3 个图可知：（1）在强耦合区，量子比特的激发态几率随时间在 0 和 1 之间做周期性变化。当量子比特激发态概率随时间演变为 0 时，能量从量子比特完全转移给量子光场，能量转移过程随时间做周期性变化。（2）在超强耦合区和深强耦合区，增大耦合强度（即增大 g / ω），使得量子比特激发态概率的变化区间减小并且能量的交换过程变得愈发没有规律性。基于现有研究进展可知，强耦合区的量子拉比模型相关问题可以用简化的 JC 模型来讨论，但是在超强耦合区和深强耦合区的量子拉比模型相关问题就可以用 Qutip 提供的数值计算方法来直观的呈现和演示，同时方便于用数值方法研究环境影响下的量子拉比模型的动力学问题。
3 结语
目前，Qutip 中已经包含了量子光学及其相关研究领域所需的大部分典型物理问题的实例（参看网址http://qutip.org/tutorials.html），使用者只需引用 Qutip 内建函数或简单编程即可使用，极大节省了科研人员的使用成本。随着开发人员的不断更新和维护，Qutip 在量子信息（量子逻辑门和量子算法等）、量子开放系统的时间演化（主方程和蒙特卡洛模拟等）和量子控制等研究方向得到了广泛的使用。
参考文献
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基金项目：国家自然科学基金面上项目(批准号：11674017)。
通讯作者：高一波，男，北京工业大学副教授，长期从事量子光学相关研究工作，ybgao@bjut.edu.cn。
引文格式: 武炎, 高一波. Qutip在量子光学中的应用[J]. 物理与工程, 2022, 32(1): 41-46.
Cite this article: WU Y, GAO Y B. The aplication of Qutip in quantum optics[J]. Physics and Engineering, 2022, 32(1): 41-46. (in Chinese)
END
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原标题：《Qutip 在量子光学中的应用》