45年前霍金提出的“引力瞬子”问题得到了解决

古希腊哲学家认为世界由4种基本元素火、气、水、土组成，我国古代有类似的思想，把五行视作世界的本原。柏拉图学派还认为，物质世界和几何存在着神秘的联系，并知道了存在5类正多面体：正四面体、立方体、正八面体、正二十面体，以及正十二面体。

古希腊人将柏拉图正多面体中的四种与组成物质世界的基本元素火、气、水、土联系了起来，而将正十二面体给予了天上世界：“神使用正十二面体以整理整个天空旳星座”。（图来自彭罗斯《通向实在之路》）

在这些朴素的思想中，我们看到了“分类”的重要意义。人们希望能对世界有全面的理解，根据物体性质上的不同将其分门别类，是这一雄心的一种体现。分类，将世间万象囊括，并赋予它们以秩序。

在近现代科学中，分类的重要性有增无减。物理学中的粒子标准模型、化学领域的元素周期表、生物学的界门纲目科属种，等等，无不体现了“分类”的思想。“分类”同样是数学研究的重要目的，数学家们对数学对象的性质开展研究，并依据性质的不同进行分类。正如数学家、数学教育家W. W. Sawyer在《数学前奏曲》（Prelude to Mathematics）一书中所说：“数学是对所有可能模式的分类和研究”（Mathematics is the classification and study of all possible patterns）。

中国科学技术大学陈秀雄教授与陈杲特任教授完成了一项重要的“分类”工作，他们证明了引力瞬子只有4种。这是微分几何领域的一项重要进展，论文在世界四大数学顶刊之一的《数学学报》（Acta Mathematica）等杂志上发表。

Acta Mathematica 朴素的在线页面

《数学学报》被许多人视为最负盛名的数学学术期刊。在2021年，《数学学报》全年只刊登了9篇论文，而在其140年的历史中，以发表时工作单位计，中国高校学者在其上发表的论文仅有10篇左右。《数学学报》创刊于1882年，创立者Gösta Mittag-Leffler是瑞典著名数学家，他对函数论的发展作出了重要贡献。有传言说正是因为他与诺贝尔的感情纠葛，诺贝尔奖才没有设立数学奖项，但并没有历史证据证实这一传言。《数学学报》创立之初，便刊登了不少数学大师的论文，例如第一期就刊登有庞加莱的两篇文章（1882年)，他关于“三体问题”长达200多页的著名论文（1890年，被视为混沌理论的开端）同样刊登在其上。

那么，中国学者关于引力瞬子的工作讲了什么，为何能登上《数学学报》呢？

瞬子（instanton，不是大家所熟悉的“顺子”），是理论物理和数学物理中的一个概念。

顺子。（顺子、对子、三带二、炸弹……打牌也是一项伟大的“分类”研究。）

发错了，重来！

一种瞬子：Hawking-Turok瞬子。一个“气泡”宇宙从Hawking-Turok瞬子产生，其中垂直方向表示时间，水平方向表示空间。（来自霍金创办的剑桥大学理论宇宙学中心官网）

人们提出数学模型来描述和解释自然世界，在一些量子力学和场论模型中，运动方程的一类解就叫作瞬子。在人类认识世界构成的道路上，瞬子为人们提供了一个视角。例如在粒子物理领域，量子色动力学（QCD）很好地描述了原子核中的强相互作用，而QCD瞬子体现了杨-米尔斯规范理论的一种基本的非微扰性质。另外，对瞬子理论的研究也逐渐成为数学的一个重要方向。例如，在对规范理论的4维瞬子解的研究中，唐纳森（Simon Donaldson）发现了4维流形的某种拓扑性质——瞬子不变量即唐纳森不变量，利用它可以对4维流形进行分类。后来，因为对4维流形拓扑性质的研究，唐纳森荣获了菲尔兹奖。

1977年，霍金（Stephen Hawking）提出了一个新的概念——“引力瞬子”。霍金是量子引力理论的先驱，他最广为人知的成果霍金辐射便是引力理论与量子物理相结合的代表。霍金的好友、诺贝尔物理学奖获得者彭罗斯（Roger Penrose）在为霍金写的讣告中，说道：“直至生命终点，霍金仍一直在继续研究量子引力以及相关的宇宙学问题”。引力瞬子的提出，同样是为了统一量子力学和爱因斯坦的引力理论。

在广义相对论中，引力是时空性质的表现，而时空是由一种叫作伪黎曼流形的数学概念来描述的。所谓流形，即是这样一种抽象的数学空间——其上任何特定的小区域都类似于我们普通的空间，也就是说如果有一个小小的生命，它站在流形表面向四周望去，在其周围它看到的是一个“平面”。引力瞬子也是一种具有特殊性质的流形，它是满足真空爱因斯坦方程的4维完备黎曼流形。通过引力瞬子，霍金尝试将引力理论和量子物理中的瞬子理论结合起来，构造一种量子引力理论——欧几里得量子引力。

引力瞬子给引力的量子化提供了新的视野，这种独特的数学结构也引起了数学家们的强烈兴趣。如何构造瞬子模型，很多数学大师都进行了深入的思考。

1988年，阿蒂亚(Michael Atiyah；1966年菲尔兹奖、2004年阿贝尔奖获得者)和希钦(Nigel Hitchin；英国科学院院士、2016年邵逸夫奖获得者)受狄拉克磁单极子想法的启发，合作构造了一类引力瞬子的例子。

在图论领域有一个著名的问题，叫作ADE分类。它最初由伟大的俄罗斯数学家阿诺德（Vladimir Arnold）在1970年代提出，他注意到在不同领域各种各样的分类问题中，有一类结构——Dynkin图经常出现，并发问：有没有一个普适性的定理能把所有这些问题统一起来？阿诺德曾经称ADE是“超越数学的一种信仰”；还有人说，“如果我们要和外星文明接触并向它们展示我们的文明是多么深邃，那么Dynkin图可能是最佳展品！”著名的柏拉图多面体问题（即只存在5种正多面体）就是ADE分类最早的一个例子。ADE分类问题与Lie群Lie代数的表示理论有深刻的联系。利用这个已知问题，1989年，克隆海默(Peter Kronheimer；哈佛大学数学系前系主任、2007年维布伦奖得主)构造出了引力瞬子的另一类例子。

Dynkin图。对于左图所示的三叉树结构，要求1/p+1/q+1/r>1，其中p, q, r为正整数。答案只有5类（右图）。

1977年，丘成桐(1982年菲尔兹奖、2010年沃尔夫数学奖获得者)证明了著名的卡拉比猜想。卡拉比猜想的大意是说，在封闭的空间，是否可能存在没有物质分布的引力场。1980年代，丘成桐等人对卡拉比猜想进行了推广，指出对于开放空间，在特定的条件下，卡拉比猜想同样可以成立。随后，数学家们构造模型、努力去实现这些条件。在这一过程中，1990年，丘成桐和田刚(中科院院士、1996年维布伦奖获得者)合作，构造出引力瞬子的另外两类例子。

在随后的很多年里，数学界一直尝试构造新的例子，但都没能成功。2015年，陈秀雄、陈杲合作，成功证明了引力瞬子只有这四类，没有其他的可能！这项成果形成了3篇论文。经过漫长的审稿，其中最核心的一篇于2022年在线发表在《数学学报》上，另外两篇也已经发表于《数学与应用数学》(The Journal für die reine und angewandte Mathematik)和《数学年刊》(Mathematische Annalen)。

陈秀雄是中国科大几何与物理研究中心的创始主任、特聘教授。他是微分几何、几何分析领域的国际著名学者，2019年荣获世界微分几何最高奖维布伦奖。陈杲是陈秀雄教授的学生，完成该工作时还未满21岁，目前是中国科大几何与物理研究中心特任教授。2021年，陈杲获得了青橙奖，是历届最年轻的获奖人。

陈秀雄教授所带领的几何与物理研究中心拥有一支年轻、富有朝气的团队，正努力成为微分几何、量子场论、代数几何和拓扑学等方向世界领先的研究平台。在过去几年里，研究团队取得了多项重要成果，研究成果连续两年入选科技日报社主办、部分两院院士和媒体人士共同评选的“国内十大科技新闻”。

（本文原标题为《40多年前霍金提出的“引力瞬子”问题得到了解决》，澎湃科技授权刊发）