三体问题是个什么问题
原创 复旦管院 复旦管院
面对浩瀚的宇宙，人类总是充满了好奇：宇宙究竟是如何起源的，有没有地外生命的存在？在科幻小说《三体》提到三体星气候恶劣，为什么会这样……
在最近一期“瞰见”云课堂，由复旦大学管理学院应用经济学系副系主任李玲芳教授主持，我们以科学之问为起点，邀请美国西北大学Pancoe讲席教授，数学家、天文学家夏志宏，以专业知识与科学逻辑分析来推理和解析三体问题是个什么问题，带大家对“无用之用”的科学真理追根溯源。
分享之后，夏志宏教授还回答了观众的提问。关于科幻与科学、数学思维和科学素养的培养等，夏教授也分享了自己的观点。
不具备「批判性思维」
何以创造
Q1、您看到这组韦伯望远镜宇宙深空影像的时候，有哪些感受？从学术角度来看，为什么说这具有里程碑的意义？
夏志宏：看到照片，非常激动人心，非常有意义。天文学任何一个重大进展都跟我们的仪器和观测手段有关。望远镜的出现带来了现代科学的发展，有了伽利略、牛顿。在天文学的发展史上，上个世纪60年代最为辉煌。那时出现了好多新的观测手段，尤其是大型望远镜和射电望远镜的出现。相当于人类相当于多了一些眼睛，对宇宙、星系的了解一下子就丰富起来。我们现在知道的很多知识都是那个年代发现的。
后来我们的望远镜精度提高了，尤其太空望远镜哈勃的出现，可以让我们看到系外星系，看到双星，看到太阳系以外也有行星系统，我们可以观测到很多其他星系多个行星的存在。这次韦伯望远镜成功进入轨道，我们看到它发回来的照片，你会发现比以前的精度要高得多，而且观测的区域跟以前也不一样，肯定会给我们带来对宇宙的新的理解。可以想象，在天文学方面，随着新的“眼睛”的出现，我们可以看到更多，对整个宇宙会有进一步的了解。
现在假如有同学要去选择学习专业，我觉得天文学是一个非常好的选择，现在是一个非常好的时机。
Q2、我们为什么需要科幻？科幻的重点是“科”还是“幻”？科幻是否能够激发科学家的潜力？
夏志宏：科学家都要有一些想象力，这个想象力可能跟科学本身不一定有那么大的关系。我上大学时之所以选择天文系，有一些原因是对天文知识的粗浅理解，但更重要的原因是“幻”，或者说是一些想象。另外，科幻小说本身的目的不是为了科学，科幻的好处是激发人的想象力，给人一个特别好的阅读经历。我们当然不能把科幻和科学混为一谈，我想大家都有清醒的界定。我们不能从科幻小说里面学科学，科幻更多是娱乐，有一些科学的背景的娱乐。《三体》就有一个很好的背景，但是不能以《三体》理解三体问题，这也是我要做讲座的原因。娱乐，同时能激发大家的兴趣，科幻小说是很好的方式。
Q3、请您谈谈数学和天文学对您学术生涯的影响是怎样的，以及培养数学思维的重要性。
夏志宏：我的观点是，我们数学家要教的，不仅仅是具体数学知识，而更重要的是数学思维，一个人的思维能力、逻辑推理能力、问题分析能力，非常重要。
我希望所有人都要学微积分，并不是因为微积分对普通人有什么用处，而是微积分的思想方法，对处理问题的科学思路很重要。很多人不想学微积分，因为一辈子用不到。这就牵涉到我们讲座开始时所提到的“无用之学”。严谨的数学训练、尤其概括、分析问题的能力和逻辑思维训练，对人的素质提高是非常有用的。素质的提高是慢慢通过训练得出来的。数学培养人的抽象思维能力，使人能概括、升华到更深的层次，到达更高的境界里考虑问题。这是现代社会所必须的。
现代社会的知识，包括社会科学，都要回归科学，必须有科学的支撑，必须有理性思维。数学是一切科学的基础，所以数学教育是非常重要的。而数学教育不能以简单的是不是“有用”来判别，知识背后的理性思维、逻辑思维和分析问题的能力更为重要。
Q4、沿着您刚才关于科学素养的问题，怎么样培养我们年轻一代，您有没有哪些建议？
夏志宏：这个题目比较大。我们强调批判性思维，批判性的思维不仅是对现有的理论或观点带有批判性的思考，还要多问几个为什么。对错不能预设立场，尤其对自己固有的想法也要有批判性思维。
开放的思维很重要，尤其不能在自己的小圈子里，一次次加强自己的看法。始终怀疑自己的固有看法，在一个和谐的社会特别需要理解他人的行为与想法。
科学思维也就是说要回归到科学本身，多增强思维方式的训练。社会发展强调原创性。什么是原创？原创就是与众不同，就是反叛思维，原创就是鼓励开放式思维，鼓励不同的想法。在大学里，需要鼓励学生的独立思想，鼓励多样性，这样创新和发明才能出现。对小朋友，鼓励自己探索，鼓励好奇心和求知欲。现在学校的很大的一个问题是同质化，很不利于技术上的创新。
三体问题是个什么问题？
硬核笔记来啦
0
1
#什么是三体问题？
三体问题：给定初始速度和位置，求解对应的轨道。其本质是求解一组微分方程。
一组自然的问题：这组微分方程有没有解？或者什么时候有解？如何求解？
0
2
#从代数方程解到三体问题的解
四次方程及次数更低的方程存在公式（代数运算）解。
五次方程及次数更高方程是否存在公式（代数运算）解？
当数学家们苦苦追寻五次方程的公式解时，数学天才阿贝尔和伽罗华的研究给出了五次方程存在根式解的条件，宣告了一般五次方程不存在公式（代数运算）解。
二体问题存在以代数运算和积分表示的公式解（推出开普勒行星运动三大定律），三体问题，进而N体问题是否存在公式（代数运算加积分）解？
求解三体问题的古典方法是寻找首次积分。首次积分指的是守恒量。经典的首次积分有能量积分、动量积分和角动量积分。如果将空间三体问题进行简化，先求解平面三体问题，则需要6个“好”的首次积分。能量积分、动量积分和角动量积分一起提供4个首次积分，只需再找到另外两个“好”的首次积分，三体问题就在经典意义下可解。历史总是惊人地相似，当数学家们苦苦追寻另外两个好的首次积分时，Bruns在1887年证明了三体问题不存在代数形式的首次积分。后来，Poincare证明了不存在解析依赖于质量的首次积分。夏志宏等数学家的研究证明了对于某些质量不存在任何形式的首次积分。所以在古典意义下，三体问题不可解！
0
3
#三体问题的哲学性
三体问题可以说是可解的，也是说是不可解的，看如何定义“可解”。
为什么说三体问题可解？
虽然使用古典方法求解三体问题不存在公式解，但对于实用轨道计算，三体问题的解是存在的、可计算的。
给定初始位置、初始速度，轨道可以精确求解。（如地月日这样的稳定系统，轨道计算可以非常准确，甚至可以精确计算几万年。例：我们可以精确计算日蚀、月食的时间，精确到毫秒。
为什么又说三体问题不可解？
原因1：三体运动不规则，不存在公式解。（但实用轨道是有解的）
原因2：因为混沌存在，所以遥远的将来不可预测，不存在全局、任意长时间的精确解。
对于全局、长期预测，三体问题是不可解的（即不远的将来可以预测，但遥远的将来不可预测）。如果三体系统处于一个不稳定区域——混沌区域，计算精度就会很低，而随着时间的增加，精度就会降低。所以对长期时间，三体问题是不可解的，无法精确预测遥远的将来会发生什么。
0
4
#什么是混沌
法国数学家庞加莱首次给出了混沌的概念：混沌是指轨道的长时间行为的不确定性。
混沌来自于系统误差在小范围里呈指数增长。在一个混沌系统，初始测量误差会被系统放大，随着时间的增加，误差呈指数增长（Lyapunov指数），谓之“差之毫厘，失之千里”。经典力学系统都是确定的，但在一个混沌的经典力学系统里，不可避免的初始测量误差决定了长期运动具有随机性，这种随机性随Lyapunov指数大小和时间长短递增。所以随着时间的推移，预测的精确度总是呈指数下降，很快导致将来不可精确预测。也就是说长期运动是随机的。
混沌的例子：气象系统（蝴蝶效应）。气象系统是一个典型的混沌系统。大气的微小扰动，如蝴蝶展翅，在不稳定的气流环境下，可以在短时间内影响局部气候的变化，甚至可以产生龙卷风。在极端情况之下，可以在几个星期之内，影响全球气候。所以长期气象预告是不可能的。
混沌的应用：航天器发射。在宇宙探索轨道设计过程中，人们可以利用太阳系天体运动的混沌性质来节省探测器的燃料。有个著名的例子。1991年4月，日本发射月球探测器Hiten，上天以后参发现燃料不够，到达不了指定轨道。日本向美国宇航局求救，加州理工大学JPL实验室的研究员Belbruno被指派协助日本。他成功地重新设计轨道，用剩下的燃料把Hiten送到了月球轨道。他的关键想法是利用少量燃料把探测器送到一个混沌区域，再利用混沌和少量轨道调整，把探测器送到指定区域。后来Belbruno还救过美国休斯公司发射的HGS-1探测器。
0
5
#关于三体问题的结论
三体运动是确定的，给定初始位置和速度就有相应的解和对应的轨道，而且在短时间内具体轨道可以精确计算。
三体运动也是随机的，在长时间范围，其运动不可精确预测。
三体运动特殊解的应用：三体问题一般解很复杂，但有一些简单的特殊解。最有名的是5个相对平衡解，称之为Lagrange解，写成序列L1,L2, …, L5。由于这些点的位置相对地球不变，为各种探测器提供了极好的位置。我国的月球探测器嫦娥二号曾停靠在L2上相当长一段时间。现在的太空望远镜韦伯也是永久停放在L2的位置。L2位置里地球一百五十万公里，在太阳的相反方向。
结语
非常感谢夏教授的分享！无论我们是存在于科幻或者文学中的幻想眺望，还是从哈勃到韦伯天文望远镜的科学探索，人类望向宇宙深处的目光始终不曾停止，这种探索与追求证明了人类文明的一种终极浪漫。在诺大的宇宙中，一个渺小生命体的存在似乎没有意义，但是人类又在这种无意义中创造出自己的意义。我们既要仰望星空，也要脚踏实地。
—— 李玲芳教授
原标题：《科学之问 | 瞰见×2022》