数学思维浅谈：从区分中找共性，从共性中找区分

写在前面：

这是一篇谈论数学思维的文章。作者的体会是，当我们面对难题时，明白如何从同类共性中找区分，又如何从异类区分中找共性，懂得如此这般反复操作，就会逼近我们要找的答案。至于该文确有什么新意突破，最终还归于读者的深刻解读，真有什么漏洞瑕疵，则归于作者的学识浅薄。本文为个人经验言论，不代表任何学术组织的共识，仅供读者参考。

通过从区分中找共性，从共性中找区分，可打开思路找到解决难题的方法。可见那些久未解决的难题都卡在了更基本的公共问题上，原以为很多难题都各自孤立，没什么应用价值，一些久未解决的纯粹数学难题，越貌似孤立，它的基础理论价值就越大，数学文化价值越高，别把它当成真孤立的特例了。当年伽罗瓦为了解决5次方程是否有解的判定问题，意外找到了可以解决很多其他问题的“群论”。

解决这些平凡的问题往往有意外惊喜。笔者通过对一些“孤立”问题寻找解决方案，无意间发现它同很多难题都有广泛关联，它是素数之间能找到“纠缠”关系的基石。找到它的来源，有利于发现一些新工具来判定素数是如何分布的，基底互素思想就是这样一个好工具，它是用来判定公共因子和互素因子的一种思想工具。它在笔者已经出版的专著《数学底层引擎相邻论和重合法》（海天出版社2019年9月）一书中详细论证过，也在澎湃新闻上连续发布过，很多数学爱好者参与了讨论。

本文把一些数学难题集中起来都用基底互素思想来解决，可以让数学爱好者清晰地洞察到，貌似彼此孤立的问题都不孤立，它们都受制于幕后的底层引擎推动，第一张骨牌倒下，一系列的多米诺骨牌都会倒下。下文我们就用寻找区分和共性的方法来思考以下几个问题：偶数不等量分割问题，相邻素数间隔问题，互素传递性问题，方程不等量升幂问题。

1. 形式逻辑的精髓是命题变换具有保真性

命题保真变换来自两种情形：一种来自等量对象具有自反性、对称性、传递性，可概括为是等量传递；另一种来自异类对象具有数值互异性，因子互素性，迭代传递性，可概括为不等量传递。这种区分传递比共性传递，更加隐秘和深刻，正是因为这一点，很多跟它相关的久未解决的难题会一筹莫展。为了明确不等量传递的思想，我们来复习一下整数问题中的一些重要概念。

“互素”定义：a和b无共同素因子就叫a和b互素，也叫互质，比如说，3和5，18与35，1和7，1和1，它们都是互素的。

“三元互素方程”命题：整数三元方程若两元互素则三元两两互素，即 a+b=c，当gcd（a，b）=1，则gcd（b，c）=1，gcd（a，c）=1。

已知 a、b 是一对互素的整数，c是它们的和，即 a+b=c，由于a与b互素，故b与c以及a与c必互素。假如其中两项非互素，有公约数可约掉，另一项不可约而成真分数，如此就会产生整数与真分数相等，于是矛盾。故整数三元方程若两元互素则三元两两互素。

“互异分割方程”命题：大于4的任意偶数2n都能完成互异分割，也能完成互素分割，即a和b必有互异互素解集表达任意偶数。若有“a+b=2n”，则存在“gcd（a，b）=1，a≠b”。

大于4的任意偶数2n都可以完成等量分割，均分为两个相同量即n+n=2n，以n为中位数可构造共轭差不为0的两个数，其和也等于2n，即n+m+n-m=2n, 当a=n+m，b=n-m，m大于0时，2n完成了互异分割a+b=2n，令a每次与给定的2n互素，则2n也与b互素，我们称所有的2n都能完成互素分割。即关于2n的本原解方程已经囊括了可构造2n的全部解集，2n的本原解三元方程其通解在偶数集上不扩域。本原解方程就是通过数乘逆运算得到每一项都没有公因子的方程，如本原解方程a+b=c的通解方程是ta+tb=tc。以后我们还将证明，2n的最简本原解三元方程其内积通解在偶数集上也不扩域。最简本原解方程就是通过内积逆运算得到的方程，其生成元为彼此互异的素数，其生成对象与生成元分别互素，如最简本原解方程p+q=2n的内积通解方程是ap+bq=2cn。

“基底互素”定义：a和b彼此有不同素因子就叫基底互素，如3和5，77和91。互素关系中，若a≠1或者b≠1，则该类互素也属基底互素; 基底互素关系中，若不含公因子，同时a≠1或者b≠1，则该类基底互素也属互素。任意偶数可完成互异分割，得到方程2n=a+b，当a或b都不是彼此的公因子时，a和b是基底互素的。基底互素方程必有二维素数基底。

“解集基底互素”定义：在三元互素方程中，每次解是两两互素的，累积解不一定两两互素，若两元的累积解互素，且a和b累积解都非1，彼此有不共素因子，则我们称a和b解集基底互素。如，解集a={3，11，30，65}与解集b={7，13，55，99}是解集基底互素的，a中的3与b中的7为不共素因子，解集a和b都必有对方全集没有的素因子，故a和b是解集基底互素的。解集基底互素可包含局部数值仅子集基底互素，以及子集素因子同构或因子同态。解集a和b中素因子有4种关系，1是a和b解集纯粹互素（双方没有公共素因子双方仅有不共素因子），2是a和b解集基底互素（双方有公共素因子双方更有不共素因子），3是a和b解集因子同态（双方有公共素因子且单方有不共素因子），4是a和b解集因子同构（双方有公共素因子双方没有不共素因子）。

“解集互异”定义：在三元互素方程中，a和b解集中没有任何一个相同解，就叫解集互异。如a={5，18，22}与b={9,11,17}，a和b解集就没有任何一个相同解，故称a和b解集互异。

“三元方程互异解集基底互素”命题：

整数三元方程a+b=c，Ubi、Uai、Uci为三元方程解集，若解集gcd(Ubai,Ubi)=1，解集gcd(Uci，Ubi）=1，且Ubi或Uai≠Uci，则解集(Uai,Uci)基底互素，三元方程解集两对互素第三对必基底互素，当Uci与Uai互异，Uai蕴含全部素因子时，同时也严格解集互素gcd(Uai, Uci)=1。换成其中任意两对解集互素，甚至基底互素，若第三对解集互异，都能判定第三对解集必基底互素成立。

a和b无共同素因子就叫a和b互素，a和b有不同素因子就叫基底互素。已知 a、b是一对互素的整数，c是它们的和，即a+b=c，由于gcd(Uai,Ubi)=1，gcd(Ubi,Uci)=1，且a与b、b与c以及a与c必每次互素,则Uai和Uci必基底互素，一个解集跟另一个解集在基底互素的条件下有增添新素数因子的性质。解集基底互素，说明单对单数值每次比较有不共素因子，多对多解集通关比较也有不共素因子。通俗地说，两大互异阵营都有对方没有的秘密武器。但基底互素允许存在共素因子，且允许双方的子集素因子是对方全集素因子的子集。

同时也严格互素gcd(Uai, Uci)=1，当Uci与Uai互异，Uai蕴含全部素因子时，1和任何整数都互素，但不属于基底互素，1和1互素，但不属于基底互素，15和3约掉3后互素，但不属于基底互素，21和35非互素，但属于基底互素，因为约掉7后，3和5是互素的，且不含1。有些数是基底互素但不要求互素，如15和9，有些数互素但不基底互素，如5和1，有些数既互素又基底互素，如3和5，有些数既不基底互素也不互素，如15和3，非基底互素的，说明至少有一方相对没有增添新素因子。

假如（Uai,Uci)不是基底互素，移除共因子后，存在gcd(Ua’i,1)=1，Uci相比Uai就没有增添新素因子，根据基底互素的定义，两个整数之间相互含有不一样的素因子，就叫基底互素，基底互素的整数也可以含有公因子，解集基底互素，说明解集之间都有不共素因子，不象a和1，仅单方面有不共素因子，基底互素说明，一个解集有对方没有的另类素因子，另一个解集也必有对方没有的另类素因子。

那么根据定义Ubi或Uai≠Uci，在每次解互素的前提下，会导致c解集相对不增加新素因子或a解集相对不增加新素因子，a解集中的素因子都在c中，或者c解集中的素因子都在a中，前者说明，c中有增加新素因子，可不考虑，我们仅假设c没有增加新素因子的情形，在a’是a中素因子的乘积数，b‘是b中素因子的乘积数时，那c中的素因子就不可能是a中素因子的子集，这与不是基底互素的假设相矛盾。以下证明该定理成立。 

2.区分关系在三元迭代方程中保真传递

前文说到，命题保真变换来自两种情形，等量传递的情形我们比较熟悉，同态，同构，同伦，同调，皆属此列，不等量传递的情形，教科书上鲜见。谈的比较多是同态关系和蕴含关系。大多从集合论的角度，而不是从数值的角度，从数值的角度谈不等量传递，我们会有一些意外发现。

如果c解集相对于a解集有增添新素因子，或者a解集相对于c解集有增添新素因子，也就是说c与a是基底互素的。那么三元方程中不共素因子有传递性，两对有不共素因子，第三对一定彼此有不共素因子。 

三元方程a+b=c，其a、b解集互素（或解集基底互素集），b、c解集互素（或解集基底互素集），a、c解集互异，可证a和c解集基底互素的命题成立。因为任意偶数皆可进行互素分割，这是唯一析因定理的一个推论，2t=a+b是全集偶数互素分割方程，其a、b、t的并集囊括了所有素因子，现令b为大于t的奇数，其素因子与t中素因子不同，a与b中的素因子也不同。当c=2t时，c中的素因子是蕴含t中素因子的。a与c是解集互异的，故a、b、t可三分所有素因子集，它们的并集囊括所有素因子，且可令a与b有互异素因子，b与t有互异素因子，b中有的素因子，t就不取，a也不取，t与a互异，则a与t是基底互素的，因为t也含2因子，t与a素因子集等价，故a与c也是基底互素的。

假如a与c非基底互素，可证会出现矛盾，因为非基底互素，且a与c解集互异，本原解方程，互异解集素因子不会完全相同，就等于c中素因子是a中素因子的真子集，或者就等于a中素因子是c中素因子的真子集，令f(a)为a、f(b)为b、f(c)为c的素因子解集，因为f（a）⊊f（c），或者f（c）⊊ f（a），于是f（a）∪f（b）∪f（c）⊊ f（b）∪f（a），或者f（a）∪f（b）∪f（c）⊊ f（b）∪f（c），这就导致，素因子全集f（a）∪f（b）∪f（c）是该集（b）∪f（a）或f（c）∪f（a）的真子集，全集不可能是该全集或其子集的真子集，母鸡毕竟不是该母鸡自己下的蛋孵出来的，这就证明了三元方程两组解集互素第三组互异会增添新素因子，于是可判定此命题为真。

三元方程中不共素因子有传递性，两对有不共素因子，第三对一定彼此有不共素因子。三元方程a+b=c是两两互素的，且a与c是解集互素的，b与c是解集互素的，a与b每次解不同且解集也是互异的，a、b、t的解集之并含所有素因子。则a解集相对于b解集有增添新素因子，或者b解集相对于a解集有增添新素因子，也就是说a与b是基底互素的。另一组也一样。证法同上。可见 三元方程中不共素因子有传递性，两对有不共素因子，第三对一定彼此有不共素因子。 

根据三元方程解集性质，可判定(Uai,Uci)非基底互素的假设是不真的。故c中增添新素因子是每个a和b的基底素因子补元不断筛查所剩的交集。在此前提下，就会导出一个重要性质：

意味着要同所有的a基底互素才能筛查出c中的素因子。c中的素因子同每个a和b中的素因子都是互异集，尤其是针对可表偶数2p，可清晰地判定c中的素因子同每个p是互异集。于是根据摩根律就可得到这样一组表达：

 在a+b=c中，c中首项数的素因子=Cu（a1中的素因子）∩Cu（a2中的素因子）∩Cu（a3中的素因子）∩Cu（a4中的素因子）∩……Cu（an中的素因子）∩Cu（b1中的素因子）∩Cu（b2中的素因子）∩Cu（b3中的素因子）∩Cu（b4中的素因子）∩……Cu（bn中的素因子）。根据摩根律“补的交等于并的补”可得：

c中首项数的素因子=Cu{（a1中的素因子）∪（a2中的素因子）∪（a3中的素因子）∪（a4中的素因子）∪……（an中的素因子）∪b1中的素因子）∪（b2中的素因子）∪（b3中的素因子）∪（b4中的素因子）∪……∪（bn中的素因子）}= Cu全体素因子= Ø。而c没有龙头数，c就没有后继同类数。

下文将证可表偶数2p属于a，当解集c同蕴含全部素因子数的a基底互素时，也就等价于a和c两个解集没有公共因子，因此当a为可表偶数时，gcd(Uai,Uci)=1。

在三元互素方程a+b=c中，a与c，b与c解集互素，a与b互异，则a与b基底互素，总之，有两对解集互素，第三对互异必基底互素。可用相同的思路解决。

3.中位数有不等量（素数）迭代传递

“中位数”定义：两个整数之和的平均值叫中位数。两个奇数（含奇素数）之和的中位数都是整数。比如19和7的中位数是13，21和11的中位数是16。

“共轭奇数”定义：与中位数差值相等的一对奇数叫共轭奇数. 如，27和33是一对共轭奇数，它们的中位数是30。

“共轭素数”定义：与中位数差值相等的一对素数叫共轭素数.其中与中位数差值非0的一对素数叫共轭互异素数。如，3+7=2X5，5+5=2X5，其中3和7，5和5都是与中位数差值相等的共轭素数对，而3和7是共轭互异素数。

中位数判素命题：任意偶数2n与自然数n之间必有素数。

假设2q+2 只能用小于q大于2q+2的素数加其它素数才能构造，那么大数区可排除，仅用小于q的素数相加构造，又不能生成大于q小于2q+2的素数，否则等于间接用到了该区段的素数，导致每次再加一个素数所得到的和，它们的素因子都不在“q~2q+2”的范围内。由于素因子小于q的数进行互素两分，然后相加所得到是数一定会生成新素因子（由三元方程互异解集基底互素定理推得），给定偶数2q+2与共轭奇数对都是解集互素的，因为任意偶数都可以完成互素分割（由偶数互素分割推得），三元方程有两对解集互素，第三对解集互异必基底互素（由三元方程互异解集基底互素性质推得）,并已知共轭奇数是互异的，故加性表达2q+2的共轭奇数一定是基底互素的。但假设却规定较大共轭奇数解集中的素因子都小于中值数q+1，即较大共轭奇数相对较小共轭奇数不会新增素因子，于是产生矛盾，这就归谬证明了，两个小于q+1的素因子数相加无法构造2q+2，从而证明q与2q+2之间必有新增素因子数，由于大于中位数的新增素因子的倍数和更大的素因子数都大于2q+2，所以该新增素因子数必是大于q+1小于2q+2的新增素数，等价于必是大于q小于2q的新增素数，由于最小的奇素数是3，3+2q-1无法得到2q，故可把范围进一步缩小，q与2q-2之间必有增添加新素数。把素数q替换成自然数n也一样成立，因为只要q与2q-2之间必有增添新素数，n与2n-2之间就必有在区段内增添的新素数，于是伯特兰定理获证。

“相邻互素”命题：除0外的自然数必相邻互素，即 m+1=h，m与h必互素。当m解集∩h解集=空集，且m蕴含所有素因子时，m解集与h解集必基底互素亦严格互素。

已知 m、h 是一对相邻自然数，即m+1=h，由于1与m互素，故m与h必互素。 假如其中两项非互素，有公约数可约掉，就会产生整数与真分数相等，于是矛盾。故自然数相邻互素。

在此基础上本定理可通过1.2直接推导成立，m与1全集互素，h与1全集互素，且根据定义m≠h，m+1=h是三元互素方程，故第三对m与h必基底互素。可见递增相邻集是一定会新增素数因子的。

“相邻偶数除以2后必互素”命题：偶数约掉因子2必相邻互素，即2m+2=2h，h与m必互素。如果m解集与h解集互异，m蕴含所有素因子，则m与h也是解集基底互素。

相邻偶数2h与2m约掉2因子后是一对相邻自然数，据上文已证定理，h与m 一定是基底互素的。根据1.4的推论，如果m解集与h解集互异，m蕴含所有素因子，则m与h也是解集基底互素的。因为m、h分别与1解集互素，且互异，故m与h必解集基底互素。

本定理亦可通过前文已证命题直接推导成立，约掉2因子后，就是相邻互素方程，m与1全集互素，h与1全集互素，且根据定义m≠h，m+1=h是三元互素方程，故第三对m与h必基底互素。基底互素，说明单对单数值每次比较有不共素因子，多对多解集通关比较也有不共素因子。通俗地说，两大互异阵营都有对方没有的秘密武器。与可表偶数互异的后继偶数必有增添新素数因子。

4.互异型可表偶数蕴含所有素数因子

定义：除用1外不能等量分割的1的所有后继数叫素数。

为了不循环定义，为了遵守戴德金的倒金字塔定义，我们避开了用自身用整数来定义素数，数学是最反内卷的一门学科，素数须有新的定义。当然与原教科书的定义并不冲突，素数是除1和自身外不能被其它整数整除的整数。把该定义理解成是用小整数来定义大整数是可行的，筛法思路就从此而出。 

“可表偶数”定义：两个任意奇素数p与q互异相加所得到的所有偶数2m（其中存在整数 m＞3）叫可表偶数，也叫基础偶数。

“例外偶数”定义：与可表偶数互异的所有偶数2h叫例外偶数，也叫非基础偶数，是不含基础偶数的通解偶数。例外偶数至今举不出1例。

比如3+5=8，8就是互异型的可表偶数，3+3=6，6就不是互异型的可表偶数，虽然6是可用两素数之和表达的可表偶数，但本文定义的可表偶数不包含6，仅讨论≥8的所有偶数情形，这是为了让可表偶数能顺利地在彼此互素的本原解方程中进行推演，因为互异版的哥德巴赫猜想比欧拉版的更深刻，互异版成立，欧拉版就成立，欧拉版成立，尚不能推出互异版成立。

“互异型可表偶数蕴含所有素数因子”命题：素数二元相加再分解运算在所有奇素数因子集上封闭。

若互异型可表偶数2m=p+q，p、q 为互异奇素数，则p+q中的所有奇素数因子，与p或q中的所有奇素数因子是一样的。左右两边的奇素因子，解集等价。

我们来证明2p是可表偶数，蕴含所有素因子，则2m就蕴含所有素因子。

首先令2m（含2^w）为可表偶数，可表偶数就是能用两互异奇素数之和表达的偶数，2p´为例外偶数，例外偶数就是不能用两互异奇素数之和表达的其它偶数，p、p´为互异奇素数，它们的并集q须囊括所有奇素数和偶素数2。那么必有 2p´+2p=2t（即偶数加偶数仍在偶数的集合里），p´与p作为单素数因子因互异而互素，根据三元方程若两元互素必三元两两互素的性质，p与t必解集基底互素，p´与t必解集互素。为何会解集基底互素？如果全都是可表偶数2p1与2p2相加，其和值是不会与可表偶数解集互素的，因为和值会产生其它可表偶数或其它可表偶数共因子。

但与例外偶数2p´相减就不同了，p´除了与p因互异会解集互素外，p´还与t解集互素也解集基底互素，因较大素数p´在t与2t中，且t不为1因子（伯特兰定理），故龙头例外素数与和值因子t是解集互素的，也是基底互素的。2p可通过三元方程解集互素推论来证明是可表偶数，例外素数p´与可表素数p根据定义是解集互素的，p´与t是解集基底互素的。另外p´+p=t为三元互素方程，且p≠t，因为p是奇数，t是偶数. 于是根据前文推论，p与t是解集基底互素的，如此t就与p和p´皆解集基底互素，根据基底互素的定义，t的龙头数须同每一个p都不一样的增添新素因子，于是t中增添新素数因子要同所有的素因子包括2因子不一样，而p和p’已经囊括了所有的素因子，故t为空集，p’不存在，从而证明了所有的2p都是可表偶数，2p蕴含所有素因子。

用更详细的语言表达就是，由于构造初项t中的新素因子始终要与p及p´累积互素(基底互素)，即同每个p和每个p’相比都有互异因子，其结果，导致要与所有的奇素数p∪p´互异而互素。p1与所有的p´都是互素的，根据整数三元方程两两互素定理，故初项t与p1是基底互素的，t中的新素因子必在p1的互补集里；在与p1互补的基础上，p2与所有的p´都是互素的，故初项t与p2是基底互素的，t中的新素因子必在p2的互补集里；在与p1、p2互补的基础上，p3与所有的p´都是互素的，故初项t与p3是基底互素的，t中的新素因子必在p3的互补集里；在与p1、p2、…，pn互补的基础上，pn与所有的p´都是互素的，故初项t与pn是基底互素的，t中的新素因子必在pn的互补集里。由于基底互素是包含两解集之间有共素因子数的，但共素因子代表重复筛查，不会给补集带来新变化，故可不计，它们都在不共素因子的子集中，只找每项互异因子的补集之交集便可。

同样，初项t与p´1是互素的，t中的新素因子必在p´1的互补集里；在与p´1互补的基础上，p´2与所有的p都是互素的，故初项t与p´2是互素的，t中的新素因子必在p´2的互补集里；在与p´1、p´2互补的基础上，p´3与所有的p都是互素的，故初项t与p´3是互素的，t中的新素因子必在p´3的互补集里；在与p´1、p´2、…，p´n互补的基础上，p´n与所有的p都是互素的，故初项t与p´n是互素的，t中的新素因子必在p´n的互补集里。因互异定义条件，t中的新素因子须重合在不同的补集里，这是集族交运算。于是可得到：

“例外偶数2p´+可表偶数2p=2t”中的新素因子=Cu（p1中的素因子）∩Cu（p2中的素因子）∩Cu（p3中的素因子）∩Cu（p4中的素因子）∩……Cu（pn中的素因子）∩Cu（p´1中的素因子）∩Cu（p´2中的素因子）∩Cu（p´3中的素因子）∩Cu（p´4中的素因子）∩……Cu（p´n中的素因子）。根据摩根律“补的交等于并的补”可得：

“例外偶数2p´+可表偶数2p=2t”中的t素因子=Cu{（p1中的素因子）∪（p2中的素因子）∪（p3中的素因子）∪（p4中的素因子）∪……（pn中的素因子）∪p´1中的素因子）∪（p´2中的素因子）∪（p´3中的素因子）∪（p´4中的素因子）∪……∪（p´n中的素因子）}= Cu全体素因子= Ø。

如此t就没有新奇素因子可构造，加上2p1+2p2 =2^w ，而2^w存在2^3=3+5为可表偶数，t与偶素数2也互异，故例外偶数2p´不存在。从而证明所有素数的两倍所得2p都是可表偶数，皆能用两个互异的奇素数之和表示。从而也证明了，可表偶数集合2m蕴含了所有的素数因子。这就是可表偶数蕴含所有素因子定理的证明。

5.区分关系和相同关系在互异素数分割方程中保真传递

 “任意偶数可互异素数分割命题”定义：笔者把欧拉版哥德巴赫猜想进一步归约为一个更强命题，任何一个大于6的偶数都可以写成2个互异的奇素数之和。互异版哥德巴赫猜想为真，则欧拉版哥德巴赫猜想就为真，反之不能直接推出。 即2n=p+q，n＞3，p和q为互异的奇素数，这就是“任意偶数可互异素数分割命题”。

“例外偶数是空集”命题：例外偶数因无基底解，导致无通解。不蕴含生成元的扩域集是不存在的，抛弃同类中的异类也就等于抛弃自己。

与可表偶数互异存在的例外偶数，因互异而至少有例外偶数首项生成元与可表偶数相邻，例外偶数与可表偶数之间以及例外偶数与不同例外偶数之间，因须首项偶数相邻互素，故始终没有非2公约数，例外偶数首项生成元与可表偶数因互异而必有首项相邻，因相邻而必须m与h基底互素（自然数相邻互素定理已证）。

而上文已证明，可表偶数2m中的m蕴含所有素因子，h既然要与所有的素因子互素，在三元方程m+1=h中，由于解集m与1互素，解集h与1互素，加上根据定义m与h是互异解集，故解集m必与解集h基底互素。也就是说，例外偶数的素数因子被所有基本偶数的素数因子所筛选，从而没有素数来构造它。

h就不存在能超越素数全集的新增素数因子，故首项例外偶数2h中的h无素数因子可构造，因此首项例外偶数2h是空集，偶数0不是空集，既然无首项例外偶数，当然也就不存在后继例外偶数。故例外偶数是空集。

总结下就是，因两类偶数互异，c不等于1，导致例外偶数与可表偶数不但会在素数个数上无穷无漏互异，还会在素数种类上无穷无漏互异。例外偶数通过与可表偶数在两类性质上区分，从而被判定为空集。即可表偶数与例外偶数存在相邻关系和全体互异关系的方程中，2m+2=2m’，故必有：

例外偶数2m’中的新素因子=Cu（m1中的素因子）∩Cu（m2中的素因子）∩Cu（m3中的素因子）∩Cu（m4中的素因子）∩……∩Cu（mi中的素因子）。

根据摩根律“补的交等于并的补”，又因为2p是已证明的可表偶数，蕴含所有素因子.可得：

例外偶数2m’中的新素因子=Cu{（m1中的素因子）∪（m2中的素因子）∪（m3中的素因子）∪（m4中的素因子）∪……∪（mi中的素因子）}= Cu全体素因子 =Ø。

例外偶数2m’中的新素因子为空集，当然例外偶数也就等于空集，即2m’ =Ø。

“任意偶数可互异素数分割”命题的解决方案：不小于 8 的所有偶数皆可表为两互异奇素数之和。

既然用“三元方程互异解集基底互素”定理完成证明了例外偶数2h是空集，根据不小于8的所有偶数2n等于可表偶数2m与例外偶数2h的两类偶数并集，可推得不小于8的所有偶数2n与可表偶数2m是无缝重合，是完全同构的，故不小于8的所有偶数2n也就同可表偶数2m一样，与两互异奇素数之和p+q同构，互异版哥德巴赫猜想到此获证。补上非互异版的 3+3=6，2+2=4，欧拉版的哥德巴赫猜想原题也就获证。

“两素数之差可表偶数”定义：两个任意相邻奇素数p与q相减所得到的所有偶数2m（其中存在整数m＞0）叫可表偶数，也叫基础偶数。

“两素数之差例外偶数”定义：与相邻素数间隔之可表偶数互异的所有偶数2h叫相邻素数间隔之例外偶数，也叫非相邻素数间隔之基础偶数，是不含基础偶数的通解偶数。该类型例外偶数也至今举不出1例。

“两素数之差可表所有偶数”命题：不小于 8 的所有偶数皆可表为两互异奇素数之差。p-q=2n为同构方程，p、q为素数，n为大于1的正整数。

有解决方案如下：三元方程p-q=2m，p-p’=2t（2m为可表偶数，2t≠2m，2t为例外偶数，p，q为所有相邻素数，p’为非相邻素数），可证明例外偶数2t为空集。因为p与q是解集互素的，假如m不含w素因子，那么选取不含w素因子的p和q为互素解集，还可令m与q也是解集互素的（因为可选择先考察这样的解集），2m与p是解集互异的，因为1个偶数1个奇数，于是构造出的可表偶数p-q=2m必有w素因子。理由是，根据三元方程互异解集基底互素命题，三元方程中，在两组解集互素，第三组解集互异的前提下，可推出m必含与p和q互异的w素因子，这与假设矛盾，可见m不含w素因子不真. 可表偶数2m必含所有素因子。

而龙头例外偶数2t=2m+2，因为1与m和t解集互素，t与m互异，同样根据1.4三元方程互异解集基底互素定理可推出t必有与m解集互异的素因子，但m中所含的素因子为全集，故2t为空集。以此证明了“两素数之差例外偶数”的后继偶数也不存在，因此两素数之差可表所有偶数是真命题。

6.0  区分关系和相同关系在相邻素数方程中保真传递

“相邻素数间隔之可表偶数”定义：两个任意相邻奇素数p(n+1)与pn相减所得到的所有偶数2m（其中存在整数m＞0）叫可表偶数，也叫基础偶数。

“相邻素数间隔之例外偶数”定义：与相邻素数间隔之可表偶数互异的所有偶数2h叫相邻素数间隔之例外偶数，也叫非相邻素数间隔之基础偶数，是不含基础偶数的通解偶数。该类型例外偶数也至今举不出1例。

相邻素数间隔可表所有偶数命题：p(n+1)-pn=2k，k为大于0的所有自然数，p(n+1)、pn为相邻素数，该猜想断言，所有的偶数都能用两个相邻素数之差表示。

三元方程p(n+1)-pn=2m，p(n+1)-p’=2t（2m为可表偶数，2t≠2m，2t为例外偶数，p(n+1)，pn为所有相邻素数，p’为非相邻素数），可证明例外偶数2t为空集。因为p(n+1)与pn是解集互素的，假如m不含w素因子，那么选取不含w素因子的p(n+1)和pn为互素解集，还可令m与pn也是解集互素的（因为可选择先考察这样的解集），与p(n+1)是解集互异的，因为1个偶数1个奇数，于是构造出的可表偶数p(n+1)-pn=2m必有w素因子。理由是，根据1.4三元方程互异解集基底互素定理，三元方程中，在两组解集互素，第三组解集互异的前提下，可推出m必含与p(n+1)和pn互异的w素因子，这与假设矛盾，可见m不含w素因子不真。可表偶数2m必含所有素因子。

而龙头例外偶数2t=2m+2，因为1与m和t解集互素，t与m互异，同样根据三元方程互异解集基底互素的判定可推出t必有与m解集互异的素因子，但m中所含的素因子为全集，故2t为空集。可见“相邻素数间隔之例外偶数”的后继偶数也不存在，因此相邻素数间隔可表所有偶数是真命题。

7.0  区分关系和相同关系在等差数组延伸方程中保真传递

“最小素数间隔”定义：间隔差为2的素数对有无穷组。

“间隔差为2的素数对有无穷组”命题：p(n+1)-pn=2，p(n+1)、pn为相邻素数，该命题断言，间隔为2的相邻素数对有无穷多组。

令N为任意给定的正整数，p为大于N的素数，q为大于N的奇数，存在三元互素方程表达如下：p(n+1)-pn=2。

可知2与p(n+1)是解集互素的，2与pn是解集互素的，p(n+1)与pn是解集互异的，根据三元方程互异解集基底互素的判定可推出p(n+1)解集与pn解集是基底互素的，奇数pn相对于素数p必会增添新素因子，可是如果pn始终是合数，新素因子t数乘k后减去p(n+1)所得差值会远远大于2，因为t＞p(n+1)，k≠1，必导致kt-p(n+1)＞2，故大于N的奇数pn只能选择存在素数才能满足该判断，否则与所有素数都有后继奇数相矛盾，于是必有差值等于2的素数对大于任意给定的N。而一旦有这样的素数对，N就可以选择比该素数对更大的整数，同样大于更大N的素数后继奇数对（pn，p(n+1)）仍必有两个都是素数的，否则会与该判定“pn存在大于p(n+1)的新素因子”相矛盾。 欧几里得证明了素数是无穷的，利用该判定找到无穷素数的后继奇数中必有素数可反复进行，N可以任意给定，N可以不断取大于新找到的孪生素数，在大于N的数中可利用该判定继续找到更新最小间隔素数对，这就证明了差值为2的素数对具有无穷组，间隔差为2的素数对有无穷组命题为真。

8.0  区分关系和相同关系在数组延伸方程中保真传递

“间隔差为2k的素数对”性质：间隔差为2k的素数对有无穷组。

“间隔差为任意给定2K的素数对有无穷组”命题：p-q=2k，p、q为间隔差为2k某一确定值的素数对，该命题断言，间隔为2k任意确定值时的素数对有无穷多组。

①根据基底互素思想，可得到如下判定，任意给定的正整数N以内，增加1个以上新素数将无法产生后继等差的偶数；②根据基底互素引理，可得到如下判定，增加0个以上新素数将无法产生后继等差的偶数；③故必有间隔差为2k的素数才能构造任意给定数的无漏的间隔差为2k的偶数；④任意给定的正整数N以外，以上三条仍生效，以上动作可反复进行，故间隔差为2k的素数对有无限组。

令N为任意给定的正整数，p为大于N的素数，q为大于N的奇数，存在三元互素方程表达如下：p-q=2k。

可知每次任意确定的2k与p是解集互素的，每次任意确定的2k与q是解集互素的，p与q是解集互异的，根据三元方程互异解集基底互素的判定可推出p解集与q解集是基底互素的，奇数q相对于素数p必会增添新素因子，可是如果q始终是合数，新素因子t数乘k后减去p所得差值会远远大于2k，因为t＞p，k≠1，必导致kt-p＞2k，故大于N的奇数q只能选择存在素数才能满足该判定，否则与所有素数都有间隔2k的后继奇数相矛盾，于是必有差值等于2k的素数对大于任意给定的N。而一旦有这样的素数对，N就可以选择比该素数对更大的整数，同样大于更大N的素数后继奇数对（p，q）仍必有两个都是素数的，否则会与该判定“q存在大于p的新素因子”相矛盾。 欧几里得证明了素数是无穷的，利用1.4定理找到无穷素数的后继奇数中必有素数可反复进行，N可以任意给定，N可以不断取大于新找到间隔差为定值2k的素数对，在大于N的数中可利用该判定继续找到隔差为定值2k的更新素数对，这就证明了差值为任意确定2k的素数对具有无穷组的命题为真。

9.0  区分关系和相同关系在迭代方程中保真传递

“3x＋1迭代方程”性质：形如f（f（x））=（3x＋1）/2＾k的迭代方程叫考拉兹迭代方程，该方程的性质有，①任意生成元每次迭代解集除1外，不会无限迭代循环；②任意生成元每次迭代解集有限，必有生成对象1。

“奇偶归一”命题：形如f（f（x））=（3x＋1）/2＾k的迭代方程，其中2＾k为3x＋1中的所有2因子，任意生成元所产生的迭代解集“不会循环””不会无限”，即经过有限次互异迭代运算后必有奇数解1。

“3x＋1”问题的神秘在于：一位母亲目送小女儿出去打酱油了，每次母亲都盼着小女儿早点回来，可是不知道小女儿去了哪里打酱油，是否会经过一个老要重复走的迷宫，是否会掉进无限黑洞里再悄然回来，不得而知，甚至是否会回来都不知道。——但基底互素思想可解决这一切。

①迭代方程3x＋1＝2＾k•y，y也是x的解集，取y=f(x)，可得到如下迭代方程：f（f（x））=（3x＋1）/2＾k，(2＾k为每次3x+1迭代函数中的所有2因子)，其中每次迭代生成元x的生成对象f（x）也属于生成元x，那么每次解集一定不会出现循环解。根据基底互素思想，方程3x＋1＝2＾k•y在三项组中，3x与1是解集互素的，2＾k•y与1是解集互素的，3x与2＾k•y是解集互异的，故3x与2＾k•y是基底互素的。要么3与2＾k•y彼此有不共素因子，要么x与2＾k•y彼此有不共素因子，可知3x1＋1＝2＾k•x2，3x2＋1＝2＾k•x3，用前一个方程减去后一个方程，3x1-3x2＝2＾k•x2-2＾k•x2，变换为3x1-(3+2^k)x2＝-2＾k•x3，因为3同(3+2^k)x2是互素的，3x1与x2是互素的，故3x1与(3+2^k)x2是基底互素的，彼此有不共素因子，故x1与2＾k•x3也必是基底互素的，三元互素方程性质决定，故x1与x3是互异的。可见在三元迭代方程每次解集中，x1与x2是互素（或基底互素）故必互异的，x2与x3是互素（或基底互素）故必互异的，于是x1与x3必基底互素；再因为x3与x4是互素（或基底互素）互异的，故x1与x4必基底互素，这说明考拉兹迭代方程每次解集是彼此基底互素的，故彼此互异，我们把它叫着考拉兹迭代方程每次解集具有互异传递性。由此可见，每次x迭代生成的f（x）不是循环解集。只有当f（x）=1时才会生成元与生成对象一致，其他情形f（x）无法产生与x初项相等的数值，因为一旦能产生与初项生成元相同的数值，x解集与f（x）解集就不是基底互素了。故根据基底互素引理，考拉兹迭代方程每次解集x（含f（x））一定没有循环解。1会产生奇数重复解，但不是循环解，尚未构成奇数闭环，1个以上重复才算循环。

除了用基底互素思想可解决外，还有其他解决方案，如果3x＋1＝2＾k无解，则3x＋2＝2＾k，3x＋3＝2＾k也无解，这与“自然数必蕴含2＾k”相矛盾。因为3x＋2＝2＾k，当x为奇数时，方程无解，当x为偶数时，3x＋1＝2＾k是它的本原解方程；而3x＋3＝2＾k，当x为偶数时，方程无解，当x为奇数时，3x＋3＝2＾k为无解方程。故当本原解方程3x＋1＝2＾k无解时，3x＋1＝2＾k，3x＋2＝2＾k，3x＋3＝2＾k等三个方程都无解，这与“自然数n必蕴含2＾k”相矛盾，这样3x＋1＝2＾k必有无限解，因为大于任意给定值后仍有解。由于每次解集的并集包含无数对有自然数1的解，会终止迭代，不会被循环绊住，因解集基底互素，会始终向较小数互异扩展解集，故每次迭代解集连线不会循环延伸，最终会获得2＾k中的迭代奇数解1。

根据基底互素思想，迭代方程累积解x（含f（x））没有循环解＝＞迭代方程3x＋1＝（2＾k）•y，即f（f（x））=（3x＋1）/2＾k，其中x每次迭代生成的f（x）不是无限解集。因为根据x（含f（x））没有循环解，每次迭代解集都是互异扩展的，要求每次解集中的每一个解都有新素数递增，迭代函数要么是总体递减函数（局部有递增递减呈锯齿状），要么是总体递增函数（局部有递增递减呈锯齿状），不会循环平行延伸。假如迭代函数是总体递增函数，那么每次解集就有2倍奇数的无穷数列（形如{2t+1}，t为奇数），形如{2t+1}类的奇数生成元代入（3x＋1）函数会呈递增状。形如{2t+1}的奇数代入（3x＋1）迭代方程不能可持续地产生同类奇数，故解集互异升降不可避免。因为不循环故不存在迭代通项有无限互异解，通项所产生的基底互素因子是有限个的，素数等差数列是有限长的，通项数列是等差数列的等价变换，故通项素数数列也是有限长的，每次迭代解不可能有新素因子无限递增。用有限个素因子做底数和指数所构造出的互异数值也是有限个的，故每次有限次扩展是一定会包含解集1的。解集未确定递减函数会始终不断地向已确定递减函数互异扩展，因为新素数因子递增在通项数列中是有限次的。故每次迭代解集连线不会无限延伸，必会每次经过有限项迭代后最终碰上2＾k中的奇数1，从而终止迭代。

除了用基底互素思想解决外，还可用反证法证明，如果3x1＋1＝2＾k无奇数1解，3xi＋1＝2＾k无奇数1解，则3（xi+1）＋1＝2＾k亦无奇数1解，xi为偶数时都可以变换为奇数来考察，当奇数时的xi做初项代入时无奇数1解，则3（xi+1）＋1＝2＾k亦无奇数1解，因为（xi+1）是偶数，它的奇数部分xi无解，由于其奇数部分是偶数部分的本原解，故它的本原解的通解即偶数部分亦无解，这就推导出3xi＋1＝2＾k为所有初项时都无奇数1解，这与已经证明的结论3x＋1＝2＾k一定有奇数1解相矛盾。从而反证了每次迭代解集不无限。3x1＋1＝2＾k每次迭代一定有奇数1解。故每次迭代解集连线不会无限延伸，最终会获得2＾k中的迭代奇数解1。

用数学归纳法也可得到该结论的，初项百以内的数代入（3x＋1）方程3x1＋1＝2＾k，是一定有奇数1解的，再看当奇数n以内的数代入（3x＋1）方程3xi＋1＝2＾k，是一定有奇数1解时，可推出n+1的数代入（3x＋1）方程3xi＋1＝2＾k，也是一定有奇数1解的。因为n是奇数，n+1就是偶数，它的奇数部分一定小于n，而n以内的数是一定有奇数1解的，这就证明了n+1做初项也是有奇数1解的。n是偶数，n+1就是奇数也有奇数1解，可得到方程3xi＋4＝2＾k，因为3xi＋1＝2＾k有奇数1解，故3x＋1＝2＾k定有奇数1解，x是偶数xi的奇数因子部分，小于偶数xi，因为本原解方程3x＋1＝2＾k定有奇数1解，故它的通解方程3xi＋4＝2＾k的奇数因子部分也定有1解，等价于3（xi＋1）+1＝2＾k也定有奇数1解。从而证明了，当n有1解时候，它的next项也有1解，这就证明n+1做初项也是有奇数1解的。这就用数学归纳法证明了每一次迭代解集都是有奇数1解的。有了1解就会中断迭代，每次迭代解集会奇偶归一，这个结论的证明已无悬念。说明函数递增递减是有限次的。如果递增扩展速度大于递减扩展速度，迭代函数就是发散的，不会有奇数解1，因为每次迭代解集基底互素是有限集，通项每次迭代解集能产生的不共素因子是有限长的，故每次迭代方程解集必有限。有限集就必有奇数解1，可见除用代数方法外，单用逻辑方法也能得到（3x＋1）方程每次迭代必有奇数解1。

可见打酱油的小女孩不会走进不断循环的迷宫，不会误入深不可测的黑洞，原因是基底互素思想决定了有创新机制。它不会被老路拖累，会在已经确定的解集里互异扩展离开出发；它不会被幻觉迷惑，会在已经确定的解集里互异扩展贴近抵达。这一切决定了，考拉兹迭代方程解集不是无限的，因为未确定解总是被确定解关联，从而会被不断互异扩展到已经迭代归一的层层轨道里。这一切都是互异扩展的底层逻辑在推动，它是有中心有次第的。未确证每次迭代解集都定有奇数1解，那迭代运算的路上有没有被“循环”过，有没有被“无限”过，还真不好说。好在解集基底互素的思想，深刻明晰了不循环不无限的原因。不循环是因为每次迭代解集延伸具有互异传递性，不无限是因为每次迭代解集延伸具有互异有限性。

总结下（3x＋1）问题可解的核心思想：

①因基底互素导致三元方程每次迭代解存在互异传递性，故每次迭代解集连线不循环；

②因基底互素导致三元方程每次迭代解存在互异有限性，故每次迭代解集连线不无限。

10.0 区分关系和相同关系在升幂方程中保真传递

“方程有解或无解升幂皆无解”性质：丢番图方程某一特例形式 x^a+y^b ＝ z^c，当 x，y，z 互素，且 a，b，c 均为大于 2 的正整数时没有非零整数解。下文就用三元方程互素性质以及基底互素思想来证明之。

“毕达哥拉斯方程有解或无解升幂皆无解”命题：整数方程 x^a+y^b ＝ z^c，当 x、y、z 互素，a、b、c ＞ 2 时，不存在正整数解。

在x+y=z有整数解的互素方程中，左边加一个w构成升幂方程，得到x+y+w=x^2+y^2,假如w与x+y是互素的，与x^2+y^2是互素的，那么x+y与x^2+y^2也定是互素的，即z与z^2因不等，故也是互素的，但因有公因子，于是矛盾。再假如w与x+y是非互素的，与x^2+y^2也是非互素的，那么x+y与x^2+y^2是非互素的，并且有相同的公因子，即z与z^2是非互素的，有相同的公因子，导致x^2+y^2与z也是非互素的，有公因子，导致x^3+y^3=z^3不是互素方程，于是矛盾。可见x+y=z有整数解方程无论是否有互素w加项，构造升幂方程都能推理出x^2+y^2=z^2方程是无整数解的。

继而可证明，在x^2+y^2=x^2有整数解的互素方程中，左边加一个w构成升幂方程，得到x^2+y^2+w=x^3+y^3,假如w与x^2+y^2是互素的，与x^3+y^3是互素的，那么x^2+y^2与x^3+y^3也定是互素的，即z^2与z^3因不等，故也是互素的，但因有公因子，于是矛盾。再假如w与x^2+y^2是非互素的，与x^3+y^3也是非互素的，那么x^2+y^2与x^3+y^3是非互素的，并且有相同的公因子，即z^2与z^3是非互素的，有相同的公因子，导致x^3+y^3与z^2也是非互素的，有公因子，导致x^3+y^3=z^3不是互素方程，于是矛盾。可见x^2+y^2=z^2有整数解方程无论是否有互素w加项，构造升幂方程都能推理出x^3+y^3=z^3方程是无整数解的。

还可求得毕达哥拉斯方程升幂若有解其非齐次升幂后仍无解，在x^2+y^2=x^2有整数解的互素方程中，左边加一个w构成升幂方程，且令a、b、c＞2，得到x^2+y^2+w=x^a+y^b,假如w与x^2+y^2是互素的，与x^a+y^b是互素的，那么x^2+y^2与x^a+y^b也定是互素的，即z^2与z^c因不等，故也是互素的，但因有公因子，于是矛盾。再假如w与x^2+y^2是非互素的，与x^a+y^b也是非互素的，那么x^2+y^2与x^a+y^b是非互素的，并且有相同的公因子，即z^2与z^c是非互素的，有相同的公因子，导致x^a+y^b与z^2也是非互素的，有公因子，导致x^a+y^b=z^c不是互素方程，于是矛盾。可见x^2+y^2=z^2有整数解方程无论是否有互素w加项，构造非齐次升幂方程都能推理出x^a+y^b=z^c方程是无整数解的。

在a+b=c无整数解的互素方程中，左边自我内积构成升幂方程，得到a^2+b^2=t·c,根据方程无内积本原解即无内积通解，无数乘本原解即无内积通解，取t=c时，a^2+b^2=c^2亦无通解，那为什么会存在毕达哥拉斯方程呢？那是因为c中有素因子t给另一个c构成一个新数tc，而a+b=tc是有解方程，而c/t恰好是a、b内积的本征值，毕达哥拉斯方程其实是a+b=c有整数解互素方程的非升幂方程，变换后成了升幂方程，但不是有解升幂方程，也不是无解升幂方程。那指数大于2后的有解方程非升幂，能变换成升幂方程吗？不能，因为a+b=c存在有整数解互素方程的非升幂型可变换为升幂型得到毕达哥拉斯方程，而x^2+y^2=z^2则不存在有整数解互素方程的非升幂型可变换为升幂型，因为可变换升幂的有解方程x^2+y^2=tz^2不是毕达哥拉斯方程，t和z有互素因子，该方程内积一个本征值z/t能变换为升幂方程，而毕达哥拉斯方程则无法内积和数乘配合成升幂方程，故x^3+y^3=z^3方程无整数解。指数为初项3时的毕达哥拉斯相邻升幂方程到此就得到了解决。

接下来可进一步解决毕达哥拉斯任意升幂方程也可行得。因为a+b=c存在有整数解互素方程的非升幂型可变换为升幂型，而x^2+y^2=z^2则不存在有整数解互素方程的非升幂型可变换为升幂型，因为可变换升幂的有解方程x^2+y^2=t·z^2不是毕达哥拉斯方程，t与z基底互素，有不同素因子，t是z的真子集因子，该方程内积一个本征值(z^c)/t能变换为升幂方程，而毕达哥拉斯方程则无法内积和数乘配合成升幂方程，故x^a+y^b=z^c方程无整数解。加上上文已经证明，x^2+y^2=z^2有整数解方程可推理出升幂方程x^3+y^3=z^3方程是无整数解的，继而升幂方程x^a+y^b=t·z^3方程也是无整数解的，且x^2+y^2=z^2无整数解方程也可推理出升幂方程x^a+y^b=z^c方程也是无整数解的，其中a、b、c＞2时齐次或不齐次升幂方程都是无整数解的。到此毕达哥拉斯任意升幂方程就得到了解决。

毕达哥拉斯任意升幂方程用三元方程两元互素则两两互素的思想（基底互素思想的归约命题）做引理就能获得如此简洁解决，是令人惊喜的。可解核心在于解决了一个反直觉问题，即毕达哥拉斯方程给人的直觉是必存在升幂方程，其实是不存在的，方程无论是否有整数解，升幂后都无整数解的，所谓错觉升幂有整数解，乃是因为本征值碰巧变换所得到的结果，指数大于2时，这种碰巧的机会就没有了。因为毕达哥拉斯方程的齐次性被调整因子t给破坏了，能匹配升幂的基底解方程就不存在了。无论是费马方程还是比尔方程，指数等于3时已经没有整数解了，在此基础上的升幂方程都是没有整数解基底方程的，连调配到方程有基底解的机会都没有了。可见三元方程的互素判定思想太深刻了太基础了，能够解决一些困难问题，一定有独到之处。

到此可总结下“从区分中找共性，从共性找区分”的数学思维规律了。为何此方法可解决难题呢？因为我们常常被固定思维给锁死了，懂得向异类妥协或借鉴，就能柳暗花明。我们的思维结界来自我们的固执，有人要问，如此反复不也毫无新意吗？这就需要听听大哲们说过的话了，要在螺旋中进步，从看山是山，到看上不是山，再到看山还是山，但最后所说的此山除了能蕴含“是山“外还能蕴含”不是山“。有人说该解决方案没见有高深的数学呀。是的，但所有的复杂数学都是从简单数学中排列组合派生出来的，把“一堆简单”用新符号替换，于是就有了复杂数学，本文就是简单数学的另类排列，表面没啥新鲜的。因为没有新符号，也没有新模型，如果要建立新模型发明新符号，不就增加阅读难度了吗？变成复杂数学还是拜托给权威数学家吧，我们只搞数学科普和数学文化传播。在此重申下，若碰巧解决了某些难题，不一定非要学完更多高深数学，也不一定表明笔者就比前辈的水平高。若真要认为是，那就是挑拨离间，互异传递不带是这样判定的，敌人的敌人就是朋友吗？这种逻辑危险。互异传递是带条件的。这正是本文想要表达的新意。（罗莫）

参考文献：

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