原创 黄侯迪常治文刘鑫 物理与工程

摘 要

本专题旨在为感兴趣且学有余力的本科生和低年级研究生提供一条从大学物理到当前二维、三维拓扑新材料研究前沿的学习路径。专题包含两篇，本文是第二篇。基于第一篇回顾过的各种量子霍尔效应及其中的拓扑不变量，本篇介绍多种新材料，包括石墨烯、拓扑绝缘体和拓扑半金属。重点将放在晶格结构的紧束缚模型处理，以蜂窝六角晶格和方晶格为例推导出描述量子反常霍尔效应的两带模型，介绍能带结构与拓扑不变量（陈数、拓扑映射度等）的联系及其所导致的体边对应关系（bulk-boundary correspondence）。其中自旋轨道耦合（spin-orbitcoupling）的写法、哈密顿量的傅里叶（Fourier）变换、能带结构的求解、拓扑不变量及边缘态的计算都有助于夯实初学者的理论基础。另外本篇还将简述不同种类的拓扑半金属的能带结构及其表面态。

关键词石墨烯；拓扑绝缘体；两带模型；拓扑半金属

Abstract

We aim to provide a way for interested undergraduate and postgraduate students to launch from college physics to access the cutting edge of the current international research on two-dimensional and three-dimensional new topological materials. This topic contains two parts, this paper is the second part. Based on the quantum Hall effects (integer, fractional, anomalous, spin) reviewed in the first paper of this topic, we give a brief introduction in this paper to several new topological materials: graphene, topological insulators and topological semimetals. As the examples of the two-band model describing the quantum anomalous Hall effects, we discuss the tight-binding model in graphene and square lattices, with emphasis placed on the relationship between energy bands and topological invariants, as well as the resulting bulk-boundary correspondence. The reader is suggested to strengthen the capability of theoretical calculation by paying attention to spin-orbit coupling, Fourier transform of Hamiltonian, solving energy bands, and the calculation of topological invariants and edge states. Finally a brief introduction to the energy bands and the corresponding surface states are also presented for different types of semimetals.

Key wordsgraphene; topological insulator; two-band model; topological semimetal

本专题的第一篇回顾了各种霍尔效应，将量子力学引入有外磁场的二维电子气体问题，在不同规范条件下得到了朗道（Landau）能级、填充因子等物理量。重点放在如何用物理量来构造数学上的拓扑不变量，挖掘物理量在数学上的内涵（譬如为填充因子赋予陈数、拓扑映射度的意义）。具体内容包括了整数、分数、反常和自旋量子霍尔效应。

本篇则进一步介绍基于上述量子霍尔效应的多种拓扑新材料：石墨烯、拓扑绝缘体和拓扑半金属。这方面的研究是当前凝聚态物理学研究的热点和潮流，不仅具有极高的理论价值，更蕴藏着巨大的应用潜力。例如拓扑绝缘体的无能隙边缘态在未来可用于集成电路的设计；无耗散传输通道的存在将极大地减少发热损耗，提高器件性能。多种拓扑新材料业已走出实验室，走进生产实践甚至大众的生活。

第一篇论文的式(61)用到了所谓的两带模型（Two-bandmodel）

其对应的陈数即填充因子有表达式

该式具有清晰的拓扑涵义，它是从底空间（kx、ky所属的二维布里渊区所形成的轮胎面T2）到像空间（SU(2)群空间，是

所形成的二维单位球面S2）的映射

:T2→S2的拓扑映射度，几何上说是当kx,ky跑遍/覆盖T2一次时，

覆盖S2球面c次。

两带模型可从多种晶格结构中得到，具有普遍的重要性。本篇2.2节（蜂窝六角晶格）和3.2节（方晶格）将为推导这一模型提供范例。本科初学者可以把重心放在如何处理给定晶格的紧束缚模型上，包括自旋轨道耦合的写法、傅里叶变换如何进行，以及如何提炼动量空间的哈密顿量。

1 石墨烯

在实验上实现石墨烯之前，碳只有三种同素异形体：金刚石、石墨和富勒烯（Fullerene，即碳-60、足球烯）。金刚石是三维原子晶体，呈正四面体结构，碳原子间由共价键链接，结构特别稳定。石墨是由碳原子先通过共价键形成二维的蜂窝六角晶格，再由众多的二维层通过较弱的范德瓦尔斯力堆叠在一起。因此层内作用力强，结构稳定；层间作用力弱，结构不稳定，容易滑动离解。富勒烯是由60个碳原子形成的足球状结构，形态固定，性质稳定。石墨烯可认为是从石墨上“揭”下来的二维单层，晶格结构是蜂窝状六角晶格；基于石墨烯还可以构造其他维数的材料，比如卷成圆筒（即筒径远小于筒的线度）形成一维的碳纳米线。

石墨烯在理论研究方面具有很高的价值。早在1947年华莱士（P.R.Wallace）就指出，其六角晶格可导出(2+1)维的狄拉克（Dirac）方程[1]，从而可用于研究“低速的量子电动力学”。人们在实验方面也一直未曾放弃分离出自由的石墨单层的努力，发展出的方法就包括后来Geim-Novoselov课题组取得成功的“胶带纸来回粘撕”的技巧[2]；但一直有两个困难不容易克服。一个困难是单层的二维材料由于热涨落原因极易发生褶皱（读者可联想点燃后的纸张灰烬会缩成一团）而不能自由存在于三维空间，必须找到合适的衬底加以支撑。另一个更大的困难在于，通过胶带纸来回粘撕确可得到很多石墨单层，但它们是淹没在海量的石墨多层当中的。要找到、确定、分析哪些是多层、哪些是单层，需要综合使用普通的光学显微镜和高精度的电子显微镜，对实验技巧的要求极高。Geim-Novoselov组就是突破了这两个难关，尤其是找到了高效的光学显微镜使用方法，才最后分离出碳原子单层即石墨烯。

下面首先介绍石墨烯的蜂窝晶格诱导出的(2+1)维狄拉克方程，然后推导两带模型（从而可实现量子反常霍尔效应），最后概述石墨烯的其他重要物理性质。

1.1 (2+1)维狄拉克方程

图1一个完整的石墨烯晶格包含两种不同的格点类型，分别用空心点（A）和实心点（B）表示。三角形原胞的顶点为三个原胞共有，所以每个原胞A、B格点各一个。初级平移矢量可从si, i=1,2,3，中任选其二，这里取为s1和s2。石墨烯的蜂窝状六角晶格由两套子晶格A、B构成，如图1，其中空心点指代A格点，实心点指代B格点。如按格点种类划分，原胞为三角形原胞只需从图1中红色和蓝色三角形中任选其一。不失一般性，取红色三角形为原胞，s1和s2为基矢，可生成完整晶格。。顶点处的格点为三个原胞共有，因此平均每个原胞含两个格点。取连接最近邻格点的矢量长度为1，从一个B格点到最近邻的三个A格点的单位矢量分别为

是原胞体积。具体是

。这样的二维动量空间，其结构可理解为：第一布里渊区为正六边形，中心有一个格点，如图3所示。

为了产生带隙，人们提出很多方案，下面列举一种作为示例[5]。针对跃迁强度t 引入调整，即一个复标量背景场Δ(r)，使之诱导出一个δtr,i

其中，ig|φ|是诱导出的质量。这就导致色散关系中出现了质量

也就意味着导带和价带之间产生了所需要的能隙。

石墨烯的蜂窝六角晶格可以导出狄拉克方程，这相当于建立起一种“量子电动力学”。这种新体系具有众多优点，参后文“石墨烯的各种新奇性质”。

1.2 蜂窝状晶格暨霍尔丹（Haldane）模型（两带模型算例一）

下面的运算可作为式(1)两带模型的第一个具体算例。读者需要注意的是紧束缚模型及自旋轨道耦合的表达方式和处理办法。

1988年霍尔丹通过交错磁通的蜂窝状晶格提出一个无自旋的理论模型[6]，如图5所示，以期实现零磁场下的量子霍尔效应（即量子反常霍尔效应）。

和ci为格点i处的产生、湮灭算符。ξi=±1表示交错在位能的符号，对A晶格取+M，对B取-M。周期性磁通起到整数量子霍尔效应中的外磁场的作用，使得跃迁参数带上相位

分别用ai和bi表示子晶格A和B中i处的

○最近邻跃迁：

发生在同一原胞内的两个格点之间，跃迁路径为一个完整的原胞，所以t1不受影响，即不会携带额外的相位因子

关于霍尔丹模型另有如下补充信息：

○ 两带模型的推广形式是N带模型：将式(36)写成分量形式是

，其中指标α,β取α,β=1,2，对应的群对称性是SU(2)。将指标范围扩大到α,β=1,2，…,N，就得到N带模型，相应的群对称性是SU(N)。

○ 内部拓扑非平庸的能带结构（bulkstate）对应能隙闭合的边缘态（edge state），这是量子霍尔效应的一个显著特征，称为体边对应。霍尔丹模型的体态具有非平庸陈数c=±1，因此具有一支能隙闭合的边缘态，如图6所示。

○ 在石墨烯的“新量子电动力学（QED）”体系中，等效速度vF具有和光速c同等的地位，vF在数值上是

。这意味着一种“低速的QED”，那么要观察到类似真实QED的现象，难度就大大降低。典型例子包括势垒穿透（Klein佯谬）和抖动效应（Zitterbewegung），它们在粒子物理中很难观测到。

势垒穿透指相对论性的粒子可以穿过任意高度和宽度的势垒。理论上预期，此实验在石墨烯中会很容易进行。其中的相对论效果表现在：充分高的势垒对电子是排斥作用，而对正电子则为吸引作用，从而势垒内部会出现正电子态。这反映出非相对论和相对论量子力学的区别(在非相对论量子力学中测不准原理只限制到“不能同时测量电子的位置和动量”；但在量子力学中甚至完全不能测量电子的位置，任何精度都不行。因为一旦测量（某种意义设置了一个势垒）就将从真空中制造出若干电子正电子对。这会导致无法分辨何者为电子，何者为新产生的电子。)。抖动效应这一特殊运动方式发生在电子（正能态）波包和正电子（负能态）波包的交界上(“抖动”的产生是由于相对论性粒子的波函数不可能被限制在一个小于其量子电动力学特征尺度即康普顿波长的空间里。为解释这一点，狄拉克引入了负能态的概念（负能态后来被解释为反粒子）。在相对论速度下运动的电子能够孕育出它自己的反粒子，而它和自己反粒子之间的相互作用使得电子的运动路径发生抖动。)。通常“抖动”发生得非常快，不可能观察到；但是在固体中，“反粒子”是空穴，它是电子留下的空位。所以当狄拉克费米子在石墨烯中被禁闭住的时候，抖动效应可以解释为电子和空穴态的混合。在石墨烯中，由于狄拉克费米子的康普顿波长是纳米量级，在高分辨率显微镜下它可能将抖动效应表现出来。

○ 相对于真实自旋，由“赝”自旋诱导的效应更加明显。在石墨烯的QED中也可以引进“手征”，它形式上是σ在运动方向k上的投影。对电子而言，投影为“+”；对空穴而言，投影为“-”。电子态和空穴态起源于相同子晶格，其间联系错综复杂，必须用手征描述。

○ 石墨烯中的手征量子霍尔效应是整数量子霍尔效应的相对论推广；既不是标准的整数量子霍尔效应，又不是新的分数量子霍尔效应。其反常序列被理解为：产生于有磁场存在时的石墨烯电子谱的量子电动力学，公式为

其中，±分别指电子和空穴。在E=0处出现的量子化能级既有电子的也有空穴的；那些能级的存在可作为理论根据解释量子反常霍尔效应的序列。

○ 双层石墨烯中同样会出现量子反常霍尔效应，在狄拉克点附近体现金属性。哈密顿量为

结合起来。这种有质量狄拉克费米子的朗道量子化写作

其中，ω为回旋频率。值得注意的是，双层石墨烯的电子能带结构对电场效应异常敏感、反应特别显著。如果使用SiO2提供电介质导带、价带之间的能隙ΔE，它可以连续地从0变到约0.3eV。

○ 在石墨烯中，当掺杂密度n高达1012cm-2并且器件同时电掺杂和化学掺杂时，电子迁移率μ都能够保持较高的取值。这一点使得在石墨烯中有望形成室温条件下亚微米尺度（0.3μm）的“弹道输运”（ballistic transport，即载流子的大批量输运）。

○ 光学性质：石墨烯独特的单原子层具有惊人的不透光性。实验表明，它能吸收πα=2.3%的白光，其中

是精细结构常数。

○ 热学性质：石墨烯在室温下的热传导率可达到(4.84±0.44)×103~(5.30±0.48)×103W·m-1·K-1。用不同方法测定的值都超过了碳纳米管或钻石。

石墨烯有三个声学支，即三个声子模式。其中两个为二维面内模式，是线性色散关系（相对论性）；剩下一个为二维面外模式，色散关系是二次即非相对论性的。因此，前两个面内模式的T2型热传导贡献在低温下被

型的面外模式盖过。

石墨烯的弹道热传导是各向异性的。

○ 力学性质：利用原子力显微镜（AFM）可以测出悬浮的石墨烯面的弹性常数。测量结果表明弹性常数的数量级是1.5N·m-1，而杨氏模量达到了0.5TPa。这些值都高于三维石墨，因此石墨烯非常结实，可以用来制造压力传感器（pressure sensors）和共振仪（resonators）等。

近年来以碳的同族元素以及相邻元素生成的二维烯晶格结构也取得了令人瞩目的进展。北航中科院物理所澳大利亚卧龙岗大学联合课题组在实验上获得突破，首次生长出了硅烯、锗烯和硼烯等具有半金属/金属性的二维烯量子功能材料，观察到由层间转角引起的范霍夫奇点（van Hove singularities）等量子特征，为精准调节二维烯的电子态密度提供了简单易行的方法。新材料具有化学稳定性好、电子态可调以及强层间相互作用等特点，有望成为一个新的量子材料研究领域[9,10]。

石墨烯成为了现代科技发展的一种重要的二维纳米材料，有着优异的光学、力学、电学性质，甚至对量子科技的研发也会有所帮助。在生物医药、能源加工、环境生态方面也有望做出大的贡献，被认为是一种革命性的材料。

2 拓扑绝缘体

拓扑绝缘体的思想最初始自量子自旋霍尔效应。但随着理论的不断发展，现已拓展为一个十分宽泛的概念，受到对称性保护的拓扑态都可以泛称为拓扑绝缘体。它与普通绝缘体的不同之处在于能带结构：普通绝缘体的能带结构包括填满电子的价带与未填满的导带，以及居于二者之间的能隙。对于不同种材料其能隙宽度不同，导致不同性质；拓扑绝缘体是一种处于量子物质状态的材料，其体内是绝缘态，边界是导体态。对一维拓扑绝缘体而言，能隙闭合，形成通路；二维拓扑绝缘体的边缘是一维的线，在该处能隙闭合，具有导电性；三维拓扑绝缘体的边缘是二维的面，在该处能隙闭合，具有导电性。

拓扑绝缘体的独特电子特性为制做室温下的低能耗自旋电子器件提供了可能性，使之成为电子技术发展的重要推动力量。寻找新型的具有大带隙（体内电子态）、高化学惰性、高热稳定性的强拓扑绝缘体是材料领域的重要问题之一。预测和探索基于自旋轨道相互作用的拓扑绝缘电子相成为凝聚态物理的一个全新领域。

2.1 历史进程

首个二维拓扑绝缘体的理论模型是凯恩（Kane）和迈乐（Mele）所预言的

绝缘体[11,12]，其拓扑性由

不变量表征：

=1对应拓扑绝缘体，

=0对应普通绝缘体。但实验上未能用石墨烯首先实现拓扑绝缘体，是因为碳是轻元素，其自旋轨道相互作用较弱，能隙不够大。于是人们尝试在重元素中去寻找量子自旋霍尔绝缘体材料。2006年张首晟等人选择HgTe量子势阱结构来实现拓扑绝缘体[13]，原理是：在无外磁场情况下，自旋不同的电子会分别沿边界向不同的方向传播并成对出现，从而产生量子自旋霍尔效应，如图7所示；一旦加上强磁场，时间反演对称性就会破坏，量子自旋霍尔效应也将消失。

2.2 方晶格中的量子反常霍尔效应（两带模型算例二）

本节将为两带模型式(1)提供第二个示例。读者需要注意的是紧束缚模型以及自旋轨道耦合的表达方式和处理办法。

正方晶格有两个互相垂直的基矢，a1=(0,1)l,a2=(1,0)l，为了计算方便取晶格常数l=1，如图8所示。

和c分别为产生、湮灭算符。m是在位能（on-site energy），所起的作用是在能带结构中打开能隙。利用傅里叶变换

的填充因子ν，即陈数或拓扑映射度c

如前所述，拓扑绝缘体在内部具有较大能隙，处于绝缘态；此时若能带具有非平庸拓扑，则对应有能隙闭合的边缘态，即所谓的体边对应。在上述方晶格模型中，当-2

。

不失一般性，假设晶格在x方向长度为L，则x=0和x=L处将各出现一支边缘态。由于y方向仍具有良好的周期性，因此可定义一维傅里叶变换

人们期待实现室温下的陈绝缘体态或量子反常霍尔效应，在真正意义上构筑无能量耗散的信息高速公路。

2.4 三维拓扑绝缘体

三维拓扑绝缘体领域也取得了重要的进展。2006年三个课题组独立发现三维的量子自旋霍尔绝缘体具有自然一般化的拓扑特性[21-23]，首次用“拓扑绝缘体”这个词来描述该电子态[22]；付亮等人建立起三维体拓扑序与独特的二维导电表面态之间的联系，随后预言在一些真实的物质中会存在这种电子态[21]。

实验上，2008年报告了第一款三维拓扑绝缘体Bix-1Sbx的发现过程[24]。利用角分辨光电子能谱（ARPES）测定了它的表面能带图谱，发现其表面结构比较复杂且能隙较小[25]这促使人们寻找有大能隙和简单表面光谱结构的第二代三维拓扑绝缘体材料。同年，实验分析和理论计算表明Bi2Se3亦是一款三维拓扑绝缘体，其表面有单独的狄拉克锥[26]。与此同时，中科院物理所/北京凝聚态国家实验室斯坦福大学联合课题组合作完成了相应的理论工作，指出不仅Bi2Se3，类似的Bi2Te3和Sb2Te3也是三维拓扑绝缘体，并且Bi2Se3系列更可能在实验中成为比Bix-1Sbx更好的参考材料[27]。

Bi2Se3族的非平庸拓扑性来自不同宇称的两轨道之间的能带反转，由Bi和Se中较强的自旋轨道耦合导致。需要说明，Bi2Se3、Bi2Te3和Sb2Te3只在Γ点处有能带反转，因而是较强的拓扑绝缘体。这里“强”和“弱”只是理论上的一种区分，并不代表实际应用中电流的强弱。实际上，弱拓扑绝缘体是二维拓扑绝缘体沿层间方向的叠加，本质上仍是二维拓扑绝缘体。其上的自旋电流被限制在材料的侧表面并沿一个方向传播，电流和自旋的方向锁定，保证它不会被非磁性的杂质散射，因此不会出现能量损耗，非常适合于自旋电子学器件。而强拓扑绝缘体在任意表面都具有自旋分辨的狄拉克锥，会产生各个方向的自旋电流；其中一部分会发生散射，造成能量损耗。如果材料表面态只包含一个狄拉克锥，则被称为最简单的强拓扑绝缘体，其简单性为理论研究提供了很好的平台。以Bi2Se3为例，其拓扑性质由Γ点附近的电子结构决定，可以构造一个以(|P1+z,↑〉,|P2-z,↑〉,|P1+z,↓〉,|P2-z,↓〉)为基矢的有效哈密顿量HTI来描述系统的低能长波特性。根据 Bi2Se3晶体所具有的时间反演、中心反射和关于z轴的C3点群对称性，当保留到k的二次项时，可以得到相应的HTI[27,28]

三维拓扑绝缘体最重要的性质是存在受拓扑保护的二维无能隙表面态。利用上面给出的有效模型哈密顿量式(59)，设z>0的半空间为拓扑绝缘体，仿照二维拓扑绝缘体边缘态的求法，可得三维拓扑绝缘体的二维表面态的有效哈密顿量[27,28]

半金属的概念是从能带论角度观察的产物，如图13所示：

○ 金属态，导带与价带完全相连，无带隙；

○ 绝缘态，导带与价带之间带隙较大；

○ 半导体，导带与价带带隙较小；

○ 半金属，处于导体和半导体之间。虽无带隙，但是导带与价带的连接不如金属态紧密，只在一些特定位置接触。

○ 点接触，称为点半金属：包括狄拉克半金属和外尔（Weyl）半金属；

○ 线接触，称为节线半金属：接触线有节线、节环（Nodal Ring）、节结（Nodal Knot）等不同名称。

半金属的能带交叉简并点位于费米面上，其电子结构可以导致非平庸的拓扑学行为。以下的讨论详见[28]。

3.1 三种费米子：狄拉克，外尔和马约拉纳

在粒子物理标准模型中，因受洛伦兹（Lorentz）协变性限制，只存在三种类型的费米子：

○ 狄拉克费米子：质量非零，电荷非零；

○ 外尔费米子：质量为零，电荷非零；

○ 马约拉纳费米子：质量非零，电荷为零，且正粒子同时也是自己的反粒子。

自由空间中是否存在外尔和马约拉纳费米子，在粒子物理领域至今尚无实验确证；但在凝聚态物理学特别是拓扑新材料领域，由于可以产生等效的狄拉克方程、外尔方程和马约拉纳方程，就可为研究这三类费米子提供恰当的舞台。

特别指出，上述三种费米子究其根源都是狄拉克方程的解，之所以不同乃是源于γ-矩阵（数学上讲是克利福德代数

的元素）取了不同的矩阵表示(这里需要解释：物理规律反映现实世界，用不同数学工具的表达之下呈现不同的样貌。用分析工具处理，就是微分方程；用代数工具，就是某种代数关系（比如某种对易关系）。在代数语境下求某种代数的表示，就相当于在分析的语境下求解微分方程。这就不难理解，对γ-矩阵取不同的表示，意味着讨论不同类型解的性质。)。

下面先按量子电动力学（QED）惯例给出这三个方程及其所对应的费米子，然后转到凝聚态物理学领域研究其具体实现。

1） 狄拉克费米子

将狭义相对论的质能方程直接翻译到量子力

2） 外尔费米子

对γ-矩阵取外尔表示（手征表示）

由于正、反粒子相同，所以它只有常规狄拉克费米子（如电子）的一半自由度；从而在适当的场合，一个电子可能被劈裂为两个马约拉纳费米子。

3.2 在凝聚态物理领域找寻外尔、马约拉纳费米子；外尔半金属

多年以来粒子物理实验一直未能观测到外尔费米子，因此人们期待其他领域能够提供新的思路和观测途径。1984年贝利（Berry）指出[30]，晶格动量空间中的能级交叉点是由贝利曲率定义的规范场的磁单极子。其磁荷就是通过包裹该能级交叉点的费米面的磁通量子数，而在交叉点附近〖HJ46x〗电子的低能激发就是外尔费米子，不同磁荷对应着不同的手征性。进一步，如果找到一类特别的金属，其低能电子激发行为可用两分量狄拉克方程即外尔方程来描述，则这样的材料就可称为外尔半金属。它虽然没有能隙，但仍然具有拓扑非平庸行为，同时线性色散关系具有相对论性电子体系的特征。外尔半金属中的低能激发是外尔费米子，有两个重要性质：手征反常和负磁致电阻。

零质量狄拉克费米子可当成一对手征相反的外尔费米子的叠加，狄拉克情形可以破缺（塌缩）到外尔情形，如图14所示。外尔半金属的能带结构中存在导带与价带的交点，称为外尔节点（node）或外尔点，是由能级的偶然简并所形成。与二维的碳单层有所不同，在三维空间中，外尔点属于一种非常稳定的拓扑结构，不会因为受到微扰而打开能隙。外尔点一般位于费米面上，费米面缩小为费米点，能隙为零，具有线性色散关系。但其表面能带结构的费米面不闭合，是开放的一段弧线，称为费米弧（arc），相当于连接两个手征相反的外尔点在表面的投影如图14（b）。其中选择K0为截面是为了制造边界，费米弧只存在于边界上。

是能隙关闭的节点，来源于拓扑性。当E=0（即能隙为0）时，由两带模型

一般地，在外尔点附近哈密顿量可以写成粒子物理中外尔费米子的更一般形式

3.3 节线（Nodal line）半金属

节线半金属在2011年由首次提出[34]，特点是在三维动量空间中，价带和导带接触的部分不是孤立的零维点，而是连续的一维曲线，如图16(a)所示。其存在受对称性保护；相应地，存在受拓扑保护的、平坦的二维“鼓面”状表面态，后者具有异常大的表面态密度。由于对称性破缺，节线处的能隙会完全打开，或变成独立的能带简并点。节线在布里渊区内可以形成多种拓扑结构，如简单的独立闭环，多个环相互交叠、嵌套形成的链环等，如图16(b)所示。

以下给出一些理论方面的讨论。节线由相邻的两个能带接触形成，故可在两带模型式(1)的框架下研究[37]。为简单起见取ε=0，同时PT对称性

本专题的目的是为学有余力的本科生和低年级研究生搭建一座桥梁，连接起大学物理和当前低维拓扑新材料研究的前沿，帮助其进入量子霍尔效应这个凝聚态物理的热点方向。我们鼓励学生灵活运用学过的电动力学、量子力学、固体物理知识，拓宽视野，探索课堂以外的新领域。

本文是专题的第二篇。第一部分从石墨烯晶格结构中导出了(2+1)维狄拉克方程，相当于建立起一种低速“量子电动力学”。真实粒子物理中不易观测到的现象（如势垒穿透、抖动效应等）在该体系下的观测难度就会大大降低。在石墨烯晶格中加入周期性磁通，时间反演对称性发生破缺，即可实现量子反常霍尔效应。此外，石墨烯具有良好的热学、光学、力学性质，有望成为新的量子材料研究领域。理论基础方面，在蜂窝状六角晶格中推导出第一篇中给出的两带模型，这提供了该模型的第一个范例。

第二部分在方晶格中导出了两带模型，给出第二个范例。过程中展示了内部具有能隙、但拓扑非平庸的能带结构所导致的无能隙边缘态，从而帮助读者加深对量子反常霍尔效应的理解。其中自旋轨道耦合的写法、紧束缚模型的处理、傅里叶变换、边缘态的计算等都值得关注。这部分最后一节简述了三维拓扑绝缘体。

第三部分介绍了拓扑半金属。首先是分类：狄拉克半金属、外尔半金属、节线半金属。其中狄拉克半金属可通过破缺对称性得到外尔半金属。与拓扑绝缘体不同，半金属在布里渊区内无能隙，能带接触点位于费米面上，使费米面缩小为孤立的费米点。表面态为一段开放的费米弧。如果价带和导带的接触部分是一维的曲线，则形成节线半金属，其表面具有二维平坦的“鼓膜”状表面态。

在本篇的行文中我们把重点放在了公式体系的搭建上（而非文字叙述），力求按部就班，助力学生夯实理论基础。希望本文能够帮助感兴趣的同学进入这一凝聚态物理的热点领域。

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基金项目: 北京市自然科学基金重点项目（Z180007）；国家自然科学基金（11572005）。

通讯作者: 刘鑫，男，北京工业大学教授，主要从事理论物理领域的研究工作，研究方向为拓扑经典与量子场论，xin.liu@bjut.edu.cn。

引文格式: 黄侯迪，常治文，刘鑫. 拓扑新材料研究前沿的理论基础导引Ⅱ：多种拓扑材料[J]. 物理与工程，2023，33（1）：172-188.

Cite this article: HUANG H D, CHANG Z W, LIU X. Introduction to basics of new topological material research Ⅱ: Various topological materials[J]. Physics and Engineering, 2023， 33（1）：172-188. (in Chinese)

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原标题：《拓扑新材料研究前沿的理论基础导引Ⅱ：多种拓扑材料》