近独立子系系统的统计规律(三)——正则分布函数及能量涨落公式

原创李洪芳陈伟康等物理与工程收录于合集 #近独立子系系统的统计规律 4个

编委刘全慧教授导读

近日，“全国物理基础课程教育研讨会“微信群有老师问道，复旦大学钟万蘅老师课题组曾经研究过少数经典自由粒子的分布函数问题并发表了系列论文，问有无老师记得文章的结论。尽管教科书中不太讨论少数经典自由粒子的分布函数这一问题，对于研究人员来说，这个问题有两个清晰的结论：1，一般而言，由于少粒子系统有所谓的系综不等价性，不同的物理条件下，分布函数不同；2，最简单的情况是，保持系统和一个热库接触，一个自由分子系统的分布函数和大量分子的分布函数形式相同。但是，群里几乎没有老师熟悉钟老师课题组的工作，也不熟悉上面的两个结论。很抱歉我也不熟悉，不清楚他们的研究是否支持这两个结论。于是，我把他们在《大学物理》上发表的四篇文章读了一遍，发现完全支持这两个结论。除此之外，文章内容丰富，结果很有启发性，可以作为我国教学研究论文的代表性工作。可惜的是，不可多得的好文章却几乎没有流量且无人引用，十分可惜。钟老师课题组在发表了第一、二篇论文之后，在《物理与工程》上发表了一个简短的综述。特建议《物理与工程》公众号刊发这五篇文章。

他们研究的是统计物理中的一个基础性问题，称之为硬球系统。对这种系统，对同一个量(例如位置、动量、能量)的分布函数，有两种统计，一个来自于力学统计(主要来自分子动力学模拟，体现为数值结果)，一个来自统计物理。问题是，这两个统计的结果是否一样? 研究的对象可以是自由粒子，自由粒子中有玻色子、费米子和经典粒子区别，可以是具有相互作用的系统，等等。钟老师课题组研究的是经典自由粒子系统。他们的结论是：对于孤立系中的一个经典自由粒子分布函数，力学统计和统计物理的分布函数，他们的结论是一样的。我个人认为，结论可以保守一点：至少两个分布函数的领头项一样。注意，这两个分布函数，是所谓少粒子系统的分布函数，不是通常的麦克斯韦分布。当粒子数越来越多的时候，他们的结果趋近于麦克斯韦分布。且只有对于多粒子系统，才可以定义温度。

这一问题，已经存在一个半世纪，至今依然位居统计物理的中心，是物理学中连下金蛋的一只仙鹅。属于一两句话就可以说清楚，但是非常难以理解且常研常新的极少数物理学难题。力学统计就力学结果进行数学上的统计，不在牛顿力学中引入其它的假设；但是统计物理只有一个等概率原理，要求系统具有本质上的随机性。如果统计物理中给出的分布函数和力学统计给出的分布函数一样，就意味力学系统有内在的随机性。那么，这个随机性的起源何在？钟老师课题组第一、二篇文章研究的问题，1996年才由北京师范大学郑志刚、胡岗小组解决，并获得了基本相同结论，文章参见：Zhigang Zheng, Gang Hu, and Juyuan Zhang, Phys. Rev. E, 53(1996)3246。而在教学层面进行研究，钟老师课题组是独立进行的，视角也不同，价值不言而喻。

钟老师课题组第三、四篇两篇文章研究的问题是，如果把硬球系统分成两部分，一部分作为库，一部分作为系统。两部分的粒子数都有限的时候，结果和第一二篇论文的结论类似。如果库中的粒子数无限，再问系统的粒子数对于能量的分布函数，结果就是多粒子系统的分布函数，不过粒子数取有限大小而已。而这个问题的普遍性解决，2022年才完成，论文参见：Q. H. Liu, Annals of Physics, 441(2022)168884。

把第二和第三篇论文的两个结果进行横向比较，非常具有启发性。孤立系中是否有涨落，是一个有待提炼的问题。第二篇论文给出了微正则系综少粒子系统的分布函数，也就可以对其中单个粒子的分布函数求出的能量涨落(参见《物理与工程》文章中的（10）式)；第三篇论文研究了正则系综中的单个粒子的能量涨落(参见第三篇文章（34）式且让N_1=1)，二者结果一样。也就是说，盯住微正则系综中的一个粒子，其行为和把其它粒子视为库的结果一样。

同一个物理对象，有两个统计，一个来自于力学统计，一个来自统计物理。这二者之间的分别和联系，直接和我们对自然界的本性的理解相关。利用少粒子系统来进行比较研究，不仅仅有其基础意义，也应用价值，还有哲学价值。因此，通过热力学和统计物理的学习和研究，不仅可以直接进入这个前沿领域，而且是进入物理学殿堂的一条捷径。

编者按

复旦大学钟万蘅老师课题组一共有五篇论文，本文是重新刊发系列中的第四篇。原文：李洪芳陈伟康罗胤顾群钟万蘅，近独立子系系统的统计规律（三）——正则分布函数及能量涨落公式，大学物理，2009, 28 (5): 1-5, 13.

我们曾在一年多之前发表过 2篇文章[1，2]，一是对二维近独立子系系统粒子的运动进行了计算机模拟；另一是从微正则系统理论出发，导出了任意数目粒子构成的近独立子系系统的分布函数。对于由任意数目刚性粒子构成的两个系统1和2，若它们之间是近独立的，则由系综理论可以导出系统 1中粒子按能量或速率的分布函数；当系统 2的粒子数趋于无穷大时，就成为一个热源，系统 1的分布函数就是玻尔兹曼分布，但这时系统 1的粒子数是任意的。当系统 1的粒子数为 1时，该分布函数就可用来描述布朗粒子的运动情况。由系统 1的分布函数可以导出系统的能量涨落公式。对这些分布函数及能量涨落公式，我们通过计算机模拟都一一得到了证明。

1 任意数目刚性粒子构成的二维力学系统的正则分布

为了与计算机模拟实验的结果相比较，这里首先用吉布斯的正则系综理论讨论二维力学系统，导出各种分布函数。

设两个力学系统，它们分别具有质量为ｍ1和ｍ2、数目为Ｎ1和Ｎ2的粒子，两个系统的面积分别为Ａ1和Ａ2，能量为Ｅ1和Ｅ2，则总系统的能量Ｅ和粒子数Ｎ为

根据微正则系综理论，在 4Ｎ维的 Γ空间中，总系统的分布函数 ρ在等能面上为常数。力学量ｕ的平均值为[2，3]

（3）

式中 Ω（Ｅ）为总系统的相体积，ｄΩ为相体积元，其中

（4）

对于与系统 1有关的力学量ｕ1的统计平均值为

（5）

所以得

（6）

因为

将上述各式代入式（6）得

（13）

设系统 1中任一个粒子按能量的分布函数为ρ1（ε1），由于

（14）

所以

（15）

即

（16）

当Ｎ2→∞时，系统 2可以看成是一个温度为Ｔ的热源，则总系统达到平衡时，Ｅ＝Ｅ1＋Ｅ2＝Ｅ1＋Ｎ2ｋＴ。式（13）变成

（17）

式（16）变成

（18）

由上式可以看到，当一个布朗粒子与热源（例如理想气体系统）达到平衡时，其按能量分布是玻尔兹曼分布，它的平均能量

（19）

即与热源粒子的平均能量相等。

2 三维近独立子系系统的正则分布

设粒子数分别为Ｎ1和Ｎ2、能量分别为Ｅ1和Ｅ2、体积分别为Ｖ1和Ｖ2的两个近独立的力学系统，总系统是孤立系，其能量和粒子数分别为

Ｅ＝Ｅ1＋Ｅ2，Ｎ＝Ｎ1＋Ｎ2

在 6Ｎ维的 Γ空间中，在Ｈ≤Ｅ的等能面上，系统 1的密度分布 ρ1由式（6）给出

（20）

不难算得

（23）

将式（21）、（22）及（23）代入式（20）得

（24）

系统 1的力学量ｕ1（ε）的统计平均值为

（25）

由上式积分可得

（26）

式（26）表示系统 1中任何一个粒子按能量的分布。不难证明，当Ｎ1个粒子的质量不同时，只要将式（24）中的ｍ1Ｎ1改成

即可，而任何一个粒子按能量的分布仍为式（26）。

当Ｎ2→∞，即Ｎ＝Ｎ1＋Ｎ2→∞时，式（24）和式（26）分别为

上两式都可以用来讨论理想气体中布朗粒子的运动求得布朗粒子的平均平动能为

。

3 系统 1的能量涨落

3.1 三维情况

因为

，所以

（29）

由式（26）可求得

所以系统 1的能量相对涨落为

（34）

当Ｎ2→∞即Ｎ＝Ｎ1＋Ｎ2→∞时,

（35）

当Ｎ1＝1时,

。这表明一个布朗粒子的平动动能的相对涨落为

。这可以用计算机模拟实验来证明。

3.2 二维情况

采用与三维情况类似的方法,可导出二维情况下系统 1的能量相对涨落公式为

（36）

4 分布函数及能量涨落计算机模拟的几个例子

对于由不同质量的粒子构成的近独立子系系统中粒子按能量和速率的分布，以及粒子能量的涨落，我们利用刚球模型进行了大量的计算机模拟，所得结果与上面的理论完全相符，以下是其中的几个例子。

在面积为Ａ的容器内放置Ｎ个刚性粒子，其中Ｎ1个粒子的质量为ｍ1，Ｎ2个粒子的质量为ｍ2。这些粒子以相同的初始能量 ε0（或初速率ｖ0）向任意方向运动，按牛顿定律碰撞。每隔Δｔ时间对每个粒子的速度进行测量，将长时间的测量结果进行统计平均，便可得到总系统和子系统的能量和速率的分布曲线。按照能量涨落的定义还可算出子系统的能量涨落。这里我们将质量为ｍ1的粒子设为系统 1，质量为ｍ2的粒子设为系统 2，ｍ1＝4ｍ2。并取Ｎ1＝1，Ｎ2＝1，2，9，999。总系统的粒子数Ｎ＝Ｎ1＋Ｎ2。计算机模拟得到的结果如下。

4.1 二维分布函数

图 1至图 8给出了由计算机模拟得到的二维情况下粒子按能量和速率的分布。其中能量分布图的横坐标为能量 ε／ε0，纵坐标为

，这里Ｎ′为测量次数乘以系统的粒子数Ｎ，ΔＮ′为测得的粒子能量处于 ε→ε＋Δε范围中的次数。速率分布图的纵坐标为

，这里 ΔＮ′为测得的粒子速率处于ｖ→ｖ＋Δｖ范围中的次数。总系统中的粒子按能量和速率的分布如图中的直方图所示，实线为它的理论曲线。图中三角形点线代表系统 1；圆圈代表系统 2。

4.2 三维分布函数

三维情况下的计算机模拟和二维类似，这里仅给出Ｎ＝2和Ｎ＝50时的模拟结果（图 9—图 12）。

由以上模拟可以看出，系统 1和系统 2中的粒子虽然它们的质量相差4倍，但它们按能量的分布仅由总系统的粒子数Ｎ决定，而和粒子的质量无关。系统 1中的粒子（布朗粒子）的平均平动能与系统 2中的相等，这不仅对大量粒子系统成立，而且对少粒子系统也成立。但是粒子按速率的分布不仅和系统的粒子数有关还和粒子的质量有关，当Ｎ1和Ｎ2相差很大时，例如图8所示的情况，Ｎ1／Ｎ2＝1／999，总系统的分布与系统 2的分布基本一致，实际上如图12所示，在Ｎ1与Ｎ2相差50倍左右时这两个分布的差别在图上已经很难区分了。也就是说，在一个粒子较多的系统中加入少量质量不同的布朗粒子，并不影响系统粒子原来的分布。

4.3 能量涨落

图 13—图 16给出了Ｎ＝10的总系统中系统 1的能量涨落ｆ,其中ｆ随时间ｔ（或测量次数）的变化如图 13（二维）和图 15（三维）中的曲线所示，从上至下，系统1的粒子数依次为Ｎ1＝1、2、3、4、5、6、7、8和 9。它们是根据公式

算出的。图 14（二维）和图 16（三维）给出了系统的能量涨落和系统粒子数的关系，图中的小方点是经过 5×107次的测量后统计平均所得的ｆ值。斜线是根据式（36）和式（34）算得的理论曲线。