为什么我们的太阳系是稳定的？

以下文章来源于京师物理，作者刘宁/译

京师物理.

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一种新理论解释了为什么我们的行星可以在超长的时间尺度下避免碰撞，这远比行星稳定性理论所预测的标准时间长得多。

BernardH/CC BY-SA 3.0/Wikimedia Commons

Markus-Lyapunov分形利用了Alexander Lyapunov(1857-1918)设计的方法来描述动力学系统从有序到混沌的连续演化。

艾萨克·牛顿(Isaac Newton)发现万有引力定律后不久，就想知道万有引力是否能让我们的太阳系保持稳定。从表面上看，这个问题似乎微不足道。这是因为行星之间所施加的引力微扰至少比来自太阳的主导有心力小1000倍。但问题是，相关的时间尺度是天文数字。像我们这样的行星系统在其中心恒星耗尽核燃料之前可以存活大约100亿年(10 Gyr)。那么在如此长的时间尺度上，这些微小的引力拉力是会被平均掉，还是会累积起来导致不稳定和行星碰撞?

1780年代，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace)和约瑟夫-路易斯·拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange)认为，他们通过将行星之间的平均引力效应的表达式展开到轨道的小偏心率和倾角的最低阶，于是找到了一个近似解，证明了太阳系的永久稳定性。一个世纪后，亨利·庞加莱(Henri Poincaré)发现我们的太阳系是混沌的，这表明了那些高阶项是不能忽视的，碰撞最终可能会发生(更多关于这个问题的历史，参见Research News: The Final Piece in the Solar System-Stability Puzzle?)。但是问题是这种微小的效应需要多长时间才能累积起来，从而导致动力学不稳定，这样实际的问题不得不等待计算机的出现才有可能解决。

最近有一项发现，可以粗略地表述为，外层更大质量的巨行星的轨道在太阳系的年龄中仍然能够保持良好的行为[1]。最简单的图像是按照类地行星(水星、金星、地球和火星)的轨道运行，并将混沌作为驱动它们的偏心率和倾角随机行走的模型，直到轨道变不稳定。每一个混沌动力系统都有一个特征时间尺度，超过这个时间尺度就失去了可预测性，称为李雅普诺夫(Lyapunov)时间尺度。该参数对应于随机行走的步间时间[2]。该模型提供了一个简单的理论框架; 然而不幸的是，这个理论遭受了严重的挑战。

1989年，Jacques Laskar证明了类地行星的李雅普诺夫时间尺度只有几百万年(Myr)[3]。然而，在需要运行800万个CPU小时的一系列数值轨道积分中，巴黎天文台的Laskar和Mickaël Gastineau在2009年发现，动力学不稳定性即使可能出现，但也是罕见的[4]。具体来说，他们发现水星在太阳剩余的5Gyr寿命中，大约有1%的机会与太阳或金星相撞。如何调和这两个事实呢？在这样的图像中，内太阳系每隔几百万年就在不稳定的悬崖附近随机移动一步，它是如何在一千次迭代中幸存而不掉下来的？现在，巴黎天文台的Federico Mogavero、Nam Hoang和laskar提出了一个有说服力的答案[5]。

上面讨论的简单随机行走模型没有考虑到一个重要的复杂性:动力系统具有不同的李雅普诺夫时间尺度，这取决于在相空间中穿越的方向[6]。事实上，太阳系每隔几百万年就会随机行走，这仅仅反映了最快混沌方向。研究人员认为，水星在数十亿年的生存表明，这种最混沌的方向并不是特别危险。毕竟，在与悬崖边缘平行的方向上随机行走并不危险。

在他们的新研究中，研究小组使用数值方法证明了在相空间的不同方向上内太阳系的一组李雅普诺夫时间尺度跨越了两个数量级。这些方向代表了偏心率-倾角空间中的对角线，这意味着每一步改变的是四颗类地行星的偏心率和倾角的特定组合，而不是其中任何一个单独的量。然后，研究人员将注意力集中在三个最缓慢的方向上，即内太阳系每0.1-1 Gyr随机移动一次的方向。因此，他们确定了偏心率和倾角的三种组合作为准守恒量，在长时间尺度上只受到行星间微扰的微弱的影响。

此外，Mogavero, Hoang和Laskar还证明了这些缓慢方向上的混沌演化，构成了不稳定的速率限速步数。在一项优雅的数值实验中，他们稍微修改了控制微分方程，以使得这三种特定的组合保持不变。也就是说，他们阻止了这三个方向上的任何演化。在这个与真正的太阳系几乎相同的动力学系统中，他们用数值展示了在太阳剩余的生命周期内，失去水星的可能性变得可以忽略不计。因此，水星灭亡的漫长时间尺度是由类地行星的离心率和倾角的三种特定组合的缓慢的、混沌的演化所决定的。这同时解释了我们太阳系的相对稳定性，并为罕见但剧烈的灾难构建更简单的定量模型扫清了道路。

虽然到目前为止的讨论都集中在太阳系神奇的稳定性上，但水星的存在却非常不稳定。如果木星的轨道偏心率稍微大一点，那么在太阳剩余的生命周期中失去水星的概率将接近100% [7]。我们这个太阳系最里面的星球像是运行在稳定的刀刃上。因此，了解这些混沌动力学具有重要意义：不稳定性如何塑造其他恒星的行星系统，并如何影响其观测统计数据。我们可能永远无法得到在这些系统中足够精确的质量和轨道参数，来进行像Mogavero, Hoang和Laskar那样的分析。然而，在推广观测不确定参数的统计解释方法之前，仔细了解我们自己的太阳系是一个重要的理论步骤。

退一步说，如果水星对稍微偏心一点的木星的脆弱性纯粹是巧合，那这也是非常令人不满意的。相反，这一事实确实告诉了我们一些关于行星形成过程的重要信息。也许像Laskar提出的那样[8]，或许拥有更多行星的行星系统比我们今天看到的更多，轨道间距也更近。这样的构型将是不稳定的，并导致碰撞和合并，留下更宽广的分离轨道。幸存下来的可能会继续破坏自己的稳定性。在这种情况下，行星系统将反复地重新排列成更长寿的但天体数量却更少的构型——这与小学教室中张贴的太阳系海报的静态图像形成鲜明对比。

也许到那时，作为在这场混沌舞蹈中走到中途的观察者，我们不应该惊讶地发现我们自己的体系正处于刀尖上。当Laskar在1996年表明上述情况时，我们所描述的单一太阳系多半只是哲学上的推测。在接下来超过1000个系外行星系统的发现提供了一个诱人的机会来验证这个理论。

参考文献

[1] F. Mogavero and J. Laskar, “Long-term dynamics of the inner planets in the Solar System,” Astron. Astrophys. 655, A1 (2021).

[2] K. Batygin et al., “Chaotic disintegration of the inner solar system,” Astrophys. J. 799, 120 (2015).

[3] J. Laskar, “A numerical experiment on the chaotic behaviour of the Solar System,”Nature 338, 237 (1989).

[4] J. Laskar and M. Gastineau, “Existence of collisional trajectories of Mercury, Mars and Venus with the Earth,” Nature 459, 817 (2009).

[5] F. Mogavero et al., “Timescales of chaos in the inner Solar System: Lyapunov spectrum and quasi-integrals of motion,” Phys. Rev. X 13, 021018 (2023).

[6] S. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos (CRC Press, Boca Raton, FL, 2018)[Amazon][WorldCat].

[7] N. Hussain and D. Tamayo, “Fundamental limits from chaos on instability time predictions in compact planetary systems,” Mon. Not. R. Astron. Soc. 491, 5258 (2019).

[8] J. Laskar, “Marginal stability and chaos in the solar system,” Symp. - Int. Astron. Union 172, 75 (1996).

原文链接：https://physics.aps.org/articles/v16/57

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