“圆周率最后一位必然是0～9的某个数。”这句话正确吗？

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“圆周率最后一位必然是0～9的某个数。”

这个话题在知乎上引发了网友们的讨论 ↓

图源：知乎网友提问

其实这个问题可以等价于，

，这个数存在吗？或者说，这个数等于0吗？

产生这样的疑问非常正常，因为远古时期的数学家们，也有同样的疑问。

1.什么是有理数？

有理数的定义非常简单，只要能够被表示为两个整数的商，它就是有理数。由此我们衍生出两个推论：

(1) 任何两个有理数之间总是存在有理数，也即有理数的稠密性。事实上，对于两个有理数a和b，不妨设a＜b，存在(a+b)/2介于a和b之间。

(2) 有理数的不完备性，也即存在数，如

，它无法表示为两个有理数的商，也即有理数是不连续的。

（推荐阅读→引发数学界震动的√2，甚至有人为它献出生命......）

虽然它非常稠密，稠密到无论你从哪里掰开中间总有数而且还有无穷多个

但是它还是有些稀疏，因为它并不连续。

这件事显然是有点反直觉，那个时候的数学家也是这么认为的。毕达哥拉斯学派的数学家希帕索斯就因为

（等腰直角三角形斜边长）的问题被同伴投入海中，付出了生命的代价。不少数学家不承认无理数的存在，认为无理数是“不可定义的”。问题陷入了僵局。

2. 戴德金分割

虽然说戴德金先生的同胞兄弟戴德懒(deadline)追得大学生满地乱爬，不过还是要说这位老爷子对无理数的定义这件事还是做出了非常突出的贡献的。

他是这么说的。数域可以被分割为两个部分A和B。其中A和B的交集是空集，而A和B的并集是全数域。

对于有理数域来说，有以下三种情况：

(1) A有最大值，B无最小值。

例如，一切≤0的数组成A，一切＞0的数组成B，那么A有最大值0，B没有最小值，A和B没有公共元素但是A和B组成了有理数域。

(2) A无最大值，B有最小值。

这个和第一个差不多，把等号位置换一下就ok了。

(3) A无最大值，B无最小值。

这里我们就可以引入无理数的概念了。一切＜

的数组成A，一切＞

的数组成B，这样一来，A中没有最大值，B中也没有最小值，但是A和B没有相同元素的同时A和B组成了有理数域。

如果我们用分割节点的数来代表这个分割，那么戴德金说，全体有理数的分割，就是实数。

下面我们回到最开始的问题。

先来说说

这个数是否存在。更简单，更熟悉的问题应该是：1和

是不是同一个数。

按照戴德金的说法，你要证明他们是一个数，你得证明，用1和

去分割数域，分出来的两个集合，是一样的。

用A表示全体＜1的有理数集合，用A'表示全体＜

的有理数集合。

对于A'中任意一个元素a，总有a＜

＜1，所以a当然也是A中的元素。

同样的，对A中任意一个元素a，a总是可以表示为两个有理数的商a=

＜1，p＜q。

1-a=1-

而一定存在正整数n，使得10ⁿ＞q，于是

＜1/q，也就是说：

1-a＞

，于是a＜1-

=0.999(n个9)＜

。

也就是说，a也是A'中的元素。

这个事还是挺重要的，它不仅说明了

不存在，它还说明了

都不存在，否则你就可以问2-

是多少了，也就是说，可以通过n-n/3*3的方式来说明，任何无限小数的最后几位是无法被合法定义的。

这也就回答了这个问题，圆周率最后一位是不是0-9之中的数：

它并不存在。

所谓菩提本无树，明镜亦非台。

END

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