以下文章来源于大学物理学 ，作者薛德堡
大学物理学.
细推物理须行乐，何用浮荣绊此身。
今天讲一个短平快的问题。
很多人对机械波的能量感到困惑，为什么处于平衡位置的媒质的质元的弹性势能反而是最大的？为什么质元的动能与势能同步变化？
当然，你可能会根据一些特例来帮助理解这些问题。例如，抖动一根水平绳产生横波时，你注意到那些位于平衡的位置，因为两边受到的拉力指向相反方向，所以形变是最厉害的；而处在最高或最低点的那些位置，两边受到的力指向同一方向，虽然具有最大的加速度，但本身的形变却为零。所以势能最大的位置应该在平衡位置。
如此一来，动能和势能同步达到最大，当然也会同步达到最小，所以它们同步变化的规律就坐实了。
但若要较真，机械波的能量的规律到底该怎么得到呢？那你还得用一点数学。下面较详细的给出一个推理分析的过程。
考虑一根长为
的弹簧被拉伸了
，它的弹性势能是多少？
其中
为倔强系数。如果弹簧的材料和粗细确定，更长的弹簧，倔强系数更小，这个应该很好理解，弹簧越长，拉起来当然就没那么费力了。 按此规律，可将倔强系数写成
其中
是一个常数，取决于弹簧的粗细和材料性质。
那么上面的势能可以写成
这里故意拼凑了一个新变量——
，即相对伸长量。由于
是常量，所以，对某个弹簧（材料、粗细和原长确定），其储存的势能由它的相对伸长量决定。
如果弹簧是被压缩的，只不过
，能量表达式也是一样的。
总之，弹簧的相对形变量
决定它的势能！
那么，对一段长为
的媒质，它所储存的势能也是类似的：取决于它的相对形变量。
你可能认为，这段媒质的中心的偏移量会产生势能，这其实是一种错觉。媒质中各点的绝对偏移量并不一定会形成弹性势能！
想象你手里拿着的一把尺子，假设它现在整体移动一段距离，很显然，整个尺子的重力势能的确变了，但始终没有形变，所以也没有弹性势能！但显然，尺子上各点不是发生了偏移吗？！
很显然，机械波的媒质就是最好的代表的呀！
对机械波来说，波函数的变量
是描述媒质中点的偏移量的。它是位置
和时间
的函数，换句话说，同时刻不同点的偏移量不一致呀！所以自然会导致各点之间发生相对位移，也就是波的媒质发生形变，这就能导致弹性势能啦！
那么，媒质中的势能随位置变化的规律是怎样的呢？
考虑某个确定的时刻
，波表现为一条曲线——波形曲线。
随坐标
的变化情况，用函数表示为
当位置
产生
的增量时，偏移量
也产生一个增量
。
现在分析媒质中一段原长为
的质元。
形变前，它的两端坐标分别是
和
。
形变后，两端点的纵向偏移量分别是
和
。左端坐标变为
+
，而右端坐标变为
+
+
+
。
+
，绝对伸长量为
，故相对原长
的相对形变——相对伸长量为
按照前面讲的相对伸长量决定势能的规律，这段原长为
的质元现储存的势能为
如果将右侧的
移到左边相除，则得到的是该段介质内的平均势能密度
，故
仿照平均速度到瞬时速度的过渡方式——将时间
得到任意时刻的速度，现在考虑无限小的一段介质，上式中的
，无穷小量变成微分量，用
代替
，则得介质中任意点的势能密度为
看到了吧！两个微分相除导致微商，这样就得到导数了。
实际上，考虑任意时刻的情形，
是
和
的函数
，故应用偏导符号
代替
重写为
这下好了！谁的导数？偏移量
对质元坐标
的偏导数，也就是质元的偏移量对坐标的变化率！这不就是波形曲线上某一点切线的斜率吗？
所以，媒质中质元的势能取决于波形曲线上的切线的斜率，斜率绝对值越大，势能越大，绝对值越小，势能就越小。
很显然，波形曲线上，平衡位置处的斜率绝对值最大啊！所以这个位置的势能最大！什么地方斜率为零？当然就是波峰和波谷处，所以这些位置的势能为零！
上面的推导是按照纵波来进行的，如果是横波，物质会发生横向形变，计算稍微复杂一点，但最终的规律是一致的。
下面再进一步来看机械波能量的表达式。
首先是势能部分。
由上面的分析可知，要得到势能的确切的表达式，就要确定式中的
的值，它反映这段媒质的倔强系数除了长度之外的其它影响。那么，这些所谓“其它影响”有哪些呢？
材料的弹性？对！确切的叫弹性模量。还有呢？这段媒质的粗细？肯定越粗越难对付吧？没错！
弹性模量这个东西，是针对固体来说的，对液体来说，也有相应的那个量。总之，就是物体本身的弹性性质。
假设弹性模量用
表示，媒质的粗细，也就是它的底面积用
表示，则得
据此，上面的势能
可表示为
这其中，
正好就是媒质的体积
；而一般来说，弹性模量
与波速
的关系为
其中
是密度，根据
，上面的势能可写成
如果考察一个段媒质的微元，则上式为
将波函数
对
的偏导代入，即得势能的表达式为
再看动能部分。
这段介质
在振动，所以具有动能。动能很简单，直接按动能的表达式，即
其中
是媒质的振动速度——注意，媒质并没有随着波运动！所以这里的
不是波速，而是媒质偏移的速度——振动速度，按照速度的定义就是
得到动能为
这才发现，质元的动能和势能随位置和时间的变化规律竟然完全一样，用更物理的语言说，它俩是同幅同相变化的，对确定点，二者的值每时刻都完全一致！
机械波的能量是动能与势能之和，那么自然的，质元
的机械能为
即
可化为
这下彻底看清楚了，能量与坐标和时间相关的部分
具有简谐波的标准形式。因此，机械波的能量本身也形成一个简谐波，它的频率是波的频率的两倍。对简谐波来说，能量的传播速度就是波本身的速度，即相速度
。
既然简谐波的能量随时间周期变化，说明简谐波的媒质的质元的能量并不守恒，这一点与简谐振动不同。很多人觉得这一点违反直觉。他们认为：简谐波的媒质的质元不都在做简谐振动吗？既然如此，质元的能量应该是守恒的呀！？
问题的症结在于，简谐波的质元并不是做简谐振动，因为相邻的质元之间有力的作用，所以质元做的是受迫振动而非简谐振动。
当波前刚抵达某个质元时，它还处于平衡位置，此时质元的能量是最大的。在一个波峰或波谷抵达某质元的过程中，它的能量沿波的传播方向流出——因为它需要策动它的邻居跟着一起动起来；当波峰或波谷到达质元后，它又重新开始吸收来自波源方向传入的能量，再次回到平衡位置。如此反复，能量沿着波线方向不断向前传播。
END
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原标题：《以弹簧为基础理解机械波的能量》