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在往期文章中，我们讲过克拉尼在声学领域的重要发现：。本期as将为您介绍克拉尼图形（Chladni figure）在数学领域引发的共振。

克拉尼受此启发，在光滑的铜板上均匀地洒满细沙，于铜板的边缘缓缓拉动小提琴弓，奇特的一幕发生了，沙子在几秒钟内形成了聚散的线条花纹——克拉尼图形就此诞生，这一刻映照出了隐形的声音世界。

1787年，克拉尼完成了第一部声学著作《关于声音理论的发现（Entdeckungen über die Theorie des Klanges）》，并在其中记录了这项实验的成果，和他绘制的大量曼妙的声音图形。

当小提琴弓摩擦铜板使其发生弯曲形变直至共振时，板面中有保持静止状态的区域和振动状态的区域，沙子在振动作用下向表面静止的区域集中，并最终勾勒出变化多样的节点线。由于弹性板振动的理论在当时尚未出现，所以对声音图形的数学描述必须保持定性。带着这个问题，克拉尼踏上了欧洲巡讲的旅程，分享自己的声学研究并和欧洲各国的学者进行交流学习。

书中克拉尼对于声音图形的数学研究有了进一步的发现，他根据平行于两侧的节点线的数量对于矩形板上的图案进行分类。对于圆形板，他观察到增加节点线与增加板面的直径，都可以提高圆形板振动模式的频率，即出现克拉尼图形的圆形板表面的振动模式的频率f与图形的直径n和径向节点线的数量m之间的关系：

但是《声学（Die Akustik）》一书中仍没有涉及到如何用公式推导出这些声音图形，在书的结尾克拉尼留下了这一悬而未决的数学问题：如何建立这些声音图形的数学模型？

1809年，克拉尼做声学巡讲到达法国巴黎时，极其重视科学的拿破仑独具慧眼，决定为此项数学研究颁发了3000法郎的：“法国皇家科学院奖金”，奖励给“得出克拉尼声音图形中弹性物质表面振动的数学理论，并将该理论与实验数据进行比较”的学者。

1816年，法国数学家索菲·热尔曼（Sophie Germain）以一篇题为《弹性物质表面理论研究（Recherches sur la théorie des surfaces élastiques）》的论文，并因此成为第一位获得法国皇家科学院奖的女性。

热尔曼自1809年着手该论题的研究，于1811年秋天首次提交了论文，但没有通过，评审委员会认为 "振动的真正方程没有建立起来"，尽管 “提出了巧妙的结果”。

法国皇家科学院院士、著名数学家拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在这时提出，解决这个问题需要发明一个新的数学分析分支，这使所有的参赛者望而却步，最终只剩热尔曼一人参赛。随后比赛被延长了两年，热尔曼决定再次尝试，在1813年化名“勒布朗先生”并提交了第二次论文，只为避免因性别而遭受不公的对待，但由于被指出论文中仍充斥着错误，尤其是涉及到二重积分的部分，遂未通过评审。紧接着热尔曼又开始了第三次尝试，最终于1816年1月8日，以自己作为女性的本名“索菲·热尔曼”提交了第三篇论文，获得了特别奖。

事实上严格的法国皇家科学院对最终的研究成果仍不满意。因为虽然热尔曼推导出了正确的微分方程，但并不能非常准确地预测实验结果，由于她用于推导方程的假设部分不正确，导致了边界条件出现错误。

在当时的社会环境下，一名女性会因为她的性别，被迫承受来自社会的压迫与不公。索菲·热尔曼自幼被剥夺了受教育的权利，但也正是她不屈不挠的强大毅力和对数学的极度热爱与与执着追求，给法国皇家科学院奖增添了熠熠光彩。

德国物理学家基尔霍夫（G. Kirchhoff ）在1850年提出了正确的数学模型，将方形板上的克拉尼图形视为双谐波算子的特征对（特征值和相应的特征方程）。他还设法解决了圆形板的特殊情况下的克拉尼图形，由于圆是轴对称图形，这个问题更容易处理，然而对于其他形状的板面，最难解决的就是其带有自由边界条件的偏微分方程的特征值问题。

瑞士物理学家沃尔特·里茨（Walter Bits）在1909年所著的开创性论文中提出了一种计算克拉尼图形的方法：不直接解决偏微分方程的特征值问题（也没有通过问题的边界条件），而是使用能量最小化原则（Prinzip der kleinsten Wirkung）得出计算方程。

在量子力学中，克拉尼图形和其中的“节点形态”直至今日仍是科学界讨论的焦点——因为驻波方程、亥姆霍兹方程和定态薛定谔方程之间存在着等价关系，即粒子在有反射壁的空间中自由运动，这使得人们能够观察这种量子台球（quantum billiards）。

奥地利-爱尔兰物理学家薛定谔（Erwin Schrödinger）曾用克拉尼图形的数学解法来得出对电子轨道的理解。而在不规则形成的反射壁中，通过振动板对量子混沌进行观察，“节点形态”在不同的领域里也是重要的核心：在光场、地震破坏模式、甚至在视觉皮层的模式形成中皆是如此——第368次Wilhelm und Else Heraeus-Stiftung会议正是探讨这些问题。

鉴于这一发展态势，拿破仑的预言 “如果在克拉尼声音图形引申道路的探索方面能取得进一步的发展，将这些成果应用于其他领域也是大有用处的”，再回首，我们依旧折服于拿破仑的远见卓识。

在这面映照出隐形世界的镜子里，展现的不仅是奇幻稠迭的声音画像，还有曼妙又秩序严谨的数学图景，我们几乎看不到几百年的时光已悄然流逝。

Reference:

Recherches sur la théorie des surface élastiques.

On the Figures Obtained by Strewing Sand on Vibrating Surfaces, Commonly Called Acoustic Figures.

Über das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe.

Theorie der Transversalschwingungen einer quadratischen Platte mit freien Rändern.

Nodal sets in mathematical physics.

Chladni figures in Andreev billiards.