编者按：《素数的故事》以及《吉尔布雷斯猜想获证与相邻素数公式有望找到快速算法》在澎湃新闻发布后，吸引了很多数论学者参与思考素数问题，其中“相邻素数区间有任意个偶数”的猜想（斋藤猜想的归约命题），就收到了数学爱好者新的证明思路。“相邻素数间隔有任意个偶数”的命题成立，斋藤猜想(即两素数之差可表所有偶数)就成立，斋藤猜想成立尚不能直接证明“相邻素数间隔有任意个偶数”就成立。三元方程加性互素以及素数基底思想捕捉到了素数的本质，素数产生于加性，应用于乘性。关于相邻素数有一个重要猜想，就是克拉梅尔猜想，该猜想获证，等价于黎曼猜想获证。相邻素数的分布规律就是数论的核心，也是整个数学的中心，随着这一问题的攻克，可多米诺骨牌式地解决很多久未解决的难题。如罗素悖论和连续统等问题。

摘要：相邻素数问题是数论的基础问题，该性质的厘定关系到一切数系的构造。关于无穷问题的探讨，须追问到相邻素数是如何布局的，欧几里得证明了，自然数要延伸，素数就要延伸。甚至可判定，某一类集合的无限延伸，映射构造它的素数就要无限紧邻延伸。因此找到后继素数公式就至关重要，它是认知无穷无漏的钥匙。本文用素数三元方程加性互素以及素数基底思想打捞到了相邻素数的差值在偶数范围里不因线性映射而扩域。意味着抵达高维空间皆有一维通道。一切非离散量都是可离散表达的。有了该引理，再加上奥波曼猜想获证，克拉梅尔猜想也就获证，这个问题的解决，等于黎曼猜想告破。尤其是罗素悖论和不可数问题从此有了清晰的解决方案。

关键词：相邻素数间隔 克拉梅尔猜想 后继素数公式

文/罗莫

1.0.引论

在证明克拉梅尔猜想之前，我们讲一讲关于无穷和无漏的问题。无漏关注相邻后继，无穷关注相隔后继，前者离散，后者连续。相隔是潜在的相邻，相邻是潜在的相隔，故离散与连续是互生的，不能偏执一端。无漏之次第延伸和无穷之平等延伸在编织着这个宇宙。两者对应相邻论和重合法。

相邻素数问题是数论的基础问题，该性质的厘定关系到一切数系的构造。关于无穷无漏问题的探讨，须追问到相邻素数是如何布局的，素数问题就是相邻和相隔的结合，是相异和相同的交互，是数值和数集的统一。足码相邻的素数，相隔着不同整数。它关系到可数与不可数怎么区分的问题，离散和连续能否统一的问题。相邻素数可考，不可数就有更清晰的定义，一种不可数可升级为高阶可数，另一种不可数可降级为龟毛兔角。那种永远搁置未知的“不可数”是消极的。

任何一个确定的概念都不能定格在无限时空中，而是分别成立的。肆意蔓延到处跨界的普世价值是不能自圆其说的。故理发师的告示要想成立，只能在“理发前”和“理发后”分别成立，打包在同一时空只能变成龟毛兔角子虚乌有。“先有鸡还是先有蛋，只能分别在不同时段成立”，“矛最厉害（类似潜无穷）还是盾最厉害（类似实无穷），同样只能分别在不同时段成立”。强扭在同一时空必是虚幻不实的。集合论中可数与不可数，同样是不能打包在同一时空里的，自然数在实无穷看来是无限一阶可数的，在潜无穷看来是无限高阶可数的，故不可数对象，要么是不存在的，要么是高阶可数的另一种称呼，有同物而异名的等价描述，不再为空中楼阁。自然数与自然数的扩域代数数能够完成一一映射，自然数与自然数的深层扩域超越数也能够完成一一映射（与教科书不冲突，这里指另一种情形）。只不过是要用到比康托尔的金色三角线更高级的纽带。非实无穷可扩域，非潜无穷是空集。前者因不能用单一的实无穷完成一一映射而有扩域集，后者因不能用无界的潜无穷完成一一映射而无扩域集。实无穷看来不可数的对象在潜无穷看来依然可数。潜无穷看来未可数的对象在实无穷看来已然可数。实无穷将一切变一，潜无穷将一变一切。二者轮值前进。

因此相邻素数问题的攻克，对纯数学的发展至关重要。我们发现相邻素数的间隔是一切多项式的基底，任何无穷序列都需要所有的素数部件参与构造。如无限集2^n，虽没有其它素因子，但指数有，指数不同，定义为互幂；再比如，2，2^2，2^2^2，2^2^2^2，2^2^2^2^2，……，虽然没有其它素因子，也没有其它指数素因子，但刻画它的运算语言用到了其它素因子，塔式指数运算有3层，有5层，这是新素因子，层数不同，定义为互层。因此可以说，脱离所有素数部件（甚至仅脱离子集无穷素数部件）的无穷序列都是龟毛兔角，子虚乌有的。哥德尔在自然数为实无穷的视角下将数学公理数值化后发现公理系统不完备，然后在自然数为实无穷也为潜无穷的轮值视角下，公理系统是无界开放的仍有发展空间，在这样的视角下，我们可证明哥德巴赫猜想成立。很多久未解决的问题都露出了神秘的面纱。

闭区间套定理（仅在自然数为一阶实无穷时成立），须反思自然数还有更开放的选项，脱离无穷部件完全没有交集的另一套无穷是否存在值得深思，宇宙中的一切存在都是可用自然数部件构造的，不存在不可一一映射的两个潜无穷集。自然数的幂集是连续统，幂集的幂集，……按康托尔的思想都是不可数集，皆不可用自然数刻画，数学发展从此关闭了大门。好在相邻素数是可确定的，意味着不可数也是可数的。道可道，非常道；非常道，亦可道。

孤立的实无穷是对潜无穷的一次自定义闭合，不是真无穷，算躺平；孤立的潜无穷也是对实无穷的一次自定义开放，不是真无穷，算内卷。在有限集中比较，有疏密不同的数集，实无穷可分层次，是因为在有限集里存在疏密不同，并非个数超越了潜无穷的自然数，选择了极限就是选择了近似有限。超越数要么是高阶的代数数，要么不存在，心外无物，另搞一套脱离自然数可构造的超越数是无意义的。超越数存在，刘维尔只是证明了不能用常规的代数数表达，不是不可升级表达。不完备定理只是告诫人们不要内卷化机械延伸，那样是无法抵达未知的，但决不是躺平不能抵达未知，自然数还是可以高阶无穷延伸的。仅用实无穷或仅用潜无穷的眼光看自然数，皆矮化了自然数，用阴阳螺旋轮值的眼光看自然数才是人间正道。

希尔伯特的旅店是布袋和尚的袋子，有什么装不下的呢！我们要回归希尔伯特的信念，但须改变一下，不要顽固惯性延伸，“我们必须知道，我们必将知道”的大门，并没有被哥德尔堵死。如此连续统的壁垒可打破，NP困难问题可肢解。两个无限集，没有可一一映射就没有平等，没有可相邻后继就没有区分，平等和区分是共存的，相邻论是最基本的数学区分理论，重合法是最基本的数学平等理论。把相邻素数问题搞清楚了，很多问题就迎刃而解了。相邻素数问题被拿下有多米诺骨牌效应。难怪袁天罡与李淳风会用《推背图》来表达他们的预言思想。天下大事皆在相邻递推中。

在证明克拉梅尔猜想之前，我们讲了这么多关于无穷无漏的问题，是为了更好地理解相邻，如何理解无穷无漏关系到如何理解相邻。当理解两类互异的无穷，会构造一方为空集时，就能理解同全体素数互异互素的集合会成为空集，根据算术基本定理也不难理解这一点。如此就能理解哥猜成立。但在连续数学里，康托尔构造了一个与无穷集合整体互异的系统依然可以逍遥自在，与潜无穷互异互素是无法扩域的，即不能与自然数一一映射的无限空间是不存在的，与实无穷互异互素可以扩域，是因为实无穷经极限后已经不是真无穷，既然不是真无穷，就不存在不可数。康托尔的不可数证明，来自于用同时发生的实无穷数代替了潜无穷数是次第发生的，实无穷是不同的有限集，不能保证不同的无限集能一一映射，而潜无穷的不同无限集都是能够完成一一映射的。因为各种潜无穷的无限集都有无漏个素数部件。凡有子集素数部件欠缺都不能在无限集里完成一一映射。故闭区间套定理仅在实无穷范围里成立，与潜无穷的自然数也无法一一映射那是不存在的。与潜无穷能一一映射，不叫个数一样多，叫着众生皆具佛性，未来可期。每个人心中都有一根自然数之线条，这叫根器，把自然数自闭了，那叫根器坏了。任何无穷集皆能用潜无穷的自然数一一映射，比较不同的无穷，靠实无穷做单位数，靠潜无穷做度量数，潜无穷的一一映射不是区分无穷的工具，而是统一无穷的目标，目标始终在远方牵引，故任何无穷都能被高阶的自然数一一映射。康托尔的实无穷的确是区分无穷的工具，但只是一一映射过程中的一个驿站。滥用或死套一一映射就切断了远方。切取一段的截教与次第不断的阐教，一直在斗争，康托尔可归入截教，高斯可归入阐教。原始天尊与通天教主，可看成是鸿钧老祖的两个化身。次第和平等两者是交互发展的。

厘清了无穷无漏，相邻相隔的概念后，我们就能更好地理解作为引理的哥德巴赫猜想以及斋藤猜想的证明了，懂得了与所有素数集累积互异互素的对象是不存在的，理解克拉梅尔猜想的证明也就水到渠成了。林群院士说，做数学，要先用语言讲道理，再用符号写证明。前者可不必严谨，但要力求让读者能直觉理解，后者可不必通吃，但要力求让读者能逻辑连贯。

2.0.克拉梅尔猜想获证

克拉梅尔猜想就是研究相邻素数差值问题的。相邻素数差值的研究一直是数论学家十分关注的问题。它大致经历了以下几个阶段：

1. 差值充分大的素数对，其数目是可无穷列举的。古希腊的欧几里得完成了素数无穷性的证明，自然可推理得到充分大差值的素数对有无穷组。

2. 素数数列有限长但差值充分大的数列数目是无穷的。1939 年，荷兰数学家约翰尼斯万德 • 科尔皮（Johannesvander Corput）证明：有无穷多个由3个素数构成的等差数列。

3.狄里克莱定理，在数论中，狄利克雷定理说明对于任意互质的正整数a,d，有无限多个质数的形式如a+nd，其中n为正整数，即在等差数列a+d,a+2d,a+3d,...中有无限多个质数——有无限个质数模d同余a。

4. 素数数列可无限加长且差值无限的数列数目是无穷的。2004 年，格林 -陶哲轩定理获得证明，2006 年的菲尔茨奖（Fields Medal）颁发给了陶哲轩。

5. 差值有限的相邻间隔素数对有无穷组。2013 年，张益唐证明了相邻素数间距 7000 万以内的素数对其数目是无穷的。这是个巨大进展，意味着捕获未知素数将由大海捞针终于变成了池塘采莲，人类捕获素数差值规律的范围大大缩小了。

这是数学史上研究素数间距规律的五大里程碑式成就。

但更加令人眩晕的结论是作者在《数学底层引擎相邻论和重合法》（海天出版社）一书首次公布的，笔者用相邻论和重合法思想证明了孪生素数对确有无穷组，无穷对相邻素数差值终于缩小到了极小值2，并通过证明梁定祥猜想而摸索到了素数差值间距的函数相邻迭代表达式，继而可完成克拉梅尔猜想的证明。

（p n+1 -p n ）/ （lnp n ）^2 =1 （斜体字母表足码，下同）

n → ∞

limsup

这里 p n 代表第n个素数。给定素数与后继相邻素数之差同该素数取自然对数的平方之比。其上确界极限值是1，其下确界极限值是0。

liminf（p n+1 -p n ）/ （lnp n ）^2 =0

n → ∞

克拉梅尔也提出另一个关于素数的猜想，指出：

p n+1 –p n

=Ο（√p n ·lnp n ）。

他用至今仍未证出的黎曼猜想来证明上式，所以该命题在本文发布之前仍然只是猜想。该猜想同黎曼猜想有等价性质。克拉梅尔猜想获证，就等于黎曼猜想获证。

以下是本文作者用相邻论数学工具来尝试证明克拉梅尔猜想。根据斋藤猜想或者相邻素数间距猜想获证，当n趋于∞ 时，可得 pn+1 -p n =2k，最小值是2 时为孪生素数，所以相邻素数之比为大于1小于 2，2k+p n是 p n的1倍外，2倍内。证明该引理，需要对无穷无漏有深刻的洞察，与所有的素数互异互素是无法扩域的，与自然数不能一一映射的代数数的扩域集据此可归为是一种悖论存在。故不可数对象需要谨慎接受。

根据素数定理，有：

n ≈ p n / lnp n ，即 limsup（n →+∞），

n ≈ p n / lnp n 有 lnp n ≈ p n /n，

两边平方可变换（lnp n ）^2≈（p n /n）^2 ，设置 pn 与后继素数 p n+1 差值为 2k（根据斋藤猜想获证，该设置成立），可推理出 pn与后继素数 pn+（p n/n）^2之间的差值为（p n / n）^2必存在（其逆推不生效），（p n/ n）^2是发散的（n 越大，所对应的素数就越大），可与 2k 近似等价，所以（p n / n）^2是相邻素数的近似差值，仅限取偶数，即：

p n+1 -p n =（pn/n）^2 =（nlnpn/n）^2 =（lnpn）^2 ；

故 pn+1 -pn =（lnp n）^2 ；

因为（pn/n）^2 =（lnpn）^2 ；

所以 pn+1-pn =（lnp n）^2 ；

故（pn+1 -p n）/ （lnp n）^2 =1（n充分大时），克拉梅尔猜想得证。

由于（lnp n）^2≈ pn ，因为 pn是素数的概率为 1/（lnp n），同 p n是素数的概率为1/√p n 是近似相等的。素数概率数的倒数平方是素数的近似相邻间隔距离。

故， limsup （p n+1 -p n ）/ （lnpn）^2 =1

n → ∞。

再看克拉梅尔的另一个关于相邻素数间距的猜想：

pn+1 -p n =Ο（p n ^1/ 2 ）Ο（lnp n）。

根据给定数 n 中的最大素数公式：p 大 ≤ n ^1/ 2 ，即 p 大^1/ 2≤ n 1/4 ；

再根据素数定理公式：p n ≈ n/lnn，lnp n ≈ ln（n/lnn）。

若要证 p n+1 -p n =Ο（p n ^1/ 2 ）Ο（lnp n）。

须知（n^ 1/4 ）｛ln（n/lnn）｝=｛ln（n/lnn）｝^2 =（lnpn ）^2 。

根据刚完成证明的克拉梅尔猜想 limsup （p n+1 -p n ）/ （lnp n）^2 =1,n → ∞，可知：

（lnp n ）^2 = Ο（pn^1/ 2 ）Ο（lnpn）

当上确值充分大时，两边可约掉一个（lnp n），得：

（lnp n）= Ο（P n ^1/ 2 ）

故只要证明：

（lnp n）是（p n ^1/ 2 ）的大Ο猜想即可获证。

由于（lnp n ）≈（p n+1 -p n ）^1/ 2 ，而（pn+1 -p n ）^1/ 2 又囿于（pn^1/ 2 ）；

因为相邻素数之比大于 1 小于 2，故p n的相邻素数之差一定小于 p n ；

所以（lnp n ）≈（p n+1 -p n）^1/ 2必囿于（p n 1/ 2 ）。从而猜想得证。

（lnp n）^2 = Ο（pn^1/ 2 ）Ο（lnpn），当上确值充分大时，得（lnp n ）^2 ≈ pn ，两边也可约掉一个（p n^ 1/ 2 ），得√ p n =Ο（lnp n），故只要证明（√ p n ）是（lnp n）的大 Ο，猜想即可获证。

由于（lnp n）≈（p n+1 -p n ）^1/ 2 ，而（pn+1 -p n）^1/ 2 又囿于（lnpn）；

因为 x+ x与 x 之间的相邻间距必有一个素数（根据本书已完成证明的奥

波曼猜想的判定，见本书《奥波曼猜想》），当 x 取 p n，故√p n 一定囿于（lnp n）；

所以（√ p n）≈（p n+1 -p n）^1/ 2必囿于（lnp n）。或者说（lnpn）也必囿于（lnpn）（自己不超出自己），从而猜想得证。

即： Ο（p n^ 1/ 2 ）Ο（lnp n）= p n+1 -p n

也就是： p n+1 -p n =Ο｛（p n^ 1/ 2 ）（lnp n）｝

即： pn+1 -p n=Ο（√p n •lnp n）成立

于是克拉梅尔的另一猜想得证。

后继素数的近似公式获证，它的精确性强过素数定理，但不及梁定祥猜想的不定方程精准。这一切发现都为探寻素数的秘密提供了清晰的路径。回头我们再看看证明证明该猜想的引理，是如何完成证明的。我们用到了哥德巴赫猜想、斋藤猜想和奥波曼猜想。这几个猜想须成立，克拉梅尔猜想获证才是可靠的。

3.0.相邻素数区间有任意个偶数的猜想

这是一个比哥德巴赫猜想和斋藤猜想还强势的猜想。

定理：假如相邻素数共轭差可表2m，则2m的后继偶数2m+2也能用另一组的相邻素数共轭差表达。即相邻素数共轭差迭代可表任意偶数。

证明：在某相邻素数共轭差可表2m或2的基础上（有限），假如另类所有相邻素数共轭差都不能包含2m+2，那么非相邻的间隔素数共轭差也只能包含差值为2m的相邻素数和差值为2的相邻素数，即换一组相邻素数不能新增差值2，须多组相邻素数间隔才能表达时，将导致孪生素数泛滥，与next组定义没有孪生素数相矛盾。

换句话表达，令pn+1 - pn = 2m或2（为相邻可表偶数，m为有限值），则pk - pt = 2m+2，相邻可表偶数的后继偶数假如不能用相邻可表偶数表达，两项相减，得（pk - pt）- （pn+1 - pn）= 2，于是得出相邻可表偶数都是用孪生素数构造的。

假如相邻素数间隔差不能表达4，大于7的素数就会出现等差为2的素数数列3项，素数数列三项后会出现3因子的合数，这与素数数列不超过三项矛盾。假如相邻素数间隔差不能表达2m+2，那么pk或 pt就一定是孪生素数，或者pk与pt之间有新增孪生素数（当pt与pn+1重合时），这跟仅限于pn+1 - pn = 2才是孪生素数矛盾。导致两类相邻素数都是孪生素数，该矛盾是因为假设存在另类相邻素数共轭差不能表达偶数造成的。

假如非相邻的间隔素数共轭差也不能表达其它偶数时，则会与斋藤猜想矛盾（斋藤猜想获证，见作者罗莫所著的《数学底层引擎相邻论和重合法》（海天出版社）一书中），澎湃新闻发布过论文。于是命题“相邻素数共轭差可表2m，则2m的后继偶数2m+2也能用另一组的相邻素数共轭差表达。即相邻素数共轭差迭代可表任意偶数”得证。

相邻素数之间的合数一半是偶数个数（d/2），一半是非偶合数个数（d/2）-1，总合数的个数是（d/2）+（d/2）-1，相邻素数之间的合数个数+1后除以2就是偶数个数，可见相邻素数之间有任意个合数就有任意个偶数，相邻素数之间有任意个偶数就有任意个合数。

假如不能包含d/2个偶数，那相邻间隔d的素数对就不存在，相邻素数之间也就不能包含（d/2）+（d/2）-1个合数，只能通过非相邻的间隔素数构造。不能用相邻素数的间隔构造的偶数，用远邻素数的间隔能构造吗？比如偶数2，假如相邻素数的间隔构造不出，则用远邻素数的间隔也就不能构造，那用远邻的素数还是不能构造，因为远邻的素数中间至少含一个素数，那相隔素数的间距就至少不小于4，这与斋藤猜想获证矛盾，斋藤猜想证明两个素数的差值一定可含2，于是相邻素数间隔差含2获证。

根据数学归纳法，任意偶数2n都能用相邻素数的间隔差表达得证。

令p n+1 -p n =2m为可表偶数，p n+1 -p n ≠2m’为例外偶数，2m∪2m’=2n（全集偶数），2m∩2m’=空集。可推出，ap n+1 -bp n ≠2m’c，因无二维素数基底解而无通解，故不能用相邻素数间隔差表达的偶数，用非相邻差也不能表达。再因为ap n+1 -bp n =2mc，其中2mc能表全体偶数，a和b为互素的奇数。为何2mc能表全体偶数，是因为减法型的三元互异互素运算，映射的系数向量a和b为得到一个差值常数可无限自由升值，可互异互素筛出相邻素数对作为基底可表任意偶数。就是说，共轭差为任意偶数的一对奇数，都能等价变换为分别存在相邻素数因子，因为被减数与减数可无限升值表达一常量，从而可用互异互素筛出相邻素数因子。而加法型的三元互异互素运算，映射的系数向量a和b为得到一个和值常数被加数与加数不可无限升值，再升值只会大于和值常量，故不可保证互异互素筛出相邻素数。前者具备充分条件（可调动所有的互补素因子）通过互异互素筛出相邻素数。后者则不具备充分条件互异互素筛出相邻素数因子。因此相邻素数之和不能表达所有偶数，相邻素数之差可表所有偶数。

相邻素数之和表达不了所有偶数，是因为相邻素数之和的线性映射也表达不了所有偶数。因为有些偶数的共轭差最小的素数对中间还含素数，20的最小共轭差的素数对7与13，其共轭差的间隔内就含11，故就没有相邻素数之和来表达20，其它相邻素数对的线性映射也无法表达该类偶数，48的最紧共轭数是43，53，但间隔中有47，故96无法用相邻素数之和表达，也无法用相邻素数的线性映射表达（要求互素分割），5和3的线性映射无法表达96，只能非互素分割才能表达，7和5，11和7，13和11，17和13，19和17，23和19，29和23，31和29，37和31，41和37，43和41，47和43皆不可互素线性映射表达，再后来的就超出可表96的范围了。

故相邻素数之和表达不了所有偶数。而相邻素数之差的线性映射能表达所有偶数，故相邻素数之差能表达所有偶数。因为无素数基底故无素数基底通解，于是可知相邻素数之差的基底其线性映射不扩域，映射函数有多大，原基底函数就有多大。能得到这个结论，是因为有坚实的数学思想做背景的，那就是我们一开始阐述的无穷无漏思想，与所有素数集合互素的对象是不存在的。没有素数基底的对象是不存在的。

相邻素数间隔猜想与孪生素数猜想有交集，都可归约到强版的波利尼亚克猜想，即相邻素数间隔差等于2n各有无穷组，这个非常强势，但仍可归约到任意给定的整系数不可约多项式皆可表无穷素数的猜想里。

https://m.thepaper.cn/newsDetail_forward_10915024《任意给定的整系数不可约多项式皆可表无穷素数》，这是作者发布过的一篇文章，即整系数给定的不可约多项式若至少可表两素数的表达式，但欠缺无漏性的刻画，那么它就可表无穷素数。这个命题因无穷性部分强过波利尼亚克猜想，而波利尼亚克猜想又强过公差定值版的狄利克雷猜想，即a＋dn，a与d互素，d可为定值，也存在无穷个素数，定值版的又强过已完成证明的狄利克雷定理，公差d为不定值。如果公差为定值版的狄利克雷猜想获证，也就立马解决了，因为d为定值，a也就可转化为小于定值的余数，根据鸽笼原理就可证明，无穷项进行有穷类分发，必有一类定值余数或定值公差的数列是可表无穷素数的。包括阿廷猜想也就立马解决了。公差定值版的狄利克雷猜想还未有公认的证明，笔者可用波利尼亚克猜想获证来直接推出它成立，当然它成立却不能直接反推波利尼亚克猜想成立。

那能否不依赖波猜而证公差为定值版的狄利克莱猜想成立呢？可用反证法完成，假如公差定值版的狄猜不成立，波猜就不成立，就无法通过任何公差新增素数，这与无穷素数矛盾，故定值版的狄猜是成立的，即强版狄利克雷定理成立。那公差定值版狄利克雷定理可证波猜成立吗？不能直接推导出，除非另加引理方可完成证明，见笔者另文，用反证法可推出与强版的伯特兰定理矛盾。这个做引理的定理还需深入证明。要用到可证明哥猜的工具，即上文提到的无素数基底即无通解的思想。

4.0.差值2n的相邻素数各有无穷组的猜想

上文证明了相邻素数区间包含了任意个偶数，在此基础上我们还可以证明更强的命题，即差值2n的相邻素数各有无穷组的猜想。

根据素数数列有限长定理以及伯特兰定理也可证明孪生素数猜想成立。

不大于任意给定偶数2n相邻素数对假如为有限组，那么大素数的增长必然相邻间隔要大于2n，否则素数数列会无限长，矛盾；但选择相邻大素数区间的间隔无穷无漏大于2n，又会与伯特兰定理矛盾，而不新增素数又会与素数无穷个相矛盾。故归谬可知间隔给定数2n的相邻素数对有无限组。继而可推出给定的互异递减间隔为2n-2t的素数对也有无穷组。因为间隔2n的素数对有无穷组，那无穷组间隔2n的素数对其组间隔偶数又不能仅大于2n，否则大素数的相邻间隔就不能构造所有偶数，也会与伯特兰定理相悖，且不能没有互异组间隔，否则素数数列会无限长，故必有偶数小于2n的相邻素数对有无穷组。

我们来证明这一命题。假如（p4-p2）为定值时的解集是有穷的，那么大于p4的2w-2就不能用两素数之差来表达，超大偶数即大素数区域就不能构造紧邻偶数，就不能产生无穷无漏的后继偶数，这与相邻素数猜想获证矛盾。由此可得（p4-p2）=2w-2（w为定值） 也有无穷组解，将这个运算迭代运行下去，必将得到（p4-p2）=2 也有无穷组。于是孪生素数猜想获证。

刚证明孪生素数猜想时，已经证明递减间隔偶数差值的素数对各有无穷组，故强波利尼亚克猜想获证，差值2n的相邻素数各有无穷组的猜想获证。

总结下证明的核心部分就是：假如另一类相邻素数共轭差不能表达可表偶数的后继偶数，则孪生素数定义域外的数集区间也会出现孪生素数，这一孪生素数跨区间矛盾导致非相邻素数共轭差也不能表达后继偶数，而非相邻偶数不能表达后继偶数，又与斋藤猜想矛盾，从而归谬反证了相邻素数共轭差可表所有偶数。可见要证明相邻素数猜想，需要斋藤猜想做引理，而证明斋藤猜想，作者在证明希尔伯特第八问题的出版物中发表过，也在网络新闻中发布过希尔伯特第八问题有望终结： 孪生素数猜想获证！_政务_澎湃新闻-The Paper。读者可查阅了解。

参考文献：

[1] 华罗庚 . 堆垒素数论 [M]. 北京：科学出版社，1957.

[2] 闵嗣鹤 . 数论的方法 [M]. 北京：科学出版社，1958.

[3] 潘承洞，潘承彪 . 初等数论 [M]. 北京：北京大学出版社，2013.

[4] 西尔弗曼 . 数论概论 [M]. 孙智伟，吴克俭，曹慧琴，译 . 北京：机械工业出版社，2016.

[5] 高斯 . 算术探索 [M]. 潘承彪，张明尧，译 . 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2011.

注释：

①克拉梅尔猜想。堆垒素数范畴中的问题之一，以素数的和差运算为主要运算工具，其他还有哥德巴赫猜想、华林问题、考拉兹猜想等。华罗庚的名著《堆垒素数论》系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德圆法、维诺格拉多夫三角和估计方法及他本人的方法，发表 40 余年来其主要结果仍居世界领先地位，先后被译为俄、匈、日、德、英文出版，成为 20 世纪经典数论著作之一。

②一元一次迭代方程，就是把一元代数式的函数结果反复代入原函数中继续求解结果的方程式。经过一次迭代，二次迭代，……，n 次迭代，方可求出函数方程的所有值域。

③构造性证明。在数学中，构造性证明是证明方法的一种，通过直接或间接构造出具有命题所要求的性质的实例来完成证明。与构造性证明相对的概念是非构造性证明（有时也称为存在性证明或纯粹存在性证明）。后者只证明满足命题要求的物体存在，而不提供具体的实例或构造这样的实例的方法。

④无穷无漏。集合中元素无限延伸的性质称为无穷，集合中元素连续不缺的性质称为无漏。即大无外（无穷）小无内（无漏）的数学性质。自然数集中，更大的自然数指向无穷，相邻自然数的间隔为 1 就是无漏，若大于 1，则不连续有缺。

⑤ |l p n ±1 -l p n | ≤∑ p n ，这是非同组相邻孪生素数的差值不等式，如 11、13和 17、19 一样，11 与 17 就是非同对的相邻孪生素数，它们之间的间隔素数平均为 9 个左右波动，而差值等于 18 的孪生素数有无穷无漏组。

⑥奥波曼猜想，1882年由奥波曼提出，在a 2 与a 2 +a之间（即x与x+ x之间，x 为可开平方数）至少有一个素数。此猜想在该文发表前尚未获证明，它是有关相邻素数差值判定中最强势的一个命题。